PRUEBA ESCRITA (3ª EVAL.) DE FÍSICA Y QUÍMICA. 1º BACHI (Primer examen)

1. Un jugador de rugby patea un balón hacia los palos. La velocidad de salida del balón es 105 km/h y el ángulo de lanzamiento es de 30º. La portería se encuentra a 65 m del punto de lanzamiento y el palo transversal está elevado 3 m sobre el césped.

(2 p)

a) Determina la velocidad del balón al cabo de 5 s del lanzamiento.

DATO: g = 9,8 m/s²

Calcularé la velocidad teniendo en cuenta la velocidad horizontal constante y el suelo sin rozamiento. Como el ejercicio se basa en usar los vectores, tendré en cuenta que tras caer, aún desciende más altura, para que así tenga sentido la ecuación vectorial, en la que no se tiene en cuenta si la altura es 0 m, por lo que siempre dará una velocidad nueva si desciende de la altura que hemos llamado 0 m:

$$\vec { v } =\left( { v }_{ 0 }\cdot \cos { \theta  } \vec { i } +\left( { v }_{ 0 }\cdot \sin { \theta  } -gt \right) \vec { j }  \right)  $$

Esta es la ecuación vectorial normal, con lo que, usando trigonometría, obtenemos:

$$\vec { v } =\left( 29'1\overline { 6 } \cdot \cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } \vec { i } +\left( 29'1\overline { 6 } \cdot \sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } -g\cdot 5s \right) \vec { j }  \right) \frac { m }{ s } \\ \vec { v } =\left( 25'2591\vec { i } -34'45\vec { j }  \right) \frac { m }{ s } $$

Con dejarla en forma vectorial ya nos basta. Nota: La velocidad hay que pasarla primero a unidades del sistema internacional.

b) La altura máxima del lanzamiento y su alcance máximo.

Usando estas ecuaciones podemos obtener la altura máxima y el alcance máximo:

$${ y }_{ máx }=\frac { { { v }_{ 0 } }^{ 2 }\cdot \sin ^{ 2 }{ \theta  }  }{ 2g } \quad { y }_{ máx }=10'8433m\\ { x }_{ máx }=\frac { { v_{ 0 } }^{ 2 }\cdot \sin { 2\theta  }  }{ g } \quad { x }_{ máx }=75'12484m$$

c) Indica razonadamente si marcará el tanto.

^{Hay dos condiciones para que marque el tanto. La primera es que llegue a los 65 m y la segunda es que la altura sea mayor a 3 m, pues en rugby el balón debe pasar por encima del palo transversal.}

La primera se cumple, ya que el alcance es mayor a 65 m. Para ver la altura del balón a los 65 m debemos usar las ecuaciones de cinemática:

$$y=tg\theta \cdot x-\frac { g\cdot { x }^{ 2 } }{ 2\cdot { { { v }_{ 0 } } }^{ 2 }\cdot \cos ^{ 2 }{ \theta  }  } \quad y=5'05775m$$

La altura en 65 m es mayor a 3 m, por lo que sí que marca el tanto.

2.- Se deja caer una pelota desde 80 m de altura. Un segundo más tarde una segunda pelota se lanza desde el suelo verticalmente y hacia arriba con una velocidad inicial de 40 m/s. Determina:

(2 p)

a) El punto en que se encuentran las dos pelotas:

Como tenemos que la segunda pelota se lanza un segundo después que la primera, tenemos que su tiempo es (t-1). Como se cruzan en un punto común, debemos igualar las expresiones de sus posiciones:

$$x_{ a }={ x }_{ b }\\ 80-\frac { g }{ 2 } { t }^{ 2 }=40\cdot \left( t-1 \right) -\frac { g }{ 2 } { \left( t-1 \right)  }^{ 2 }\\ 80-\frac { g }{ 2 } { t }^{ 2 }=40t-40-\frac { g }{ 2 } { t }^{ 2 }-\frac { g }{ 2 } +gt\\ t=\frac { 80+40+\frac { g }{ 2 }  }{ 40+g } =2'50776s$$

Como el punto en que se cruzan depende de la pelota que estemos mirando, lo expresaremos directamente con el tiempo ya sacado.

b) El espacio recorrido por cada una.

Simplemente tenemos que usar las ecuaciones de cinemática con el tiempo hallado:

$${ x }_{ b1 }=40\cdot \left( 2'50776-1 \right) -\frac { g }{ 2 } { \left( 2'50776-1 \right)  }^{ 2 }=49'1636m\\ { x }_{ a1 }=-\frac { g }{ 2 } \cdot { \left( 2'50776 \right)  }^{ 2 }=-30'8364m$$

3.- Una partícula describe una circunferencia de 5 m de radio con una velocidad constante de 2 m/s. En un instante determinado frena con una aceleración constante de m/s² hasta parar. Calcula:

(2 p)

a) La velocidad angular en r.p.m. de la partícula antes de frenar.

Antes de frenar la velocidad angular era constante, por lo que, usando la velocidad lineal, podremos calcular la velocidad angular en rad/s:

$$v=\omega \cdot r\quad \omega =\frac { v }{ r } \quad $$

$$\omega =\frac { 2\frac { m }{ s }  }{ 5m } =0'4\frac { rad }{ s } \cdot \frac { 1rev }{ 2\pi rad } \cdot \frac { 60s }{ 1min } =\frac { 12 }{ \pi  } r.p.m.$$

b) La aceleración angular mientras frena.

La aceleración angular constante la obtenemos con una relación radio-aceleración:

$$a=\alpha \cdot r\quad \alpha =\frac { a }{ r } $$

$$\alpha =-\frac { 0'5\frac { m }{ { s }^{ 2 } }  }{ 5m } =-0'1\frac { rad }{ { s }^{ 2 } } $$

Nota: El signo de la aceleración negativa viene dado por el hecho de que la partícula frena.

c) El número de vueltas que da desde que empieza a frenar hasta que se detiene.

Como no tenemos tiempo, debemos hacer uso de la ecuación independiente del tiempo:

$${ \omega  }^{ 2 }={ { \omega  }_{ 0 } }^{ 2 }-2\alpha \Delta \theta $$

Como la velocidad angular llegará a ser nula, la expresión queda como:

$${ { \omega  }_{ 0 } }^{ 2 }=2\alpha \Delta \theta$$

$$\Delta \theta =\frac { { { \omega  }_{ 0 } }^{ 2 } }{ 2\alpha  } \quad \Delta \theta =\frac { { \left( 0'4 \right)  }^{ 2 }\frac { rad }{ { s } }  }{ 2\cdot 0'1\frac { rad }{ { s }^{ 2 } }  } =0'8rad\cdot \frac { 1rev }{ 2\pi rad } =\frac { 2 }{ 5\pi  } rev$$


4.- Una pelota de tenis de 100 g de masa llega horizontalmente a la raqueta con una velocidad de 50 m/s. Tras el impacto sale disparada con una velocidad de 65 m/s, formando un ángulo de 37º sobre la horizontal. ¿Cuánto vale el impulso I comunicado a la pelota? Expresa dicho impulso como vector determinando su valor y dirección.

(2 p)

El ejercicio se resuelve mediante vectores. Por ello, empezaremos asignando los vectores de los ímpetus aplicados en el impulso:

$$\vec { { p }_{ i } } =\left( 0'1\cdot 50\vec { i }  \right) kg\frac { m }{ s } =\left( 5\vec { i }  \right) kg\frac { m }{ s } $$

Como la pelota es devuelta, la velocidad final y el ángulo que lo forman serán ambos negativos:

$$\vec { { p }_{ f } } =\left( -65\cdot 0'1\cdot \cos { -\frac { 37 }{ 180 } \pi  } \vec { i } -65\cdot 0'1\cdot \sin { -\frac { 37 }{ 180 } \pi  } \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } \\ \vec { { p }_{ f } } =\left( -5'191131\vec { i } +3'9118\vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } $$

Teniendo en cuenta que el impulso es la variación del ímpetu, hacemos una simple resta de vectores:

$$\vec { I } =\Delta \vec { p } =\vec { { p }_{ f } } -\vec { { p }_{ i } } =\left( -5'191131-5\vec { i } +3'9118\vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } =\left( -10'191131\vec { i } +3'9118\vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } $$

El valor es el módulo:

$$I=\sqrt { { \left( -10'191131 \right)  }^{ 2 }+{ \left( 3'9118 \right)  }^{ 2 } } =10'9161kg\frac { m }{ s } $$

La dirección ya viene dada por el módulo.

5.- Una bola de masa 250 g se mueve a 0,5 m/s a lo largo del eje x y choca contra una partícula de 350 g que se halla en reposo. Después del choque, la primera partícula se mueve a 0,25 m/s en una dirección que forma 30º con el eje x. Determina:

(2 p)

a) La magnitud y la dirección de la velocidad de la segunda partícula después del choque.
b) El vector velocidad y el vector cantidad de movimiento de la segunda partícula después del choque.

Ambos apartados se hacen juntos, pues obtener uno implica una parte del otro. El ejercicio se hace vectorialmente, así que asignaremos los vectores correspondientes teniendo en cuenta la ecuación de la conservación del ímpetu:

$$\Delta \vec { { p }_{ i } } =\Delta \vec { { p }_{ f } } \\ \vec { { p }_{ 1i } } +\vec { { p }_{ 2i } } =\vec { { p }_{ 1f } } +\vec { { p }_{ 2f } } $$

Como la bola primera en su momento inicial se mueve en dirección del eje de abscisas formando un ángulo 0, el vector se queda de forma que solo tiene componente i, pues el seno de 0 radianes es 0 y el coseno del mismo es 1. Con esto tenemos:

$$\vec { { p }_{ 1i } } =\left( 0'25\cdot 0'5\vec { i }  \right) kg\frac { m }{ s } =\left( \frac { 1 }{ 8 } \vec { i }  \right) kg\frac { m }{ s }  $$

La bola segunda está en reposo en su momento inicial, con lo que su ímpetu en ese entonces es nulo:

$$\vec { { p }_{ 2i } } =0$$

Usando la ecuación de los vectores teniendo en cuenta el módulo y el ángulo, tenemos que:

$$\vec { p } =\left( p\cdot \cos { \theta  } \vec { i } +p\cdot \sin { \theta  } \vec { j }  \right) $$

$$\vec { { p }_{ 1f } } =\left( 0'35\cdot 0'25\cdot \cos { \frac { \pi  }{ 6 }  } \vec { i } +0'35\cdot 0'25\cdot \sin { \frac { \pi  }{ 6 }  } \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } $$

$$\vec { { p }_{ 1f } } =\left( \frac { 7\sqrt { 3 }  }{ 160 } \vec { i } +\frac { 7 }{ 160 } \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } $$

El vector ímpetu final de la bola segunda es nuestra incógnita. Sin embargo, antes sacaremos el vector velocidad. Para ello, multiplicaremos el vector velocidad con la constante masa de la segunda bola y la usaremos para dividir el vector ímpetu:

$$\left( \frac { 1 }{ 8 } \vec { i }  \right) kg\frac { m }{ s } =\left( \frac { 7\sqrt { 3 }  }{ 160 } \vec { i } +\frac { 7 }{ 160 } \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } +0'35kg\cdot \vec { { v }_{ 2f } } $$

$$\left( \frac { 1 }{ 8 } \vec { i }  \right) kg\frac { m }{ s } -\left( \frac { 7\sqrt { 3 }  }{ 160 } \vec { i } +\frac { 7 }{ 160 } \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } =0'35kg\cdot \vec { { v }_{ 2f } } $$

$$\left( \frac { 20-7\sqrt { 3 }  }{ 160 } \vec { i } -\frac { 7 }{ 160 } \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } =0'35kg\cdot \vec { { v }_{ 2f } } $$

$$\vec { { v }_{ 2f } } =\frac { \left( \frac { 20-7\sqrt { 3 }  }{ 160 } \vec { i } -\frac { 7 }{ 160 } \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s }  }{ 0'35kg } =\left( \frac { 400-140\sqrt { 3 }  }{ 1120 } \vec { i } -\frac { 1 }{ 8 } \vec { j }  \right) \frac { m }{ s } $$

Como ya tenemos el vector velocidad y la dirección ya es expresada por el propio vector, sacaremos el módulo (magnitud):

$${ v }_{ 2f }=\sqrt { { \left( \frac { 400-140\sqrt { 3 }  }{ 1120 }  \right)  }^{ 2 }+{ \left( -\frac { 1 }{ 8 }  \right)  }^{ 2 } } \approx 0'1881585\frac { m }{ s } $$

Sacaremos también el ángulo que forma el vector velocidad, que es el mismo que forma el vector ímpetu o cantidad de movimiento:

$${ tg }^{ -1 }\frac { -\frac { 1 }{ 8 }  }{ \frac { 400-140\sqrt { 3 }  }{ 1120 }  } \approx -0'726601714rad$$

Finalmente, usando la propiedad de los vectores y las constantes, obtendremos el vector ímpetu o cantidad de movimiento:

$$m\cdot \vec { v } =\left( m\cdot v\vec { i } +m\cdot v'\vec { j }  \right) $$

$$\vec { { p }_{ 2f } } =0'35kg\cdot \left( \frac { 400-140\sqrt { 3 }  }{ 1120 } \vec { i } -\frac { 1 }{ 8 } \vec { j }  \right) \frac { m }{ s } =\left( \frac { 20-7\sqrt { 3 }  }{ 160 } \vec { i } -\frac { 7 }{ 160 } \vec { j }  \right) kg\frac { m }{ s } $$