Examen segundo de la 3ª Evaluación de Física 1º BACHI

3.- Una rueda de coche de 500 mm de diámetro y 7'2 kg de masa gira a 18 rad/s. Debido al rozamiento, se detiene cuando transcurren 300 s. Calcule el módulo del momento de la fuerza producido por el rozamiento.

Empezamos obteniendo el módulo del momento cinético. Como no nos dicen nada, suponemos que el ángulo que forma el vector ímpetu y el vector radio es de π/2 rad.

Ecuaciones útiles:

$$\vec { L } =\vec { r } \times \vec { p } \\ L=r\cdot p\cdot sin\theta \\ L=r\cdot m\cdot v\cdot sin\theta \\ L=m\cdot \omega \cdot { r }^{ 2 }\cdot sin\theta \\ \tau =\frac { dL }{ dt } \quad \vec { \tau  } =\frac { d\vec { L }  }{ dt } \quad \tau =\frac { L }{ t } \quad \vec { \tau  } =\frac { \vec { L }  }{ t } \\ \vec { L } =\int _{ { t }_{ 0 } }^{ t }{ \vec { \tau  } \quad dt } \quad L=\int _{ { t }_{ 0 } }^{ t }{ \tau \quad dt } \quad L=\tau \cdot t\quad \vec { L } =\vec { \tau  } \cdot t\quad $$

Como tenemos el valor del diámetro, usamos la ecuación del radio:

$$r=\frac { d }{ 2 } \\ r=250mm$$

Aquí lo haremos usando las unidades del Sistema Internacional.

Forma 1 (No aconsejada):

Obtenemos la velocidad lineal en unidades del Sistema Internacional:

$$v=\omega \cdot r\\ v=18\frac { rad }{ s } \cdot 0'25m=4'5\frac { m }{ s } $$

Ahora, usamos la ecuación del momento cinético y sustituimos los datos que hemos obtenido:

$$L=0'25m\cdot 7'2kg\cdot 4'5\frac { m }{ s } \cdot sin\left( \frac { \pi  }{ 2 } rad \right) $$
$$L=8'1kg\cdot \frac { { m }^{ 2 } }{ s } $$

Recordamos la ecuación del momento dinámico o momento de una fuerza:

$$\tau =\frac { d\vec { L }  }{ dt } $$

Como no tenemos la expresión del momento cinético en función del tiempo, usamos los módulos. Además, al frenar y al haber rozamiento, deducimos que el momento cinético no es constante, por lo que sí hay momento dinámico:

$$\tau =\frac { L }{ t } $$

$$\tau =\frac { 8'1kg\cdot \frac { { m }^{ 2 } }{ s }  }{ 300s } =2'7\cdot { 10 }^{ -2 }N\cdot m$$

Forma 2 (Aconsejada si vais a por nota):

$$\vec { L } =\vec { r } \times \vec { p } $$

Asignaremos un vector a cada uno de los vectores que vamos a multiplicar de forma vectorial:

Como el radio es paralelo a él mismo (coincidente), usamos como ángulo 0 radianes:

$$\vec { r } =\left( \left( 0'25\cdot cos\left( 0rad \right)  \right) \vec { i } +\left( 0'25\cdot sin\left( 0rad \right)  \right) \vec { j }  \right) m\\ \vec { r } =\left( 0'25\vec { i }  \right) m$$

$$p=m\cdot \omega \cdot r$$

Como el ímpetu forma un ángulo de π/2 radianes, debemos usar esta forma:

$$\vec { p } =\left( \left( 7'2\cdot 18\cdot 0'25\cdot cos\left( \frac { \pi  }{ 2 } rad \right)  \right) \vec { i } +\left( 7'2\cdot 18\cdot 0'25\cdot sin\left( \frac { \pi  }{ 2 } rad \right)  \right) \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } \\ \vec { p } =\left( 32'4\vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } $$

Ahora, usamos el producto vectorial entre ambos vectores usando determinantes:

$$\vec { L } =\begin{vmatrix} \vec { i }  & \vec { j }  & \vec { k }  \\ 0'25 & 0 & 0 \\ 0 & 32'4 & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 32'4 & 0 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 0'25 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 0'25 & 0 \\ 0 & 32'4 \end{vmatrix}\vec { k } =\left( 8'1\vec { k }  \right) kg\cdot \frac { { m }^{ 2 } }{ s } $$

Luego, usamos esta ecuación en la cual el tiempo es una constante:

$$\vec { \tau  } =\frac { \vec { L }  }{ t } =\frac { \left( 8'1\vec { k }  \right) kg\cdot \frac { { m }^{ 2 } }{ s }  }{ 300s } =\left( 2'7\cdot { 10 }^{ -2 }\vec { k }  \right) N\cdot m$$

Como nos pide el módulo, usamos el teorema de Pitágoras:

$$\tau =\sqrt { { \left( 2'7\cdot { 10 }^{ -2 } \right)  }^{ 2 }N\cdot m } =2'7\cdot { 10 }^{ -2 }N\cdot m$$

Aunque muy enrevesado, el profesor o profesora verá que sabemos usar vectores, lo cual nos permitirá que nos quiten menos puntos por algún fallo (lo digo por experiencia personal).