Determinantes 2 x 2:
Siguen la siguiente norma:
$$D=\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=a\cdot d-b\cdot c$$
Se realiza el producto de la primera diagonal y a ello se le sustrae el producto de la diagonal inversa.
Ejemplo 1:
$$D=\begin{vmatrix} 2 & 9 \\ 0 & 3 \end{vmatrix}=2\cdot 3-9\cdot 0=6$$
Determinantes 3 x 3:
Siguen la regla de Sarrus, la cual indica que la suma de los productos de las diagonales del determinante, siendo sustraídos por la suma de los productos de las diagonales inversas es igual al valor del determinante. Por lo tanto:
$$D=\begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}=a\cdot e\cdot i+b\cdot f\cdot g+c\cdot d\cdot h-c\cdot e\cdot g-b\cdot d\cdot i-a\cdot f\cdot h$$
Ejemplo 2:
$$D=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 2 \end{vmatrix}=1\cdot 2\cdot 2+3\cdot 1\cdot 0+0\cdot 1\cdot 0-0\cdot 2\cdot 0-3\cdot 1\cdot 2-1\cdot 1\cdot 0=-2$$
Determinantes de orden superior:
Usamos el teorema de Laplace, mediante el cual podemos dividir el determinante en adjuntos, para poder resolver los determinantes de cada adjunto con un orden menor. Empezamos eligiendo la primera entrada de la primera columna, realizamos unas líneas perpendiculares, de forma que nos queden 4 entradas en determinantes 3 x 3, 9 entradas en determinantes 4 x 4, etcétera. Realizamos el producto entre la entrada inicial y el determinante de las entradas que nos quedaban, siempre teniendo en cuenta la norma de:
$$Si\quad i+j\quad es\quad par\quad \Rightarrow \quad el\quad determinante\quad es\quad positivo\\ Si\quad i+j\quad es\quad impar\quad \Rightarrow \quad el\quad determinante\quad es\quad negativo$$
Siendo i y j los subíndices de cada una de las entradas.
La ecuación de los determinantes 4 x 4 sería:
$$D=\begin{vmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } & { a }_{ 14 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } & { a }_{ 34 } \\ { a }_{ 41 } & { a }_{ 42 } & { a }_{ 43 } & { a }_{ 44 } \end{vmatrix}\\ D={ a }_{ 11 }\begin{vmatrix} { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } & { a }_{ 34 } \\ { a }_{ 42 } & { a }_{ 43 } & { a }_{ 44 } \end{vmatrix}-{ a }_{ 12 }\begin{vmatrix} { a }_{ 21 } & { a }_{ 23 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 33 } & { a }_{ 34 } \\ { a }_{ 41 } & { a }_{ 43 } & { a }_{ 44 } \end{vmatrix}+{ a }_{ 13 }\begin{vmatrix} { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 34 } \\ { a }_{ 41 } & { a }_{ 42 } & { a }_{ 44 } \end{vmatrix}-{ a }_{ 14 }\begin{vmatrix} { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \\ { a }_{ 41 } & { a }_{ 42 } & { a }_{ 43 } \end{vmatrix}$$
Ejemplo 3:
$$D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix}=0$$
Siendo i y j los subíndices de cada una de las entradas.
La ecuación de los determinantes 4 x 4 sería:
$$D=\begin{vmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } & { a }_{ 14 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } & { a }_{ 34 } \\ { a }_{ 41 } & { a }_{ 42 } & { a }_{ 43 } & { a }_{ 44 } \end{vmatrix}\\ D={ a }_{ 11 }\begin{vmatrix} { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } & { a }_{ 34 } \\ { a }_{ 42 } & { a }_{ 43 } & { a }_{ 44 } \end{vmatrix}-{ a }_{ 12 }\begin{vmatrix} { a }_{ 21 } & { a }_{ 23 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 33 } & { a }_{ 34 } \\ { a }_{ 41 } & { a }_{ 43 } & { a }_{ 44 } \end{vmatrix}+{ a }_{ 13 }\begin{vmatrix} { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 24 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 34 } \\ { a }_{ 41 } & { a }_{ 42 } & { a }_{ 44 } \end{vmatrix}-{ a }_{ 14 }\begin{vmatrix} { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \\ { a }_{ 41 } & { a }_{ 42 } & { a }_{ 43 } \end{vmatrix}$$
Ejemplo 3:
$$D=\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 3 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ 2 & 0 & 1 \end{vmatrix}-0\begin{vmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix}+0\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \end{vmatrix}-\begin{vmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{vmatrix}=0$$
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