Dimensionalmente es:
$$\left[ M \right] \left[ { L }^{ 2 } \right] \left[ { T }^{ -2 } \right] $$
La ecuación del trabajo es:
$$W=F\cdot r$$
Donde:
W es el trabajo realizado en joules (J).
F es la fuerza que es ejercida en newton (N).
r es el desplazamiento que realiza la fuerza en metros (m).
1. Calcula el trabajo que realiza una fuerza de 50000 dinas que se desplaza a 5 cm. Da el resultado en joules y en ergios.
Nota: 1 N=100000 dyn
1 J =10000000 erg
Nota 2: Para obtener el resultado en joules, todas las unidades han de estar en el SI
$$50000dyn\cdot \frac { 1\quad N }{ 100000dyn } =0'5N$$
$$5cm\cdot \frac { 1m }{ 100cm } =0'05m$$
$$W=0'5N\cdot 0'05m=0'025J\\ 0'025J\cdot \frac { 10000000erg }{ 1J } =250000dyn$$
Dependiendo del ángulo que forme la fuerza, el trabajo puede cambiar, por lo que la ecuación general sería así:
$$W=F\cdot d\cdot cos\theta $$
2. Calcula el trabajo que realiza una fuerza cuyo ángulo con el desplazamiento es de π rad, si el desplazamiento es de 10 m y la fuerza es de 5 N.
$$W=5N\cdot 10m\cdot cos\pi rad=-50J$$
Como vemos, la fuerza tiene un sentido contrario al del desplazamiento, por lo que el trabajo es negativo.
3. Calcula el trabajo que realiza una fuerza cuyo ángulo con el desplazamiento es de π/2 rad, si el desplazamiento es de 30 m y la fuerza es de 2 N.
$$W=2N\cdot 30m\cdot cos\frac { \pi }{ 2 } rad=0J$$
El trabajo es nulo, pues el módulo de la fuerza y el del desplazamiento son perpendiculares.
Energía
Es la capacidad para realizar un trabajo. Aquí veremos varios tipos:
Energía potencial:
Es aquella que depende exclusivamente de su masa y altura, además de la aceleración de la gravedad. Su ecuación general es:
$${ E }_{ p }=mgh$$
Donde:
m es la masa del móvil
g es la aceleración de la gravedad del planeta
h es la altura del móvil respecto al punto de referencia o suelo
Energía cinética:
Es aquella que depende de la masa del móvil y de la velocidad que lleva en un momento dado, asociada al movimiento de sus partículas.
Su ecuación general es:
$$K=\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } $$
Donde:
m es la masa del móvil
v es la velocidad que lleva el móvil
Energía mecánica:
Es la suma de la energía potencial y la cinética, con lo que suponemos que cuando el cuerpo lleve velocidad nula, solo llevará energía potencial y que cuando la altura sea nula, el cuerpo solo portará energía cinética.
$${ E }_{ m }=K+{ E }_{ p }$$
1. Calcule la velocidad que lleva un cuerpo cuando su altura sea de 30 m.
Podemos deducir la ecuación a partir de las ecuaciones del MRUV.
$${ v }^{ 2 }=2gh\\ v=\sqrt { 2gh } \\ v=\sqrt { 2g30m } \simeq2'4257\frac { m }{ s } $$
Sin embargo, esta ecuación no siempre se puede usar, así que nos deberán dar más datos para estar más seguros.
2. Calcule la energía potencial y la energía mecánica que lleva un cuerpo cuando su altura sea de 5 m y su velocidad sea nula. La masa del cuerpo es de 200 g.
$$200g\frac { 1kg }{ 1000g } =0'2kg$$
$$K+{ E }_{ p }={ E }_{ m }\\ \frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } +mgh={ E }_{ m }\\ { E }_{ m }=mgh={ E }_{ p }=9'80665J$$
La energía potencial es exactamente lo mismo que la energía mecánica, en este caso. Esta última siempre se mantendrá constante, por lo que, mediante cambios de altura, variarán la energía cinética y potencial.
3. Con los datos del ejercicio anterior, calcule la velocidad del chisme si la altura que lleva es de 2'5m.
$${ E }_{ m }=9'80665J\\ 9'80665J=\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } +mgh\\ \sqrt { \frac { 2(9'80665J-mgh) }{ m } } =v\simeq 7\frac { m }{ s } $$
Ahora comprobamos como la velocidad varía a partir del cambio de altura. La velocidad será máxima en el suelo y mínima en el punto más alto.
Ejercicio típico de examen:
1. Un cuerpo es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 6 m/s en la dirección de las ordenadas. Calcula hasta qué altura llegará sin usar las ecuaciones de cinématica.
La energía mecánica es conservativa, así que se mantiene constante:
$${ E }_{ m }=k$$
$${ \frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } +mgh=\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } +mgh }$$
Como nos dice el enunciado que se lanza desde arriba, se supone que la altura es 0 m. Esto anula la energía mecánica en el inicio del lanzamiento. Por otra parte, en el punto más alto, su altura máxima, la velocidad es nula, por lo que la energía cinética es nula en el tiempo que se nos pide. Por ello, la expresión es esta:
$$\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } =mgh$$
La ecuación nos permite eliminar las masas, pues estas se encuentran en ambos términos en forma de producto. Esta ecuación es independiente de la masa del cuerpo.
$$\frac { { v }^{ 2 } }{ 2 } =gh$$
$$h=\frac { { v }^{ 2 } }{ 2g } $$
$$h=\frac { { \left( 6\frac { m }{ s } \vec { j } \right) }^{ 2 } }{ 2g } \approx \left( 1'8355\vec { j } \right) m$$
(Nótese la inclusión de la dirección de la altura mediante el uso del vector)
$${ E }_{ p }=mgh$$
Donde:
m es la masa del móvil
g es la aceleración de la gravedad del planeta
h es la altura del móvil respecto al punto de referencia o suelo
Energía cinética:
Es aquella que depende de la masa del móvil y de la velocidad que lleva en un momento dado, asociada al movimiento de sus partículas.
Su ecuación general es:
$$K=\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } $$
Donde:
m es la masa del móvil
v es la velocidad que lleva el móvil
Energía mecánica:
Es la suma de la energía potencial y la cinética, con lo que suponemos que cuando el cuerpo lleve velocidad nula, solo llevará energía potencial y que cuando la altura sea nula, el cuerpo solo portará energía cinética.
$${ E }_{ m }=K+{ E }_{ p }$$
1. Calcule la velocidad que lleva un cuerpo cuando su altura sea de 30 m.
Podemos deducir la ecuación a partir de las ecuaciones del MRUV.
$${ v }^{ 2 }=2gh\\ v=\sqrt { 2gh } \\ v=\sqrt { 2g30m } \simeq2'4257\frac { m }{ s } $$
Sin embargo, esta ecuación no siempre se puede usar, así que nos deberán dar más datos para estar más seguros.
2. Calcule la energía potencial y la energía mecánica que lleva un cuerpo cuando su altura sea de 5 m y su velocidad sea nula. La masa del cuerpo es de 200 g.
$$200g\frac { 1kg }{ 1000g } =0'2kg$$
$$K+{ E }_{ p }={ E }_{ m }\\ \frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } +mgh={ E }_{ m }\\ { E }_{ m }=mgh={ E }_{ p }=9'80665J$$
La energía potencial es exactamente lo mismo que la energía mecánica, en este caso. Esta última siempre se mantendrá constante, por lo que, mediante cambios de altura, variarán la energía cinética y potencial.
3. Con los datos del ejercicio anterior, calcule la velocidad del chisme si la altura que lleva es de 2'5m.
$${ E }_{ m }=9'80665J\\ 9'80665J=\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } +mgh\\ \sqrt { \frac { 2(9'80665J-mgh) }{ m } } =v\simeq 7\frac { m }{ s } $$
Ahora comprobamos como la velocidad varía a partir del cambio de altura. La velocidad será máxima en el suelo y mínima en el punto más alto.
Ejercicio típico de examen:
1. Un cuerpo es lanzado hacia arriba con una velocidad inicial de 6 m/s en la dirección de las ordenadas. Calcula hasta qué altura llegará sin usar las ecuaciones de cinématica.
La energía mecánica es conservativa, así que se mantiene constante:
$${ E }_{ m }=k$$
$${ \frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } +mgh=\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } +mgh }$$
Como nos dice el enunciado que se lanza desde arriba, se supone que la altura es 0 m. Esto anula la energía mecánica en el inicio del lanzamiento. Por otra parte, en el punto más alto, su altura máxima, la velocidad es nula, por lo que la energía cinética es nula en el tiempo que se nos pide. Por ello, la expresión es esta:
$$\frac { m{ v }^{ 2 } }{ 2 } =mgh$$
La ecuación nos permite eliminar las masas, pues estas se encuentran en ambos términos en forma de producto. Esta ecuación es independiente de la masa del cuerpo.
$$\frac { { v }^{ 2 } }{ 2 } =gh$$
$$h=\frac { { v }^{ 2 } }{ 2g } $$
$$h=\frac { { \left( 6\frac { m }{ s } \vec { j } \right) }^{ 2 } }{ 2g } \approx \left( 1'8355\vec { j } \right) m$$
(Nótese la inclusión de la dirección de la altura mediante el uso del vector)
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