Integrales exponenciales:
La integral básica que hay que aprenderse es solo esta:
$$\int { { e }^{ x }dx={ e }^{ x }+C' } $$
A partir de esta, vamos a obtener unas cuantas integrales de base diferente a e:
$$\int { { 2 }^{ x }dx } $$
Si elevamos la base de un logaritmo al logaritmo de su esta base, el resultado es el interior del logaritmo. Para poder usar la integral inicial (muy simple) debemos tener como base e, fácil de obtener. Usando la propiedad del logaritmo, tendremos que:
$$\int { { 2 }^{ x }dx } =\int { { e }^{ \left( \ln { 2 } \right) \cdot x }dx } $$
Para simplificar la integral, vamos a sustituir por una nueva variable el exponente de la base e:
$$\int { { e }^{ \left( \ln { 2 } \right) \cdot x }dx } $$
$$u=\left( \ln { 2 } \right) \cdot x$$
Despejamos la variable x y diferenciamos ambos miembros hasta obtener el valor de $du$ para sustituirlo en $dx$:
$$x=\frac { u }{ \ln { 2 } } $$
$$dx=\frac { du }{ \ln { 2 } } $$
El resultado con la nueva variable sería:
$$\int { { e }^{ \left( \ln { 2 } \right) \cdot x }dx } =\int { \frac { { e }^{ u } }{ \ln { 2 } } du } $$
Sacamos la constante de la integral, con lo que obtendremos la integral básica:
$$\frac { 1 }{ \ln { 2 } } \int { { e }^{ u }du } =\frac { { e }^{ u } }{ \ln { 2 } } $$
Sin embargo, ahora tenemos que deshacer el cambio de variable:
$$\frac { { e }^{ u } }{ \ln { 2 } } =\frac { { e }^{ \left( \ln { 2 } \right) \cdot x } }{ \ln { 2 } } +C'$$
Para simplificar, vamos a dejar a un lado el logaritmo natural y la base e, quedando:
$$\int { { 2 }^{ x }dx } =\frac { { e }^{ \left( \ln { 2 } \right) \cdot x } }{ \ln { 2 } } +C'=\frac { { 2 }^{ x } }{ \ln { 2 } } +C'$$
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