$$ I=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { m }_{ i }{ { { r }_{ i } }^{ 2 } } } $$
Si tenemos en cuenta un cuerpo con un medio continuo de masa (masa repartida por todo el cuerpo), debemos sumar todos los elementos diferenciales dm de masa del cuerpo. Esta suma de diferenciales se rige por la integración:
$$ dI={ r }^{ 2 }dm\\ I=\int { { r }^{ 2 }dm } $$
Momento de inercia de un cilindro (eje vertical que pasa por el centro de las bases):
Teniendo en cuenta el esquema del cilindro que he hecho, hay una observación muy importante:
Debemos usar una magnitud que relacione la masa con el radio (ambas magnitudes fundamentales del momento de inercia). Esta magnitud es la densidad (en este caso, se puede usar tanto densidad superficial $\sigma$ o volumétrica $\rho$). Usemos densidad volumétrica.
Según la definición diferencial de densidad volumétrica: $\rho =\frac { dm }{ dV } $
Sustituyendo en la ecuación de momento de inercia:
$$ I=\int { { r }^{ 2 }\rho ·dV } $$
Como la densidad es constante en todo el cuerpo, la podemos sacar de la integral:
$$I=\rho \int { { r }^{ 2 }dV } $$
$$I=\frac { M }{ V } \int { { r }^{ 2 }dV } $$
Ahora deberemos expresar $ dV $ y $ V $ en función del radio.
Volumen:
Para calcular el volumen del cilindro, multiplicaremos el área de la base por la altura $ h $.
$$ V=\pi { r }^{ 2 }h $$
Diferencial de volumen:
Por definición: $ dV=dA·s $
Mirando la imagen del cilindro, podemos dividir la base de este en infinitos anillos o aros, cual cebolla. La longitud de arco del aro viene dada por la de la circunferencia, y si esta es multiplicada por la altura, en este caso, un elemento diferencial infinitamente pequeño $ dr $, obtendremos el diferencial de área. Este diferencial de altura se vuelve diferencial de volumen al ser multiplicando por la altura del cilindro. En resumen:
$$ dV=dA·h\\ dA=2\pi r\cdot dr\\ dV=2\pi hr\cdot dr $$
Sustituyendo todos los datos en función del radio que tenemos, expresamos:
$$ I=\frac { M }{ V } \int { { r }^{ 2 }dV } \quad \\ I=\frac { M }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }dV } \\ I=\frac { M }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }·2\pi hr\cdot dr } $$
La altura (que no está en función de $ r $) y los valores numéricos $ 2 $ y $ \pi $ los podemos extraer de la integral:
$$I=\frac { 2\pi hM }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }·r·dr } $$
$$I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int { { r }^{ 3 }dr } $$
Ahora debemos definir los límites de integración. De forma simple, lo veremos como sumar todos los aros de cebolla de la base. Como todos los aros de la base se encuentran entre el punto 0 (el eje Z) y el radio ($ r $), la integral definida queda:
$$ I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ r }{ { r }^{ 3 }dr } $$
Con las estrategias de resolución de integrales, nos quedará:
$$ I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ r }{ { r }^{ 3 }dr } =\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } { \frac { { r }^{ 4 } }{ 4 } }_{ 0 }^{ r }=\frac { 2M{ r }^{ 4 } }{ 4{ r }^{ 2 } } =\frac { M{ r }^{ 2 } }{ 2 } $$
Y en conclusión:
$$ { I }_{ cilindro\quad CMV }=\frac { M{ r }^{ 2 } }{ 2 } $$
Donde CMV se refiere al centro de masas vertical.
Nota: Como es independiente de la altura el momento de inercia, podríamos haber prescindido de ella, de allí el uso que podríamos haber hecho simplemente de $ dA $.
Mirando la imagen del cilindro, podemos dividir la base de este en infinitos anillos o aros, cual cebolla. La longitud de arco del aro viene dada por la de la circunferencia, y si esta es multiplicada por la altura, en este caso, un elemento diferencial infinitamente pequeño $ dr $, obtendremos el diferencial de área. Este diferencial de altura se vuelve diferencial de volumen al ser multiplicando por la altura del cilindro. En resumen:
$$ dV=dA·h\\ dA=2\pi r\cdot dr\\ dV=2\pi hr\cdot dr $$
Sustituyendo todos los datos en función del radio que tenemos, expresamos:
$$ I=\frac { M }{ V } \int { { r }^{ 2 }dV } \quad \\ I=\frac { M }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }dV } \\ I=\frac { M }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }·2\pi hr\cdot dr } $$
La altura (que no está en función de $ r $) y los valores numéricos $ 2 $ y $ \pi $ los podemos extraer de la integral:
$$I=\frac { 2\pi hM }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }·r·dr } $$
$$I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int { { r }^{ 3 }dr } $$
Ahora debemos definir los límites de integración. De forma simple, lo veremos como sumar todos los aros de cebolla de la base. Como todos los aros de la base se encuentran entre el punto 0 (el eje Z) y el radio ($ r $), la integral definida queda:
$$ I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ r }{ { r }^{ 3 }dr } $$
Con las estrategias de resolución de integrales, nos quedará:
$$ I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ r }{ { r }^{ 3 }dr } =\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } { \frac { { r }^{ 4 } }{ 4 } }_{ 0 }^{ r }=\frac { 2M{ r }^{ 4 } }{ 4{ r }^{ 2 } } =\frac { M{ r }^{ 2 } }{ 2 } $$
Y en conclusión:
$$ { I }_{ cilindro\quad CMV }=\frac { M{ r }^{ 2 } }{ 2 } $$
Donde CMV se refiere al centro de masas vertical.
Nota: Como es independiente de la altura el momento de inercia, podríamos haber prescindido de ella, de allí el uso que podríamos haber hecho simplemente de $ dA $.
Momento de inercia de una esfera hueca (eje que pasa por el centro de masas):
Teniendo en
cuenta la imagen que he creado, podemos dejar todos los términos en función de
nuestra variable $ r $, presente en la ecuación. Cabe destacar que el radio $ R
$ no cambia, es constante. Como la esfera está hueca, solo nos importa el área
de esta, por lo que usaremos densidad superficial $ \sigma $. Con la expresión $ \sigma =\frac { dm }{ dA } $:
$$ I=\int
{ { r }^{ 2 }dm= } \int { { r }^{ 2 }\sigma ·dA } $$
Como la
densidad superficial sigma minúscula es constante:
$$ I=\sigma
\int { { r }^{ 2 }dA } $$
Ahora
obtendremos los elementos de área:
Área:
Con la
densidad $ \sigma $, obtenemos una expresión en función del área:
$$ \sigma
=\frac { M }{ A } $$
Como el área
de la esfera es $ A=4\pi { R }^{ 2 } $:
$$ \sigma
=\frac { M }{ 4\pi { R }^{ 2 } } $$
Área diferencial:
Deberemos multiplicar la base del cilindro por toda la altura que recorre de arriba a abajo. En el cilindro, el radio era constante, pues el cilindro desciende en línea recta. Deberemos usar, pues, la longitud de arco, en función del ángulo entre el centro de masas de la esfera y el radio: $ dl=R·d\theta $
El diferencial de área es entonces el producto entre el área del círculo y la longitud de arco de la esfera:
$$ dA=2\pi r·R·d\theta $$
Necesitamos el radio variable $ r $ en función de $ R $, con lo que haremos uso de la trigonometría. Viendo el dibujo que he realizado, vemos que sendos radios forman un triángulo rectángulo, con lo que podemos asumir la función seno:
$$ dA=2\pi r·R·d\theta $$
Sustituyendo la hipotenusa y el cateto opuesto:
$$ \sin { \theta } =\frac { r }{ R } $$
Dejando la expresión anterior en función del radio:
$$ dA=2\pi R·\sin { \theta } ·R·d\theta =2\pi { R }^{ 2 }\sin { \theta } ·d\theta $$
Lo que se nos queda como expresión de momento de inercia es:
$$ I=\frac { M }{ 4\pi { R }^{ 2 } } \int { { r }^{ 2 } } ·2\pi { R }^{ 2 }\sin { \theta ·d\theta } $$
Dejando todo el función de $ R $:
$$ I=\frac { M }{ 4\pi { R }^{ 2 } } \int { { R }^{ 2 }·\sin ^{ 2 }{ \theta } ·2\pi { R }^{ 2 }\sin { \theta } ·d\theta } $$
La única variable es $ \theta $, con lo que podemos extraer el resto de la integral:
$$ I=\frac { 2\pi M{ R }^{ 4 } }{ 4\pi { R }^{ 2 } } \int { \sin ^{ 3 }{ \theta } d\theta } =\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2 } \int { \sin ^{ 3 }{ \theta } d\theta } $$
Los límites de integración serán desde el ángulo mínimo que puede formar $ \left( 0 \right) $ radianes y $ \left( \pi \right) $ radianes, que es el ángulo que forma al llegar abajo del todo el cilindro variable naranja (180º para los que no dominen los radianes). Resolviendo la integral mediante sustitución:
$$ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin ^{ 3 }{ \theta } d\theta =\int _{ 0 }^{ \pi }{ \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \theta } \right) \sin { \theta } d\theta } } $$
$$ u=\cos { \theta } \\ \theta =\cos ^{ -1 }{ u } \\ d\theta =-\frac { du }{ \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } } } $$
$$ \sin { \theta } =\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ \theta } } =\sqrt { 1-{ u }^{ 2 } } $$
Límites de integración: $ { u }_{ 2 }=\cos { \pi } =-1 $ y $ { u }_{ 1 }=\cos { 0 } =1 $:
$$ \int _{ 0 }^{ \pi }{ \sin ^{ 3 }{ \theta } d\theta } =\int _{ 1 }^{ -1 }{ -\left( 1-{ u }^{ 2 } \right) \frac { \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } } }{ \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } } } du } =\int _{ 1 }^{ -1 }{ \left( { u }^{ 2 }-1 \right) du } ={ \frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } -u }_{ 1 }^{ -1 }=\frac { 4 }{ 3 } $$
En conclusión:
$$ { I }_{ esfera\quad hueca }=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2 } ·\frac { 4 }{ 3 } =\frac { 2M{ R }^{ 2 } }{ 3 } $$
Momento de inercia de un arco de circunferencia (eje ortogonal que pasa por el centro de masas):
Teniendo en cuenta la imagen que he creado, se observa que es similar al otro ejercicio que habíamos realizado. Volvemos a tener que expresar una variable $ r $ en otra con la que podremos sumar todos las masas que pertenecen al arco. Como la masa la forma un arco, la densidad será lineal (primera dimensión). Según la definición diferencial de densidad lineal: $ \lambda =\frac { dm }{ dl } $
La integral que expresa el momento de inercia queda entonces:
$$ I=\lambda \int { { r }^{ 2 }dl } \\ I=\frac { M }{ l } \int { { r }^{ 2 }dl } $$
Los elementos que debemos usar son tan simples como conocer la definición diferencial de arco de circunferencia $ dl $, visto en el dibujo, y la longitud de la circunferencia completa $ l $:
$$ I=\frac { M }{ 2\pi R } \int { { r }^{ 2 }R·d\theta } $$
Ahora deberemos expresar el radio variable $ r $ en función del ángulo que forma el radio y el centro $ \theta $ usando trigonometría:
$$ \sin { \theta } =\frac { co }{ h } $$
Viendo el dibujo:
$$ sin\theta =\frac { r }{ R } $$
Sustituyendo en la ecuación:
$$ I=\frac { M }{ 2\pi R } \int { { R }^{ 2 }·\sin ^{ 2 }{ \theta } ·R·d\theta } =\frac { M }{ 2\pi R } \int { { R }^{ 3 }·\sin ^{ 2 }{ \theta } ·d\theta } $$
Como el radio $ R $ no es variable, se puede extraer de la integral:
$$ I=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi } \int { \sin ^{ 2 }{ \theta } ·d\theta } $$
Como debemos sumar todas las masas de la circunferencia, hay que evaluar la integral entre el valor mínimo y máximo del ángulo que se puede formar, $ 0 $ radianes y $ 2\pi $ radianes:
$$ I=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } ·d\theta } $$
Para poder efectuar la integral, debemos disminuir el exponente del seno, por lo que usamos la igualdad $ \sin ^{ 2 }{ \theta } =\frac { 1-\cos { 2\theta } }{ 2 } $:
$$ \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } ·d\theta } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left( \frac { 1-\cos { 2\theta } }{ 2 } \right) d\theta } $$
Aplicando un cambio de variable:
$$ u=2\theta \\ \theta =\frac { u }{ 2 } \\ d\theta =\frac { du }{ 2 } $$
Evaluando los nuevos límites de integración:
$$ { u }_{ 2 }=2·2\pi =4\pi \\ { u }_{ 1 }=2·0=0 $$
$$ \int _{ 0 }^{ 4\pi }{ \left( \frac { 1-\cos { u } }{ 2 } \right) \frac { du }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 4\pi }{ \left( 1-\cos { u } \right) du } $$
Y usando las reglas de integración:
$$ \frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 4\pi }{ \left( 1-\cos { u } \right) du } =\frac { 1 }{ 4 } { \left( u-\sin { u } \right) }_{ 0 }^{ 4\pi }=\pi $$
Sustituyendo el valor de la integral:
$$ { I }_{ arco\quad ortogonal }=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi } ·\pi =\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2 } $$
La integral que expresa el momento de inercia queda entonces:
$$ I=\lambda \int { { r }^{ 2 }dl } \\ I=\frac { M }{ l } \int { { r }^{ 2 }dl } $$
Los elementos que debemos usar son tan simples como conocer la definición diferencial de arco de circunferencia $ dl $, visto en el dibujo, y la longitud de la circunferencia completa $ l $:
$$ I=\frac { M }{ 2\pi R } \int { { r }^{ 2 }R·d\theta } $$
Ahora deberemos expresar el radio variable $ r $ en función del ángulo que forma el radio y el centro $ \theta $ usando trigonometría:
$$ \sin { \theta } =\frac { co }{ h } $$
Viendo el dibujo:
$$ sin\theta =\frac { r }{ R } $$
Sustituyendo en la ecuación:
$$ I=\frac { M }{ 2\pi R } \int { { R }^{ 2 }·\sin ^{ 2 }{ \theta } ·R·d\theta } =\frac { M }{ 2\pi R } \int { { R }^{ 3 }·\sin ^{ 2 }{ \theta } ·d\theta } $$
Como el radio $ R $ no es variable, se puede extraer de la integral:
$$ I=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi } \int { \sin ^{ 2 }{ \theta } ·d\theta } $$
Como debemos sumar todas las masas de la circunferencia, hay que evaluar la integral entre el valor mínimo y máximo del ángulo que se puede formar, $ 0 $ radianes y $ 2\pi $ radianes:
$$ I=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi } \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } ·d\theta } $$
Para poder efectuar la integral, debemos disminuir el exponente del seno, por lo que usamos la igualdad $ \sin ^{ 2 }{ \theta } =\frac { 1-\cos { 2\theta } }{ 2 } $:
$$ \int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \sin ^{ 2 }{ \theta } ·d\theta } =\int _{ 0 }^{ 2\pi }{ \left( \frac { 1-\cos { 2\theta } }{ 2 } \right) d\theta } $$
Aplicando un cambio de variable:
$$ u=2\theta \\ \theta =\frac { u }{ 2 } \\ d\theta =\frac { du }{ 2 } $$
Evaluando los nuevos límites de integración:
$$ { u }_{ 2 }=2·2\pi =4\pi \\ { u }_{ 1 }=2·0=0 $$
$$ \int _{ 0 }^{ 4\pi }{ \left( \frac { 1-\cos { u } }{ 2 } \right) \frac { du }{ 2 } } =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 4\pi }{ \left( 1-\cos { u } \right) du } $$
Y usando las reglas de integración:
$$ \frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 4\pi }{ \left( 1-\cos { u } \right) du } =\frac { 1 }{ 4 } { \left( u-\sin { u } \right) }_{ 0 }^{ 4\pi }=\pi $$
Sustituyendo el valor de la integral:
$$ { I }_{ arco\quad ortogonal }=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi } ·\pi =\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2 } $$
