(2 p)
El sistema se mueve hacia el sentido positivo del eje de abscisas.
b) Calcula con qué aceleración se mueve.
Datos: m1 = 3 kg ;
m2 = 4 kg ; μ =
0,1 ; θ = 30º ; g = 9,8 m/s2
Si tenemos en cuenta la segunda ley de Newton, cada cuerpo tiene un sumatorio de fuerzas que es igual al producto de la masa por su aceleración:
Cuerpo 1 (Izquierda):
$$\sum { { F }_{ x } } ={ T-{ P }_{ x }-{ F }_{ r }=m }_{ 1 }\cdot a\\ \\ { T-{ m }_{ 1 }\cdot g\cdot \sin { \theta } -{ \mu \cdot m }_{ 1 }\cdot g\cdot \cos { \theta } =m }_{ 1 }\cdot a$$
Cuerpo 2 (Derecha):
$$\sum { { F }_{ y } } ={ P }_{ 2 }-T={ m }_{ 2 }\cdot a$$
Si sumamos las expresiones, podremos eliminar la incógnita tensión y así obtener la aceleración (método de reducción):
$$a=\frac { -{ m }_{ 1 }\cdot g\cdot \sin { \theta } -{ \mu \cdot m }_{ 1 }\cdot g\cdot \cos { \theta } +{ m }_{ 2 }\cdot g }{ { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } } \quad a=3'1384\frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$
c) ¿Qué valor tiene la tensión de la cuerda?
Podemos usar cualquiera de las expresiones de la tensión, tanto la del cuerpo 1 como la del cuerpo 2. Yo usaré la del cuerpo 2 por mayor rapidez:
$$T={ m }_{ 2 }\cdot g-{ m }_{ 2 }\cdot a={ m }_{ 2 }\cdot \left( g-a \right) \quad T=26'673N$$
2.- Una bola de masa m, sujeta a una cuerda de longitud l, se mueve a velocidad c de módulo constante sobre una mesa sin rozamiento describiendo círculos. Calcular la tensión de la cuerda. DATOS: m = 200 g ; l = 1,5 m , v = 6 m/s.
(2 p)
Debido a que es un sistema inercial, podemos igualar la tensión de la cuerda a la fuerza normal que es dirigida al centro del sistema. Esto se debe a que es un movimiento circular uniforme. Por ello:
$$T=m\frac { { v }^{ 2 } }{ l } $$
$$T=0'2kg\cdot \frac { { 6 }^{ 2 }\frac { m }{ s } }{ 1'5m } =4'8N$$
A la misma bola, se hace girar en el aire, a velocidad constante describiendo un péndulo cónico. Si la cuerda forma un ángulo α con la vertical, ¿cuánto tiempo tarda la bola en dar una vuelta completa? DATO: α = 30º ; g = 9,8 m/s2
Ya que la tensión forma un ángulo, debemos saber a qué equivalen sus componentes:
$${ T }_{ x }=T\cdot \sin { \alpha } ={ F }_{ c }=m\frac { { v }^{ 2 } }{ r } \\ { T }_{ y }=T\cdot \cos { \alpha } =P=mg$$
La componente horizontal de la tensión se dirige al centro del péndulo, por lo que equivale a la fuerza normal. Por otra parte, la componente vertical es perpendicular a la fuerza normal, así que es equivale al peso o a la normal (tienen el valor). Ahora dividiremos ambas expresiones para deshacernos de la tensión y obtener una expresión para el periodo (tiempo que tarda en dar una revolución).
$$\frac { { T }_{ x } }{ { T }_{ y } } =\frac { T\cdot \sin { \alpha } }{ T\cdot \cos { \alpha } } =\frac { m\frac { { v }^{ 2 } }{ r } }{ mg } =tg\alpha =\frac { { v }^{ 2 } }{ g\cdot r } \quad v=\sqrt { g\cdot r\cdot tg\alpha } $$
Una vez tenemos la velocidad lineal, la relacionaremos con el periodo:
$$v=\omega \cdot r\quad \omega =\frac { v }{ r } \quad { T }_{ p }=\frac { 2\pi }{ \omega } \quad { T }_{ p }=2\pi \cdot \sqrt { \frac { r }{ g\cdot tg\alpha } } $$
Como el cable también tiene una inclinación, el radio r también cambia, así que podemos juntar las expresiones para obtener una mejor expresión:
$$r=l\cdot \sin { \alpha } \quad { T }_{ p }=2\pi \cdot \sqrt { \frac { l\cdot \sin { \alpha } }{ g\cdot tg\alpha } } =2\pi \cdot \sqrt { \frac { l\cdot \cos { \alpha } }{ g } } $$
Así obtenemos una expresión independiente de la masa.
$${ T }_{ p }=2\pi \cdot \sqrt { \frac { 1'5\cdot \cos { \frac { \pi }{ 6 } } }{ g } } =2'2868s$$
3.- Una rueda de moto de 650 mm de diámetro y 5,2 kg de masa gira a 20 rad/s. Debido al rozamiento, se detiene cuando transcurren 400 s. Calcula el módulo del momento de la fuerza producido por el rozamiento.
(2 p)
Ecuaciones útiles:
$$\vec { L } =\vec { r } \times \vec { p } \\ L=r\cdot p\cdot sin\theta \\ L=r\cdot m\cdot v\cdot sin\theta \\ L=m\cdot \omega \cdot { r }^{ 2 }\cdot sin\theta \\ \tau =\frac { dL }{ dt } \quad \vec { \tau } =\frac { d\vec { L } }{ dt } \quad \tau =\frac { L }{ t } \quad \vec { \tau } =\frac { \vec { L } }{ t } \\ \vec { L } =\int _{ { t }_{ 0 } }^{ t }{ \vec { \tau } \quad dt } \quad L=\int _{ { t }_{ 0 } }^{ t }{ \tau \quad dt } \quad L=\tau \cdot t\quad \vec { L } =\vec { \tau } \cdot t\quad $$
Como tenemos el valor del diámetro, usamos la ecuación del radio:
$$r=\frac { d }{ 2 } \\ r=325mm$$
Aquí lo haremos usando las unidades del Sistema Internacional.
Forma 1 (No aconsejada):
Obtenemos la velocidad lineal en unidades del Sistema Internacional:
$$v=\omega \cdot r\\ v=20\frac { rad }{ s } \cdot 0'325m=6'5\frac { m }{ s } $$
Ahora, usamos la ecuación del momento cinético y sustituimos los datos que hemos obtenido:
$$L=0'325m\cdot 5'2kg\cdot 6'5\frac { m }{ s } \cdot sin\left( \frac { \pi }{ 2 } rad \right) =10'985kg\cdot \frac { { m }^{ 2 } }{ s } $$
Recordamos la ecuación del momento dinámico o momento de una fuerza:
$$\tau =\frac { d\vec { L } }{ dt } $$
Como no tenemos la expresión del momento cinético en función del tiempo, usamos los módulos. Además, al frenar y al haber rozamiento, deducimos que el momento cinético no es constante, por lo que sí hay momento dinámico:
$$\tau =\frac { L }{ t } $$
$$\tau =\frac { 10'985kg\cdot \frac { { m }^{ 2 } }{ s } }{ 400s } =2'74625\cdot { 10 }^{ -2 }N\cdot m$$
Forma 2 (Aconsejada si vais a por nota):
$$\vec { L } =\vec { r } \times \vec { p } $$
Asignaremos un vector a cada uno de los vectores que vamos a multiplicar de forma vectorial:
Como el radio es paralelo a él mismo (coincidente), usamos como ángulo 0 radianes:
$$\vec { r } =\left( \left( 0'325\cdot cos\left( 0rad \right) \right) \vec { i } +\left( 0'325\cdot sin\left( 0rad \right) \right) \vec { j } \right) m\\ \vec { r } =\left( 0'325\vec { i } \right) m$$
$$p=m\cdot \omega \cdot r$$
Como el ímpetu forma un ángulo de π/2 radianes, debemos usar esta forma:
$$\vec { p } =\left( \left( 5'2\cdot 20\cdot 0'325\cdot cos\left( \frac { \pi }{ 2 } rad \right) \right) \vec { i } +\left( 5'2\cdot 20\cdot 0'325\cdot sin\left( \frac { \pi }{ 2 } rad \right) \right) \vec { j } \right) kg\frac { m }{ s } \\ \vec { p } =\left( 33'8\vec { j } \right) kg\frac { m }{ s } $$
Ahora, usamos el producto vectorial entre ambos vectores usando determinantes:
$$\vec { L } =\begin{vmatrix} \vec { i } & \vec { j } & \vec { k } \\ 0'325 & 0 & 0 \\ 0 & 33'8 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 33'8 & 0 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 0'325 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 0'325 & 0 \\ 0 & 33'8 \end{vmatrix}\vec { k } =\left( 10'985\vec { k } \right) kg\cdot \frac { { m }^{ 2 } }{ s } $$
Luego, usamos esta ecuación en la cual el tiempo es una constante:
$$\vec { \tau } =\frac { \vec { L } }{ t } =\frac { \left( 10'985\vec { k } \right) kg\cdot \frac { { m }^{ 2 } }{ s } }{ 400s } =\left( 2'74625\cdot { 10 }^{ -2 }\vec { k } \right) N\cdot m$$
Como nos pide el módulo, usamos el teorema de Pitágoras:
$$\tau =\sqrt { { \left( 2'74625\cdot { 10 }^{ -2 } \right) }^{ 2 }N\cdot m } =2'74625\cdot { 10 }^{ -2 }N\cdot m$$
Aunque muy enrevesado, el profesor o profesora verá que sabemos usar vectores, lo cual nos permitirá que nos quiten menos puntos por algún fallo (lo digo por experiencia personal).
4.- Pablo sube una caja llena de libros por una rampa con una inclinación de 20º sobre la horizontal. El coeficiente de rozamiento es μ = 0,2 y la subida se realiza a velocidad constante de 1 m/s. Si para subir la caja de 25 kg Pablo emplea 8 s, calcula:
a) El trabajo realizado por la fuerza con la que Pablo empuja la caja.
(2 p)
$$m\ddot { x } =\vec { F } \\ \ddot { x } =cte\quad \rightarrow \quad \sum { F } =0$$
Si la velocidad es constante, sabemos que al derivarla nos dará como resultado una aceleración nula. Esta aceleración nula implica una fuerza nula. Esto significa que tenemos que distribuir las fuerzas de forma que el sumatorio de ellas sea igual a 0:
Se nos dan dos fuerzas, la fuerza peso en la dirección del eje de abscisas y la fuerza de rozamiento, en la misma dirección. La fuerza aplicada por Pablo es la misma que la suma de las fuerzas anteriores, pues al ser el sumatorio de las fuerzas 0, la caja se mueve a velocidad constante.
$$\sum { F } ={ { F }_{ P }-P }_{ x }{ -F }_{ r }=0\\ { F }_{ P }={ P }_{ x }{ +F }_{ r }=m\cdot g\cdot sin\left( \frac { \pi }{ 9 } \right) +\mu \cdot m\cdot g\cdot cos\left( \frac { \pi }{ 9 } \right) =129'928N$$
Para averiguar el trabajo, tenemos que saber la distancia que recorre. Con el dato de la velocidad y el tiempo podemos averiguar el espacio recorrido:
$$x={ x }_{ 0 }+v\cdot \Delta t\quad x=1\frac { m }{ s } \cdot 8s=8m$$
Con el espacio, usamos la ecuación del trabajo. Como la fuerza de Pablo se dirige en el sentido del desplazamiento, el ángulo es 0 radianes:
$${ W }_{ P }={ F }_{ p }\cdot x\cdot cos\left( \theta \right) \quad { W }_{ p }=129'928N\cdot 8m\cdot cos\left( 0 \right) =1039'423833J$$
b) El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento.
Usamos el mismo desplazamiento pero como es opuesta la fuerza, usamos el coseno de pi:
$${ W }_{ r }={ F }_{ r }\cdot x\cdot \cos { \theta } \quad { W }_{ r }=0'2\cdot 25kg\cdot g\cdot \cos { \frac { \pi }{ 9 } } \cdot 8m\cdot \cos { \pi } =-368'6095J$$
5.- Desde una ventana que está a 20 m de altura, lanzamos hacia arriba una pelota de 400 g con una velocidad de 10 m/s. DATO: g = 9'8 m/s2. Calcular:
(2 p)
a) Su energía mecánica.
La energía mecánica es la suma de la energía potencial y la energía cinética. La primera la podemos obtener usando la altura y la segunda mediante la velocidad:
$${ E }_{ m }={ E }_{ p }+K=mgh+\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } $$
$${ E }_{ m }=0'4kg\cdot g\cdot 20m+\frac { 0'4kg\cdot { 10 }^{ 2 }\frac { m }{ s } }{ 2 } =98'4532J$$
b) Hasta qué altura subirá.
Cuando alcance su altura máxima, la velocidad de la pelota será igual a 0. Por ello, la energía cinética es nula y la energía potencial es igual a la energía mecánica, que se mantiene constante:
$${ E }_{ m }={ E }_{ p }+0\quad 98'4532J=0'4kg\cdot g\cdot h\quad h=25'0986m$$
c) A qué velocidad pasará por delante delante de la ventana cuando baje.
Habría que igualar la energía mecánica a la energía potencial a esa altura y obtener la velocidad. Sin embargo, al ser la altura la misma, las energías cinéticas son también iguales. Como la masa es constante, la velocidad también lo es:
$$mgh+\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } =mgh+\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } \quad v=10\frac { m }{ s } $$
d) A qué velocidad llegará al suelo.
Al llegar al suelo, la energía cinética será máxima, y por consecuente, también lo será la velocidad. Por otra parte, la energía potencial es nula por la carencia de altura:
$${ E }_{ m }=0+K\quad 98'4532J=\frac { 0'4kg\cdot { v }^{ 2 } }{ 2 } \quad v=22'1871\frac { m }{ s } $$
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