Tema 5: Ecuaciones y sistemas de ecuaciones lineales.
1. Encuentra la solución para las siguientes ecuaciones de primer grado, dando los pasos necesarios:
2 puntos
a) $7+5\cdot \left( 3-2x \right) =12+9x-5\cdot \left( 5x-8 \right) $
Primero realizamos los productos usando distributividad: $a\cdot \left( b+c \right) =a\cdot b+a\cdot c\\ -a\cdot \left( b+c \right) =-a\cdot b-a\cdot c$
$$7+15-10x=12+9x-25x+40$$
Luego, dejamos la incógnita a un lado y los términos independientes al otro:
$$6x=30$$
Dividimos ambos términos por 6 y tendremos:
$$\frac { 6 }{ 6 } x=\frac { 30 }{ 6 } \\ x=5$$
b) $\frac { 4 }{ 5 } -2x+\frac { 3x }{ 2 } =2-\frac { 7x }{ 10 } $
Usando mínimo común tendremos que:
$$\frac { 8 }{ 10 } -\frac { 20x }{ 10 } +\frac { 15x }{ 10 } =\frac { 20 }{ 10 } -\frac { 7x }{ 10 } \\ \frac { 8-5x }{ 10 } =\frac { 20-7x }{ 10 } $$
Como tenemos el mismo denominador en ambos miembros (constante), los eliminamos:
$$8-5x=20-7x\\ 2x=12\\ x=6$$
c) $ \frac { x-3 }{ 4 } -\frac { x-1 }{ 9 } =\frac { x-5 }{ 6 } $
Hacemos m.c.m.:
$$\frac { 9x-27 }{ 36 } -\frac { 4x-4 }{ 36 } =\frac { 6x-30 }{ 36 } \\ \frac { 9x-27-\left( 4x-4 \right) }{ 36 } =\frac { 6x-30 }{ 36 } \\ \frac { 5x-23 }{ 36 } =\frac { 6x-30 }{ 36 } \\ 5x-23=6x-30\\ x=7$$
Nota: Si un signo negativo pospone a una fracción, este signo afecta a todo el numerador.
2. Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:
2,5 puntos
a) $7{ x }^{ 2 }+21x=0$
Como tenemos la incógnita en todos los términos, podemos realizar factor común (inversa a la propiedad distributiva):
$$x\cdot \left( 7{ x }+21 \right) =0$$
Si dividimos el término que multiplica a la incógnita con cero, obtendremos que una de las soluciones cero. Por ello, si tenemos la propia incógnita multiplicando y se iguala a cero, una de las soluciones será cero:
$$x=\frac { 0 }{ 7{ x }+21 } =0$$
Tengamos en cuenta que si el término (7x+21) es igual a cero, se cumple la igualdad, ya que x·0=0. La segunda solución es:
$$7{ x }+21=0\\ x=-\frac { 21 }{ 7 } =-3$$
b) ${ x }^{ 2 }-3x-10=0$
Como no podemos usar ningún método simple para obtener las soluciones, debemos usar la ecuación cuadrática:
$$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } $$
Usándola tenemos:
$$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } $$
O lo que es lo mismo:
b) ${ x }^{ 2 }-3x-10=0$
Como no podemos usar ningún método simple para obtener las soluciones, debemos usar la ecuación cuadrática:
$$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } $$
Usándola tenemos:
$$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } $$
O lo que es lo mismo:
$${ x }_{ 1 }=5\\ { x }_{ 2 }=-2$$
c) $5{ x }^{ 2 }-20=0$
Podemos despejar simplemente la incógnita dejando términos a un miembro y otros al otro. El resultado será:
$${ x }^{ 2 }=\frac { 20 }{ 5 } =4$$
Ahora bien, al tener una raíz cuadrada, la podemos despejar pasándola al otro miembro de forma que la solución es la misma pero con alteración de signos:
$${ x }^{ 2 }=4\\ x=\pm \sqrt { 4 } =\pm 2$$
d) $5{ x }^{ 2 }-15x+10=0$
Al no poder hacer nada, deberemos usar la ecuación cuadrática:
$$x=\frac { 15\pm \sqrt { 225-4\cdot 5\cdot 10 } }{ 2\cdot 5 } =\frac { 15\pm \sqrt { 25 } }{ 10 } =\frac { 15\pm 5 }{ 10 } $$
O lo que es lo mismo:
$${ x }_{ 1 }=2\\ { x }_{ 2 }=1$$
3. Usando el método más adecuado, halla la solución de los siguientes sistemas:
Para mí, el método más adecuado y rápido es el método de reducción:
a) $\begin{cases} x+3y=-5 \\ 2x-y=4 \end{cases}$
Para poder sumar las ecuaciones y eliminar una de las incógnitas, multiplicaremos la primera por el valor -2. Una vez hagamos esto, si sumamos las ecuaciones, la incógnita x se habrá eliminado:
$$\begin{cases} -2x-6y=10 \\ 2x-y=4 \end{cases}$$
Sumadas:
$$-7y=14\\ y=-2$$
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones, obtendremos el valor de la incógnita x:
$$-7y=14\\ y=-2$$
b) $\begin{cases} x=y+1 \\ 4x-3y=8 \end{cases}$
Usaremos de nuevo el método de reducción, esta vez multiplicando por -4 la primera ecuación:
$$\begin{cases} -4x=-4y-4 \\ 4x-3y=8 \end{cases}$$
Sumándolas:
$$-3y=-4y+4\\ \\ y=4$$
Usando la primera ecuación:
$$x=4+1=5$$
4. Se desea mezclar un jabón líquido normal de 1,50 €/L con jabón extra de 2 €/L, para hacer 200 L de mezcla a 1,70 €/L. Calcula la cantidad de L que se debe mezclar de cada tipo de jabón.
Primero, organizaremos el sistema de ecuaciones:
Como nos dan los precios, los escribiremos de forma que tengamos los datos:
$$\begin{cases} 1'5x+2y=1'7\cdot 200L \\ x+y=200L \end{cases}$$
Nota: La suma de los litros ha de ser 200L. Con los precios, sabemos que el precio final será de los 200L.
Usaremos el método de reducción, multiplicando la segunda ecuación por -1'5:
$$\begin{cases} 1'5x+2y=1'7\cdot 200L \\ -1'5x-1'5y=-300L \end{cases}$$
Sumadas:
$$0'5y=40L\\ y=80L$$
Usaremos la segunda ecuación original para obtener la incógnita restante:
$$x=200L-80L=120L$$
Del primer tipo: 120L
Del segundo tipo: 80 L
c) $5{ x }^{ 2 }-20=0$
Podemos despejar simplemente la incógnita dejando términos a un miembro y otros al otro. El resultado será:
$${ x }^{ 2 }=\frac { 20 }{ 5 } =4$$
Ahora bien, al tener una raíz cuadrada, la podemos despejar pasándola al otro miembro de forma que la solución es la misma pero con alteración de signos:
$${ x }^{ 2 }=4\\ x=\pm \sqrt { 4 } =\pm 2$$
d) $5{ x }^{ 2 }-15x+10=0$
Al no poder hacer nada, deberemos usar la ecuación cuadrática:
$$x=\frac { 15\pm \sqrt { 225-4\cdot 5\cdot 10 } }{ 2\cdot 5 } =\frac { 15\pm \sqrt { 25 } }{ 10 } =\frac { 15\pm 5 }{ 10 } $$
O lo que es lo mismo:
$${ x }_{ 1 }=2\\ { x }_{ 2 }=1$$
3. Usando el método más adecuado, halla la solución de los siguientes sistemas:
2 puntos
Para mí, el método más adecuado y rápido es el método de reducción:
a) $\begin{cases} x+3y=-5 \\ 2x-y=4 \end{cases}$
Para poder sumar las ecuaciones y eliminar una de las incógnitas, multiplicaremos la primera por el valor -2. Una vez hagamos esto, si sumamos las ecuaciones, la incógnita x se habrá eliminado:
$$\begin{cases} -2x-6y=10 \\ 2x-y=4 \end{cases}$$
Sumadas:
$$-7y=14\\ y=-2$$
Sustituyendo en cualquiera de las ecuaciones, obtendremos el valor de la incógnita x:
$$-7y=14\\ y=-2$$
b) $\begin{cases} x=y+1 \\ 4x-3y=8 \end{cases}$
Usaremos de nuevo el método de reducción, esta vez multiplicando por -4 la primera ecuación:
$$\begin{cases} -4x=-4y-4 \\ 4x-3y=8 \end{cases}$$
Sumándolas:
$$-3y=-4y+4\\ \\ y=4$$
Usando la primera ecuación:
$$x=4+1=5$$
4. Se desea mezclar un jabón líquido normal de 1,50 €/L con jabón extra de 2 €/L, para hacer 200 L de mezcla a 1,70 €/L. Calcula la cantidad de L que se debe mezclar de cada tipo de jabón.
1 punto
Primero, organizaremos el sistema de ecuaciones:
Como nos dan los precios, los escribiremos de forma que tengamos los datos:
$$\begin{cases} 1'5x+2y=1'7\cdot 200L \\ x+y=200L \end{cases}$$
Nota: La suma de los litros ha de ser 200L. Con los precios, sabemos que el precio final será de los 200L.
Usaremos el método de reducción, multiplicando la segunda ecuación por -1'5:
$$\begin{cases} 1'5x+2y=1'7\cdot 200L \\ -1'5x-1'5y=-300L \end{cases}$$
Sumadas:
$$0'5y=40L\\ y=80L$$
Usaremos la segunda ecuación original para obtener la incógnita restante:
$$x=200L-80L=120L$$
Del primer tipo: 120L
Del segundo tipo: 80 L
5. Por 4 pantalones y 3 camisetas pagamos 87 €. Si un pantalón cuesta 6 € más que una camiseta, ¿cuánto cuesta una camiseta? ¿Y un pantalón?
El sistema de ecuaciones es muy simple:
\begin{cases} 4x+3y=87€ \\ x=y+6€ \end{cases}
La incógnita x corresponde al valor en euros de pantalones y la incógnita y al valor de las camisetas en euros.
Usando reducción, se nos queda:
$$\begin{cases} 4x+3y=87€ \\ -4x=-4y-24€ \end{cases}$$
$$3y=-4y+63€$$
$$y=\frac { 63€ }{ 7 } =9€$$
El precio de una camiseta es 9€.
El precio del pantalón lo obtenemos de la segunda ecuación:
$$x=9€+6€=15€$$
El precio de un pantalón es 15€.
a) Una madre tiene 35 años más que su hijo, y dentro de 15 años su edad será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tienen en la actualidad?
Llamando y a la edad actual de la madre y x a la edad actual del hijo, tendremos:
$$\begin{cases} y=x+35años \\ y+15años=2\cdot \left( x+15años \right) \end{cases}$$
La segunda ecuación puede simplificarse de la siguiente forma:
$$y+15años=2x+30años\\ y=2x+15años$$
Con lo que tenemos:
$$\begin{cases} y=x+35años \\ y=2x+15años \end{cases}$$
Usando el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por -1 y sumándolas tendremos:
$$\begin{cases} -y=-x-35años \\ y=2x+15años \end{cases}$$
$$0=x-20años\\ x=20años$$
La edad del hijo es 20 años.
$$y=20años+35años\\ y=55años$$
La edad de la madre es 55 años.
b) La base de un rectángulo mide 9 cm más que la altura. Si su perímetro mide 74 cm, ¿cuáles serán las dimensiones del rectángulo?
Llamando y a la altura y x a la base, tendremos:
$$\begin{cases} x=y+9cm \\ 2x+2y=74cm \end{cases}$$
Usando el método de reducción, multiplicaremos la primera ecuación por -2:
$$\begin{cases} -2x=-2y-18cm \\ 2x+2y=74cm \end{cases}$$
$$2y=-2y+56cm\\ y=\frac { 56cm }{ 4 } =14cm$$
La altura mide 14 centímetros.
Usando la primera ecuación original:
$$x=14cm+9cm=23cm$$
La base mide 23 centímetros.
1 punto
El sistema de ecuaciones es muy simple:
\begin{cases} 4x+3y=87€ \\ x=y+6€ \end{cases}
La incógnita x corresponde al valor en euros de pantalones y la incógnita y al valor de las camisetas en euros.
Usando reducción, se nos queda:
$$\begin{cases} 4x+3y=87€ \\ -4x=-4y-24€ \end{cases}$$
$$3y=-4y+63€$$
$$y=\frac { 63€ }{ 7 } =9€$$
El precio de una camiseta es 9€.
El precio del pantalón lo obtenemos de la segunda ecuación:
$$x=9€+6€=15€$$
El precio de un pantalón es 15€.
6. Plantea y resuelve:
1,5 puntos
a) Una madre tiene 35 años más que su hijo, y dentro de 15 años su edad será el doble de la del hijo. ¿Cuántos años tienen en la actualidad?
Llamando y a la edad actual de la madre y x a la edad actual del hijo, tendremos:
- La edad de la madre es igual a la edad del hijo más 35 años.
- La edad de la madre más quince años es igual a dos veces la edad del hijo más quince años.
Unidas forman el siguiente sistema de dos incógnitas:
$$\begin{cases} y=x+35años \\ y+15años=2\cdot \left( x+15años \right) \end{cases}$$
La segunda ecuación puede simplificarse de la siguiente forma:
$$y+15años=2x+30años\\ y=2x+15años$$
Con lo que tenemos:
$$\begin{cases} y=x+35años \\ y=2x+15años \end{cases}$$
Usando el método de reducción, multiplicando la primera ecuación por -1 y sumándolas tendremos:
$$\begin{cases} -y=-x-35años \\ y=2x+15años \end{cases}$$
$$0=x-20años\\ x=20años$$
La edad del hijo es 20 años.
$$y=20años+35años\\ y=55años$$
La edad de la madre es 55 años.
b) La base de un rectángulo mide 9 cm más que la altura. Si su perímetro mide 74 cm, ¿cuáles serán las dimensiones del rectángulo?
Llamando y a la altura y x a la base, tendremos:
- La base es la suma de la altura y 9 centímetros.
- La suma de las dos bases y las dos alturas es igual a 74 cm.
Expresado en un sistema de ecuaciones de dos incógnitas, tendremos:
$$\begin{cases} x=y+9cm \\ 2x+2y=74cm \end{cases}$$
Usando el método de reducción, multiplicaremos la primera ecuación por -2:
$$\begin{cases} -2x=-2y-18cm \\ 2x+2y=74cm \end{cases}$$
$$2y=-2y+56cm\\ y=\frac { 56cm }{ 4 } =14cm$$
La altura mide 14 centímetros.
Usando la primera ecuación original:
$$x=14cm+9cm=23cm$$
La base mide 23 centímetros.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario