Derivadas parciales iteradas

Es lo mismo que calcular una función derivada a partir de una primitiva, solo que en este caso constamos de más de una variable. Por ello, debemos derivar la función respecto a una variable y luego respecto a la otra:

Imaginemos que partimos de la siguiente función de dos variables:

$$f\left( x,y \right) ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }y+3x{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }$$

Empezando con la derivada parcial respecto a x:

Empecemos derivándola respecto de una variable. En este caso, empezaré con la variable x. Al derivar en función de x, todas las variables y se vuelven constantes, así que dejaré de tratarlas como variable y lo haremos como constante. Para no liarnos, usaremos un cambio de variable, para que veamos que y es ahora constante:

$$y=k$$

$$f\left( x,k \right) ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }k+3x{ k }^{ 2 }+{ k }^{ 3 }$$

Ahora que tenemos la función con variables k, que indican que son constantes, derivamos en función de x con las propias reglas de diferenciación:

$$\frac { \partial f }{ \partial x } =3{ x }^{ 2 }+6xk+3{ k }^{ 2 }+0$$

Deshacemos el cambio de variable y se nos queda la primera derivada respecto a x de esta forma:

$$\frac { \partial f }{ \partial x } =3{ x }^{ 2 }+6xy+3{ y }^{ 2 }$$

Con la función derivada parcial respecto a x, debemos derivarla parcialmente respecto a y, para así obtener una función derivada respecto a las dos variables. Para ello, ahora la otra variable que no estamos usando como variable de función derivada pasa a ser constante, por lo que:

$$x=k$$

$$\frac { \partial f }{ \partial k } =3{ k }^{ 2 }+6ky+3{ y }^{ 2 }$$

Derivamos y ya tendremos la función derivada respecto a dos variables (parcial iterada):

$$\frac { { { \partial  }^{ 2 }f } }{ \partial k\partial y } =6k+6y$$

$$\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } =6x+6y$$

Empezando con la derivada parcial respecto a y:

Ahora, haremos el proceso contrario, empezando a derivar la función respecto a y. Por ello, la variable x se hace constante:

$$f\left( x,y \right) ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }y+3x{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }$$

$$x=k$$

$$f\left( k,y \right) ={ k }^{ 3 }+3{ k }^{ 2 }y+3k{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }$$

$$\frac { \partial f }{ \partial y } =3k^{ 2 }+6ky+3{ y }^{ 2 }$$

$$\frac { \partial f }{ \partial y } =3x^{ 2 }+6xy+3{ y }^{ 2 }$$

Ahora, ya con la derivada parcial respecto a y, debemos hacer el mismo proceso y derivar la función ya derivada parcialmente respecto a y respecto a la variable x. Esto nos dará un resultado muy interesante:

$$y=k$$

$$\frac { \partial f }{ \partial k } =3x^{ 2 }+6xk+3{ k }^{ 2 }$$

$$\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial k\partial x } =6x+6k+0$$

$$\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =6x+6y$$

Si nos fijamos, la solución es la misma sin importar el orden de la variable que usemos. Por ello, deducimos que:

$$\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } =\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } $$