1.- Dados los vectores:
$$\vec { a } =2\vec { i } -3\vec { j } +\vec { k } \\ \vec { b } =\vec { i } -2\vec { j } +3\vec { k } \\ \vec { c } =3\vec { i } +\vec { j } -4\vec { k } $$
Determina:
a) El módulo de los vectores a, b y c.
Para obtener el módulo de un vector, realizamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada componente. Así:
$$a=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ \left( -3 \right) }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 14 } \\ \\ b=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ \left( -2 \right) }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 14 } \\ \\ c=\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ \left( -4 \right) }^{ 2 } } =\sqrt { 26 } $$
b) El producto escalar de los vectores b y c.
El producto escalar es la suma de los productos entre las componentes de ambos vectores. Así, sumamos el producto entre las componentes i con el producto entre las componentes j y con el producto entre las componentes k.
$$\vec { b } \cdot \vec { c } =\quad 1\cdot 3+\left( -2 \right) \cdot 1+3\cdot \left( -4 \right) =-11$$
c) El producto vectorial (a ^ b).
Usamos un determinante 3 x 3 y usamos adjuntos para obtener el valor de cada componente:
$$\vec { a } \times \vec { b } =\begin{vmatrix} \vec { i } & \vec { j } & \vec { k } \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\vec { k } =-7\vec { i } -5\vec { j } -\vec { k } $$
d) El resultado de la operación (a ^ b) · c.
Como ya tenemos el valor del producto vectorial principal, usamos ese vector como producto escalar junto al vector c:
$$\left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \cdot \vec { c } =\left( -7\vec { i } -5\vec { j } -\vec { k } \right) \cdot \left( 3\vec { i } +\vec { j } -4\vec { k } \right) \\ \left( \vec { a } \times \vec { b } \right) \cdot \vec { c } =\left( -7 \right) \cdot 3+\left( -5 \right) \cdot 1+\left( -1 \right) \cdot \left( -4 \right) =-22$$
2.- En un experimento tomamos las siguientes medidas de tiempo:
Nº
Medida
|
1
|
2
|
3
|
4
|
5
|
6
|
Tiempo
(s)
|
17,12
|
17,35
|
17,29
|
17,49
|
16,96
|
17,05
|
Calcula: a) El valor verdadero de la medida.
El valor verdadero corresponde al sumatorio de las medidas:
$$\overline { x } =\frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ \left( { Medida }_{ i } \right) } }{ n } $$
Así:
$$\overline { x } =\frac { 17'12+17'35+17'29+17'49+16'96+17'05 }{ 6 } =17'21$$
b) El valor absoluto y relativo de la medida.
El error absoluto corresponde al sumatorio del valor absoluto de la resta entre la medida tomada y el valor verdadero:
$${ \varepsilon }_{ a }=\frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ \left| { Medida }_{ i }-\overline { x } \right| } }{ n } $$
$${ \varepsilon }_{ a }=\frac { \left| 17'12-17'21 \right| +\left| 17'35-17'21 \right| +\left| 17'29-17'21 \right| +\left| 17'49-17'21 \right| +\left| 16'96-17'21 \right| +\left| 17'05-17'21 \right| }{ 6 }$$
$${ \varepsilon }_{ a }=\frac { 1 }{ 6 } s$$
El error relativo corresponde al cociente entre el error absoluto y el valor verdadero:
$${ \varepsilon }_{ r }=\frac { { \varepsilon }_{ a } }{ \overline { x } } $$
$${ \varepsilon }_{ r }=\frac { 0'\overline { 16 } s }{ 17'21s } \approx 0'968%$$
c) Expresa la medida de forma correcta.
La medida correcta es el resultado de sumar o restar el valor verdadero al error absoluto:
$$T=\left( \overline { x } \pm { \varepsilon }_{ a } \right) $$
Así:
$$T=\left( 17'21\pm 0'\overline { 16 } \right) s$$
3.- Escribe la ecuación de dimensiones del volumen, de la densidad y de la energía:
$$\left[ V \right] =\left[ { L }^{ 3 } \right] \quad \left[ \rho \right] =\left[ M\cdot { L }^{ -3 } \right] \quad \left[ E \right] =\left[ M\cdot { L }^{ 2 }\cdot { T }^{ -2 } \right] $$
4.- Considerando un cuerpo sometido a aceleración constante, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando la respuesta.
a) Su trayectoria nunca podrá ser curvilínea.
Esta afirmación es falsa, ya que su trayectoria no tiene que ser siempre rectilínea, pudiendo cambiar si forma una curva, siendo una raíz, una parábola, etcétera.
b) No pasará dos veces por el mismo punto.
Vuelve a ser falsa, pues en caso de ser un movimiento circular acelerado o retardado, este pasará por ese punto por cada revolución.
c) Su velocidad siempre irá en aumento.
Es falsa de nuevo. Esto se debe a que siempre va en aumento cuando es un movimiento acelerado, pero si es retardado, el cuerpo frenará, disminuyendo su velocidad.
d) Puede tener en algún momento un desplazamiento neto igual a cero.
Es cierto. Esto puede ocurrir si vuelve al punto de partida o cuando el tiempo es cero, es decir, cuando el cuerpo aún no se ha desplazado.
5.- El vector posición de una partícula en movimiento es:
$$\vec { r } ={ t }^{ 3 }\vec { i } +t\vec { j } $$
En esta expresión, la posición se expresa en metros si el tiempo se expresa en segundos.
Calcula:
a) La ecuación de la trayectoria:
Se sabe que el vector i corresponde al eje de abscisas (x) y el vector j al eje de ordenadas (y). Por ello:
$$\begin{cases} x={ t }^{ 3 } \\ y=t \end{cases}$$
Esta ecuación de la trayectoria está expresada en forma paramétrica. Para expresarla en forma general, debemos reescribirla sin tener en cuenta el tiempo:
$$t=\sqrt [ 3 ]{ x } $$
$$y=\sqrt [ 3 ]{ x } $$
Esta última es la ecuación general de la trayectoria. Como vemos, tiene trayectoria curvilínea.
b) La velocidad y la aceleración en cualquier instante.
Se nos pide el vector velocidad y aceleración en función del tiempo. Como tenemos el vector posición, podemos derivarlo en función del tiempo y obtener así el vector velocidad instantánea. Si derivamos el primero dos veces, obtendríamos el vector aceleración instantánea:
$$\dot { x } =3{ t }^{ 2 }\vec { i } +\vec { j } \\ \ddot { x } =6t\vec { i } $$
c) La aceleración tangencial para t = 1 s.
Como realizarlo de forma vectorial es muy largo, lo haremos sin tener en cuenta el vector unitario, es decir en módulo. La aceleración tangencial en módulo lo obtendríamos derivando en función del tiempo el módulo del vector velocidad instantánea, también llamado celeridad. Una vez tenemos la función de la aceleración tangencial, sustituimos el valor del tiempo.
$${ a }_{ t }(t)=\frac { 36{ t }^{ 3 } }{ 2\sqrt { 9{ t }^{ 4 }+1 } } =\frac { 18{ t }^{ 3 } }{ \sqrt { 9{ t }^{ 4 }+1 } } \\ { a }_{ t }(1)=\frac { 18\cdot { 1 }^{ 3 } }{ \sqrt { 9\cdot { 1 }^{ 4 }+1 } } =\frac { 9\sqrt { 10 } }{ 5 } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$
6.- Un cuerpo se mueve en el plano XY según la ecuación:
$$\vec { r } =\left( 2t+3 \right) \vec { i } +\left( { t }^{ 2 }-1 \right) \vec { j } \quad \quad m$$
a) Deduce las expresiones de sus vectores velocidad y aceleración en función del tiempo, así como las de sus respectivos módulos en función del tiempo:
Tenemos que derivar el vector y luego realizar el módulo de la derivada, es decir, la celeridad y el módulo de la aceleración instantánea:
$$\dot { x } =2\vec { i } +2t\vec { j } \quad \quad \frac { m }{ s } \\ \ddot { x } =2\vec { j } \quad \quad \frac { m }{ { s }^{ 2 } } \\ \left| \dot { x } \right| =\sqrt { 4+4{ t }^{ 2 } } =2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } \frac { m }{ s } \\ \left| \ddot { x } \right| =\sqrt { 4 } =2\frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$
b) Determina la expresión la expresión para su aceleración tangencial en función del tiempo.
Simplemente, tenemos que derivar la celeridad, sin tener que multiplicarla por el vector unitario, para así obtener el módulo de la aceleración tangencial:
$$\left| \dot { x } \right| =\sqrt { 4+4{ t }^{ 2 } } =2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } \frac { m }{ s } $$
$${ a }_{ t }=2\frac { 2t }{ 2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } =\frac { 2t }{ \sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$
c) Calcula los valores de la velocidad, la aceleración y la aceleración tangencial para t = 2 s.
Como ya tenemos todos las expresiones, tendremos que sustituir el valor en las expresiones. Nota: Tenemos que usar los módulos, ya que se nos pide el valor de la velocidad, no el valor del vector velocidad:
Expresiones:
$$\left| \dot { x } \right| =\sqrt { 4+4{ t }^{ 2 } } =2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } \frac { m }{ s } \\ \left| \ddot { x } \right| =\sqrt { 4 } =2\frac { m }{ { s }^{ 2 } } \\ { a }_{ t }=2\frac { 2t }{ 2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } =\frac { 2t }{ \sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$
Valores sustituidos:
$$\left| \dot { x } \right| =2\sqrt { 5 } \frac { m }{ s } \\ \left| \ddot { x } \right| =2\frac { m }{ { s }^{ 2 } } \\ { a }_{ t }=\frac { 4\sqrt { 5 } }{ 5 } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$
d) Determina la aceleración centrípeta para t = 2 s.
Como sabemos que el módulo de la aceleración instantánea al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los módulos de la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta o normal, establecemos que:
$${ a }_{ n }=\sqrt { { \left| \ddot { x } \right| }^{ 2 }-{ { a }_{ t } }^{ 2 } } $$
Si colocamos los valores cuando t = 2 s, obtendremos el valor de la aceleración normal cuando t = 2 s:
$${ a }_{ n }=\sqrt { { 2 }^{ 2 }-{ \left( \frac { 4\sqrt { 5 } }{ 5 } \right) }^{ 2 } } =\frac { 2\sqrt { 5 } }{ 5 } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$
e) Calcula el radio de curvatura para t = 2 s.
Como sabemos que la aceleración normal es el cociente entre el cuadrado de la celeridad y el radio de curvatura, deducimos que:
$${ a }_{ n }=\frac { { \left| \dot { x } \right| }^{ 2 } }{ \rho } \\ \rho =\frac { { \left| \dot { x } \right| }^{ 2 } }{ { a }_{ n } } $$
El radio de curvatura es:
$$\rho =\frac { 20\cdot 5 }{ 2\sqrt { 5 } } =10\sqrt { 5 } m$$
f) Haz un dibujo de las componentes intrínsecas de la aceleración total para un movimiento circular.
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