Las ecuaciones principales de la cantidad de movimiento es esta:
- Forma vectorial: $$\vec { p } =m\vec { v } $$
p es el vector ímpetu
m es la masa del cuerpo
v es el vector velocidad
- Forma escalar: $$p=mv$$
p es el módulo del ímpetu
m es la masa del cuerpo
v es el módulo de la velocidad
- Forma diferencial (si la masa es constante): $$p=m\dot { x } $$
p es el módulo del ímpetu en función del tiempo
m es la masa del cuerpo constante
ẋ es la derivada con respecto al tiempo del recorrido (velocidad instantánea)
Ejercicio 1: Un cachivache de masa 200 kg lleva una velocidad de 4 m/s con un ángulo de π/6 radianes. Calcula su ímpetu de forma vectorial.
Con el ángulo, usamos la ecuación de los vectores para la velocidad:
$$\vec { v } =\left( 4\cdot cos\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \vec { i } +4\cdot sin\left( \frac { \pi }{ 6 } \right) \vec { j } \right) \frac { m }{ s } $$
$$\vec { v } =\left( 2\sqrt { 3 } \vec { i } +2\vec { j } \right) \frac { m }{ { s } } $$
Simplemente nos queda realizar un producto:
$$\vec { p } =200kg\cdot \left( 2\sqrt { 3 } \vec { i
} +2\vec { j } \right) \frac { m }{ { s } } =\left( 400\sqrt { 3 } \vec {
i } +400\vec { j } \right) kg\frac { m }{ { s } } $$
Ejercicio 2: Un huevo se desliza con velocidad no constante en función del tiempo. Este huevo tiene una masa de 100 g. Calcula el ímpetu en función del tiempo si la función del recorrido es:
$$x=\left( 4{ t }^{ 2 }-2t+5 \right) m$$
Ya que necesitamos el valor de la velocidad en función del tiempo, podemos diferenciar la ecuación del recorrido en función del tiempo:
$$\dot { x } =\left( 8t-2 \right) \frac { m }{ s } $$
Ahora, simplemente usamos la ecuación del ímpetu:
$$p=0'1kg \cdot \left( 8t-2 \right) \frac { m }{ s } =\left( 0'8t-0'2 \right) kg\frac { m }{ s } $$
Conservación del ímpetu:
Teniendo en
cuenta que la velocidad es constante, el ímpetu será el mismo al principio de
un choque y al final de este:
- Forma vectorial: $${ \vec { p } }_{ i }={ \vec { p } }_{ f }$$
- Forma escalar: $${ p }_{ i }={ p }_{ f }$$
Choque inelástico:
Ejercicio 3: Una bala de 20 g es disparada con una velocidad inicial de 70 m/s contra un hombre de 75 kg que huía en la dirección de la bala con una velocidad de 2 m/s. Si el hombre empieza a moverse en la dirección de la bala (estando dentro la bala), calcula la velocidad con la que se mueve(n). Da el resultado tanto en forma vectorial como en forma escalar:
Como el ímpetu es conservativo, podemos usar la ecuación conservativa del ímpetu. El ímpetu inicial es:
$${ \vec { p } }_{ i }=0'02kg\cdot 70\vec { i } \frac { m }{ s } +75kg\cdot 2\vec { i } \frac { m }{ s } $$
Como la bala y el hombre son ahora el mismo cuerpo, comparten la velocidad. Por ello, el ímpetu final es el producto entre la suma de sus masas y la velocidad final:
$$0'02kg\cdot 70\vec { i } \frac { m }{ s } +75kg\cdot 2\vec { i } \frac { m }{ s } =\left( 0'02kg+75kg \right) \cdot \vec { v } $$
Despejamos el vector velocidad:
$$\vec { v } =\frac { 151'4\vec { i } kg\frac { m }{ s } }{ 75'02kg } \approx 2'0181\vec { i } \frac { m }{ s } $$
Ahora sacamos el módulo de la velocidad:
$$\left| \vec { v } \right| =\sqrt { { \left( 2'0181 \right) }^{ 2 }\frac { m }{ s } } =2'0181\frac { m }{ s } $$
Este tipo de
choque se llama choque perfectamente inelástico, donde toda la energía cinética se disipa. La ecuación de este ejemplo es:
$${ m }_{ 1 }\cdot { { \vec { v } } }_{ i1 }{ +m }_{ 2 }\cdot { \vec { v } }_{ i2 }=\left( { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } \right) \cdot { \vec { v } }_{ f }$$
$${ m }_{ 1 }\cdot { { \vec { v } } }_{ i1 }{ +m }_{ 2 }\cdot { \vec { v } }_{ i2 }=\left( { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } \right) \cdot { \vec { v } }_{ f }$$
Choque elástico:
Son aquellas
colisiones en las que existe una conservación de la energía cinética. Aquí
veremos dos casos:
Cuando las masas son iguales:
Como las masas se encuentran en todos los términos, aun sin conocer el dato de la masa, podemos obtener su ecuación, pues es en este caso independiente de la masa:
$${ v }_{ i1 }+{ v }_{ i2 }={ v }_{ f1 }+{ v }_{ f2 }$$
Como además la energía cinética se conserva, podemos deducir:
$${ { v }_{ i1 } }^{ 2 }+{ { v }_{ i2 } }^{ 2 }={ { v }_{ f1 } }^{ 2 }+{ { v }_{ f2 } }^{ 2 }$$
$${ { v }_{ i1 } }^{ 2 }+{ { v }_{ i2 } }^{ 2 }={ { v }_{ f1 } }^{ 2 }+{ { v }_{ f2 } }^{ 2 }$$
Teniendo en cuenta que la podemos reorganizar, podemos usar las propiedades de los cuadrados para deducir:
$${ { v }_{ i1 } }^{ 2 }-{ { v }_{ f1 } }^{ 2 }={ { v }_{ f2 } }^{ 2 }-{ { v }_{ i2 } }^{ 2 }\\ \\ \left( { v }_{ i1 }+{ v }_{ f1 } \right) \left( { v }_{ i1 }-{ v }_{ f1 } \right) =\left( { v }_{ f2 }+{ v }_{ i2 } \right) \left( { v }_{ f2 }-{ v }_{ i2 } \right) $$
$${ { v }_{ i1 } }^{ 2 }-{ { v }_{ f1 } }^{ 2 }={ { v }_{ f2 } }^{ 2 }-{ { v }_{ i2 } }^{ 2 }\\ \\ \left( { v }_{ i1 }+{ v }_{ f1 } \right) \left( { v }_{ i1 }-{ v }_{ f1 } \right) =\left( { v }_{ f2 }+{ v }_{ i2 } \right) \left( { v }_{ f2 }-{ v }_{ i2 } \right) $$
$${ v }_{ i1 }-{ v }_{ f1 }={ v }_{ f2 }-{ v }_{ i2 }$$
Ahora bien, si dividimos las dos anteriores expresiones, obtenemos que:
$${ v }_{ i1 }+{ v }_{ f1 }={ v }_{ f2 }+{ v }_{ i2 }$$
Restando las dos anteriores, obtenemos que:
$$2{ v }_{ i1 }=2{ v }_{ f2 }\\ { v }_{ i1 }={ v }_{ f2 }$$
De aquí obtenemos que cuando las masas son iguales y la energía cinética se conserva, las velocidades se intercambian. Esto se puede observar si cogemos dos pelotas de igual masa y dejamos que choque una contra otra en reposo. Veremos como la que lanzamos se queda en total reposo y la pelota anteriormente en reposo se mueve con la velocidad de la primera.
Cuando las masas son distintas:
Este tipo es un ejercicio que siempre sale en los exámenes. Con los datos de las masas, y el ángulo en el que se dirige una de ellas tras el choque, podemos deducir el ángulo y la velocidad de la otra masa que se desplaza. Aquí veremos un ejemplo con vectores:
$$2{ v }_{ i1 }=2{ v }_{ f2 }\\ { v }_{ i1 }={ v }_{ f2 }$$
De aquí obtenemos que cuando las masas son iguales y la energía cinética se conserva, las velocidades se intercambian. Esto se puede observar si cogemos dos pelotas de igual masa y dejamos que choque una contra otra en reposo. Veremos como la que lanzamos se queda en total reposo y la pelota anteriormente en reposo se mueve con la velocidad de la primera.
Cuando las masas son distintas:
Este tipo es un ejercicio que siempre sale en los exámenes. Con los datos de las masas, y el ángulo en el que se dirige una de ellas tras el choque, podemos deducir el ángulo y la velocidad de la otra masa que se desplaza. Aquí veremos un ejemplo con vectores:
Ejemplo 4: Un átomo de masa atómica 12 u es lanzada con una velocidad de 100000 m/s de forma horizontal hacia un átomo de masa atómica 52 u en reposo. Tras el choque, la segunda se mueve con una velocidad de 50000 m/s formando un ángulo de π/4 con el eje de abscisas. Calcula la velocidad y el ángulo que forma con el eje de abscisas el átomo de carbono:
Primero escribimos la velocidad en forma vectorial. Luego, eliminamos la velocidad de la segunda pues esta es nula y escribimos esta ecuación:
$$12\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { i } u\frac { m }{ s } =12u\cdot { { v }_{ f1 } }+52u\cdot \left( 5\cdot { 10 }^{ 4 }\cdot cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \vec { i } +5\cdot { 10 }^{ 4 }\cdot sin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \vec { j } \right) \frac { m }{ s } $$
Ahora, despejamos el vector velocidad:
$${ v }_{ f1 }=\frac { \left( -6'385\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { i } -1'84\cdot { 10 }^{ 6 }\vec { j } \right) u\frac { m }{ s } }{ 12u } =\left( -5'321\cdot { 10 }^{ 4 }\vec { i } -1'5321\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { j } \right) \frac { m }{ s } $$
Usamos la trigonometría para obtener el ángulo que forma esta velocidad:
$$\theta ={ tg }^{ -1 }\frac { -1'5321\cdot { 10 }^{ 5 } }{ -5'321\cdot { 10 }^{ 4 } } =1'2365rad$$
Primero escribimos la velocidad en forma vectorial. Luego, eliminamos la velocidad de la segunda pues esta es nula y escribimos esta ecuación:
$$12\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { i } u\frac { m }{ s } =12u\cdot { { v }_{ f1 } }+52u\cdot \left( 5\cdot { 10 }^{ 4 }\cdot cos\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \vec { i } +5\cdot { 10 }^{ 4 }\cdot sin\left( \frac { \pi }{ 4 } \right) \vec { j } \right) \frac { m }{ s } $$
Ahora, despejamos el vector velocidad:
$${ v }_{ f1 }=\frac { \left( -6'385\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { i } -1'84\cdot { 10 }^{ 6 }\vec { j } \right) u\frac { m }{ s } }{ 12u } =\left( -5'321\cdot { 10 }^{ 4 }\vec { i } -1'5321\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { j } \right) \frac { m }{ s } $$
Usamos la trigonometría para obtener el ángulo que forma esta velocidad:
$$\theta ={ tg }^{ -1 }\frac { -1'5321\cdot { 10 }^{ 5 } }{ -5'321\cdot { 10 }^{ 4 } } =1'2365rad$$
Relación entre fuerza e ímpetu:
La derivada en función del tiempo del ímpetu es igual a la fuerza con respecto al tiempo:
$$\dot { p } =F$$
Ejercicio 5: Calcula la fuerza ejercida por un cuerpo a los tres segundos si la función del ímpetu respecto al tiempo es:
$$p=\sqrt [ 3 ]{ { 2 }t^{ 2 } } kg\frac { m }{ s } $$
Ahora, diferenciamos la expresión:
$$\dot { p } =\frac { 4t }{ 3\sqrt [ 3 ]{ { \left( 2{ t }^{ 2 } \right) }^{ 2 } } } =\frac { 4 }{ 3\sqrt [ 3 ]{ 4t } } $$
A los tres segundos, el valor del ímpetu es:
$$\dot { p } (3)=0'5824kg\frac { m }{ s } $$
Impulso:
Corresponde a la variación del ímpetu o al producto de la fuerza y la variación del tiempo. Sus ecuaciones son:
- Formas vectoriales: $$\vec { I } =\vec { F } \cdot \Delta t\\ \vec { I } =\Delta \vec { p } \\ { \vec { F } \cdot \Delta t }={ \Delta \vec { p } }$$
- Forma diferencial: $$\vec { I } =\int _{ { t }_{ 1 } }^{ { t }_{ 2 } }{ \vec { F } dt } $$
Ejercicio 6: Calcula el valor del vector impulso desde el comienzo hasta los 10 segundos a partir del siguiente vector:
$$\vec { F } =\left( tg\left( 2t \right) \vec { i } +\sqrt { t } \vec { j } -3t\vec { k } \right) N$$
Integramos la expresión entre 10 s y 0 s:
$$\vec { I } =\int _{ 0 }^{ 10 }{ \left( tg\left( 2t \right) \vec { i } +\sqrt { t } \vec { j } -3t\vec { k } \right) N\quad dt } $$
Resolvemos usando las reglas de integración:
$$\vec { I } =_{ 0 }^{ 10 }{ \left( ln\left| \sqrt { sec\left( 2t \right) } \right| \vec { i } +\frac { 2t\sqrt { t } }{ 3 } \vec { j } -\frac { 3{ t }^{ 2 } }{ 2 } \vec { k } \right) N\cdot s }\\ \vec { I } =\left( 0'448\vec { i } +\frac { 20\sqrt { 10 } }{ 3 } \vec { j } -150\vec { k } \right) N\cdot s$$
Es una magnitud vectorial que corresponde al producto vectorial entre el ímpetu y el vector posición entre el punto que origina el momento angular y el origen del ímpetu (masa). Esta magnitud es creada ya que el módulo y la dirección del ímpetu es variable. De esta forma, obtenemos una magnitud constante y que es siempre perpendicular al plano de los vectores dichos en la enunciación de la magnitud:
Momento angular o momento cinético:
Es una magnitud vectorial que corresponde al producto vectorial entre el ímpetu y el vector posición entre el punto que origina el momento angular y el origen del ímpetu (masa). Esta magnitud es creada ya que el módulo y la dirección del ímpetu es variable. De esta forma, obtenemos una magnitud constante y que es siempre perpendicular al plano de los vectores dichos en la enunciación de la magnitud:
- Si la masa es constante: $$\vec { L } =\vec { r } \times m\vec { v } $$
- Si la masa es variable: $$\vec { L } =\vec { r } \times \vec { p } $$
Como tenemos el ejercicio representado de forma vectorial, tendremos que hacer uso del producto vectorial. Para ello, idearemos un determinante cuadrado de tamaño 3 x 3. Lo podemos resolver por la regla de Sarrus o por determinantes adjuntos. Sinceramente, es mucho más claro y evita más errores la de los adjuntos, ya que te da directamente el valor de cada coordenada del vector. De todas formas, lo representamos de esta manera:
$$\begin{vmatrix} \vec { i } & \vec { j } & \vec { k } \\ 1\quad UA & 0 & 0 \\ 0 & 3\cdot { 10 }^{ 24 }kg\frac { km }{ s } & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3\cdot { 10 }^{ 24 } & 0 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3\cdot { 10 }^{ 24 } \end{vmatrix}\vec { k }$$
Ahora, como vemos que hay tres 0 en un determinante, deducimos que su valor es 0. Así, el único determinante con valor distinto a 0 es el vector k, que además, es la solución del ejercicio:
$$\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3\cdot { 10 }^{ 24 } & 0 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3\cdot { 10 }^{ 24 } \end{vmatrix}\vec { k } =\left( 3\cdot { 10 }^{ 24 }\vec { k } \right) UA\cdot kg\frac { km }{ s }$$
Ahora, como vemos que hay tres 0 en un determinante, deducimos que su valor es 0. Así, el único determinante con valor distinto a 0 es el vector k, que además, es la solución del ejercicio:
$$\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3\cdot { 10 }^{ 24 } & 0 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3\cdot { 10 }^{ 24 } \end{vmatrix}\vec { k } =\left( 3\cdot { 10 }^{ 24 }\vec { k } \right) UA\cdot kg\frac { km }{ s }$$
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