La ecuación de la ley de gravitación universal es:
$$\hat { r } =\frac { \vec { r } }{ r } $$
Ejercicio típico de examen: Calcula la fuerza gravitatoria que ejerce un meteorito de 100000 kg hacia otro de 300 kg si el último se encuentra en el $O\left( 0,0 \right) $ y el primero en $P\left( 4,1 \right) $, teniendo en cuenta que cada unidad es un metro.
Como sabemos que el cateto opuesto corresponde a un metro y el cateto contiguo a 4 metros, podemos sumar los vectores para obtener el vector hipotenusa:
$$\vec { r } =\vec { { r }_{ x } } +\vec { { r }_{ y } } $$
$$\vec { r } =\left( 4\vec { i } +1\vec { j } \right) m$$
El módulo se obtiene usando el teorema de Pitágoras, correspondiente a:
$$r=\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } m=\sqrt { 17 } m$$
Usando la ecuación, tenemos:
$$\vec { { F }_{ 21 } } =-G\frac { 100000kg\cdot 300kg }{ { \left( \sqrt { 17 } \right) }^{ 3 }{ m }^{ 3 } } \left( 4\vec { i } +1\vec { j } \right) m$$
Debemos multiplicar cada constante por cada componente del vector:
$$\vec { { F }_{ 21 } } =\left( -1'14257\cdot { 10 }^{ -4 }\vec { i } -2'85643\cdot { 10 }^{ -5 }\vec { j } \right) N$$
Como sabemos, en la relación entre la fuerza que ejerce La Luna hacia La Tierra y la del planeta al satélite es igual, pues tienen el mismo módulo, excepto el sentido, que es opuesto. Por ello, podemos afirmar que la fuerza gravitatoria entre ambos cuerpos es la misma que la fuerza normal del satélite. De aquí deducimos:
$$\vec { F } =-G\frac { { m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \hat { r } $$
Como sabemos que el vector unitario es igual al cociente entre el vector distancia y su módulo, la ecuación se puede resumir en:
Nota: El signo indica que el
sentido de la fuerza es opuesto al del vector unitario distancia.
Como sabemos que el vector unitario es igual al cociente entre el vector distancia y su módulo, la ecuación se puede resumir en:
$$\hat { r } =\frac { \vec { r } }{ r } $$
$$\vec { F } =-G\frac { { m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 2 } } \frac { \vec { r } }{ r } =-G\frac { { m }_{ 1 }{ m }_{ 2 } }{ { r }^{ 3 } } \vec { r } $$
Ejercicio típico de examen: Calcula la fuerza gravitatoria que ejerce un meteorito de 100000 kg hacia otro de 300 kg si el último se encuentra en el $O\left( 0,0 \right) $ y el primero en $P\left( 4,1 \right) $, teniendo en cuenta que cada unidad es un metro.
Como sabemos que el cateto opuesto corresponde a un metro y el cateto contiguo a 4 metros, podemos sumar los vectores para obtener el vector hipotenusa:
$$\vec { r } =\vec { { r }_{ x } } +\vec { { r }_{ y } } $$
$$\vec { r } =\left( 4\vec { i } +1\vec { j } \right) m$$
El módulo se obtiene usando el teorema de Pitágoras, correspondiente a:
$$r=\sqrt { { 4 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } m=\sqrt { 17 } m$$
Usando la ecuación, tenemos:
$$\vec { { F }_{ 21 } } =-G\frac { 100000kg\cdot 300kg }{ { \left( \sqrt { 17 } \right) }^{ 3 }{ m }^{ 3 } } \left( 4\vec { i } +1\vec { j } \right) m$$
Debemos multiplicar cada constante por cada componente del vector:
$$\vec { { F }_{ 21 } } =\left( -1'14257\cdot { 10 }^{ -4 }\vec { i } -2'85643\cdot { 10 }^{ -5 }\vec { j } \right) N$$
Como sabemos, en la relación entre la fuerza que ejerce La Luna hacia La Tierra y la del planeta al satélite es igual, pues tienen el mismo módulo, excepto el sentido, que es opuesto. Por ello, podemos afirmar que la fuerza gravitatoria entre ambos cuerpos es la misma que la fuerza normal del satélite. De aquí deducimos:
$${ F }_{ g }={ F }_{ c }\\ G\frac { { m }_{ s }{ m }_{ f } }{ { r }^{ 2 } } ={ m }_{ s }\frac { { v }^{ 2 } }{ r } \\ G\frac { { m }_{ s }{ m }_{ f } }{ { r }^{ 2 } } ={ m }_{ s }{ \omega }^{ 2 }r$$
Además:
$$\omega =\frac { 2\pi }{ T } $$
Por lo que:
$$G\frac { { m }^{ f } }{ { r }^{ 3 } } =\frac { 4{ \pi }^{ 2 } }{ { T }^{ 2 } } $$
Y como sabemos, la tercera ley de Kepler enuncia que:
Para cualquier planeta, el cuadrado de su período orbital es directamente proporcional al cubo de la longitud del semieje mayor de su órbita elíptica.
Es decir:
$${ T }^{ 2 }=k{ r }^{ 3 }$$
Por lo que de la anterior ecuación, deducimos que:
$$k=\frac { 4{ \pi }^{ 2 } }{ { m }_{ f }G }$$
Ejercicio 1: Deduzca la constante de proporcionalidad entre el periodo y el radio de Venus respecto del Sol, si la masa solar es de 2∙1030
kg.
$$k=\frac { 4{ \pi }^{ 2 } }{ { m }_{ ⊙︎ }G } =2'9577\cdot { 10 }^{ -19 }\quad \frac { kg }{ N\cdot { m }^{ 2 } } $$
Nota: La constante será la misma siempre y cuando el planeta se encuentra en órbita elíptica alrededor del Sol.
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