Ejercicios varios de selectividad (Matemáticas II-Cálculo infinitesimal y análisis matemático)

1A. 

a) Estudia la continuidad en todo ℝ de la función $f\left( x \right) =\frac { 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-1 } $ indicando los tipos de discontinuidad que aparecen.

Como tiene forma polinómica, amén de ser un cociente, va a ser continua la función en $\left( -\infty ,+\infty  \right) $. No obstante, esto puede cambiar si hay una asíntota vertical. Por ello, comenzaremos viendo a que tiende la ordenada cuando la abscisa es muy grande o muy pequeña. Usaremos límites:

$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-1 }  } =\left[ \frac { -\infty  }{ \infty  }  \right] $$

Obtenemos una indeterminación, con lo que podemos usar la regla de L'Hôpital:

$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-1 }  } =\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 6{ x }^{ 2 }-2{ x }-1 }{ { 2x } }  } =\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { { 12x }-2 }{ { 2 } }  } =-\infty $$

Hacemos lo mismo para una abscisa muy grande:

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-1 }  } =\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { 6{ x }^{ 2 }-2{ x }-1 }{ { 2x } }  } =\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { { 12x }-2 }{ { 2 } }  } =+\infty $$

Por ahora, tenemos una función continua. Sigamos viendo las asíntotas verticales, capaces de crear una discontinuidad de salto infinito. Para ello, el denominador ha de ser cero y el numerador distinto a cero. Obtendremos las raíces del denominador:

$${ x }^{ 2 }-1=0\\ x=\pm 1$$

Para ver si las soluciones forman una discontinuidad de salto infinito, tenemos que ver el límite en esas abscisas:

$$\lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-1 }  } =\frac { 2\cdot { \left( -1 \right)  }^{ 3 }-{ \left( -1 \right)  }^{ 2 }-\left( -1 \right)  }{ { \left( -1 \right)  }^{ 2 }-1 } =-\frac { 2 }{ 0 } =\infty $$

Tenemos en $x=-1$ una asíntota vertical, pues su límite es infinito, con lo que tenemos una discontinuidad de primera especie, en concreto, una de salto infinito. Ahora, tenemos la posibilidad de encontrar una asíntota vertical en $x=1$, así que realizaremos otro límite:

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-1 }  } =\frac { 2\cdot { 1 }^{ 3 }-{ 1 }^{ 2 }-1 }{ { 1 }^{ 2 }-1 } =\left[ \frac { 0 }{ 0 }  \right] $$

Tenemos una indeterminación, pudiendo ser resuelta con la regla de L'Hôpital:

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 2{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }-x }{ { x }^{ 2 }-1 }  } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \frac { 6{ x }^{ 2 }-2{ x }-1 }{ { 2x } }  } =\frac { 6\cdot { 1 }^{ 2 }-2\cdot 1-1 }{ 2\cdot 1 } =1'5$$

Como vemos, no existe ninguna discontinuidad en $x=1$, ya que tiene un valor distinto a infinito como ordenada. Dado esto, excluimos la abscisa con discontinuidad, con lo que definimos la función como continua exceptuando $x=-1$. Esto es lo mismo que el dominio, que definimos como:

$${ D }_{ f }=ℝ-\left\{ -1 \right\} $$

Aquí dejo la gráfica de la función para ver cómo solo hay una discontinuidad de salto infinito:

b) Calcula las coordenadas de los extremos relativos de la función $g\left( x \right) =x{ e }^{ -x }$.

Como sabemos, en un extremo relativo, la recta tangente al punto tiene pendiente 0, pues esta es una recta constante ($y=C'$). Por ello, sabemos que la pendiente tiene que ser 0. Además, sabemos que la pendiente la podemos obtener usando la función derivada. Haciendo esto, deberemos calcular el valor de la variable teniendo en cuenta que la pendiente sea 0. Por esto, primero diferenciaremos la ecuación. Para ello, usaremos la regla del producto de funciones:

$$g^{ ' }\left( x \right) ={ e }^{ -x }-x\cdot { e }^{ -x }=\left( { e }^{ -x } \right) \cdot \left( 1-x \right) $$

Como la pendiente ha de ser igual a cero, igualamos la función a cero:

$$m={ e }^{ -x }-x\cdot { e }^{ -x }=\left( { e }^{ -x } \right) \cdot \left( 1-x \right) =0$$

Resolvemos la ecuación para obtener la abscisa donde se encuentra el máximo o mínimo:

$$\left( { e }^{ -x } \right) \cdot \left( 1-x \right) =0$$

$$1-x=\frac { 0 }{ { e }^{ -x } } =0$$

$$x=1$$

El extremo se encuentra en la abscisa $x=1$. Para saber la ordenada en el punto, sustituimos la abscisa en la función original:

$$g\left( 1 \right) =1\cdot { e }^{ -1 }=\frac { 1 }{ e } $$

Por ello, el punto del extremo es $P\left( 1,{ e }^{ -1 } \right) $.

Aquí se puede observar el máximo relativo:

2A. a) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones $f\left( x \right) =16-{ x }^{ 2 }$ y $g\left( x \right) ={ \left( x+2 \right)  }^{ 2 }-4$.

Como vemos, tenemos dos funciones, pero como se nos pide el área limitada entre ellas, tendremos que obtener los puntos en los que ambas funciones cortan (de esta forma, sabremos el intervalo de la integral). Para ello, se igualan las ecuaciones y resolvemos la ecuación final.

$$16-{ x }^{ 2 }={ \left( x+2 \right)  }^{ 2 }-4\\ 16-{ x }^{ 2 }={ x }^{ 2 }+4x+4-4\\ 2{ x }^{ 2 }+4x-16=0\\ { x }_{ 1 }=2\quad { x }_{ 2 }=-4$$

El valor de abscisa $x=2$ y $x=-4$ formarán parte de nuestra integral definida. Además, como debemos generar una función sobre la que aplicar la integral definida, realizaremos una integral doble (doble variable).

$$\int _{ -4 }^{ 2 }{ \left[ \int _{ { \left( x+2 \right)  }^{ 2 }-4 }^{ 16-{ x }^{ 2 } }{ dy }  \right] dx } $$

1. La primera integral definida indica el intervalo referido a los puntos de corte (soluciones) de la función total.
2. Esta función final la obtenemos con otra integral, esta vez de variable distinta, pues al ser el intervalo una función, la variable ha de ser ordenada.
3. La resolución es igual que una integral definida corriente, pero con el cambio de que la resolvemos desde el interior hasta el exterior.

Como no encontramos ninguna variable y en la segunda integral, la solución será la resta de las funciones que hemos obtenido inicialmente:

$$\int _{ -4 }^{ 2 }{ \left[ { y }_{ { \left( x+2 \right)  }^{ 2 }-4 }^{ 16-{ x }^{ 2 } } \right] dx } =\int _{ -4 }^{ 2 }{ \left[ 16-{ x }^{ 2 }-\left( { \left( x+2 \right)  }^{ 2 }-4 \right)  \right] dx } $$

$$\int _{ -4 }^{ 2 }{ \left[ 16-{ x }^{ 2 }-\left( { \left( x+2 \right)  }^{ 2 }-4 \right)  \right] dx } =\int _{ -4 }^{ 2 }{ \left( -{ 2x }^{ 2 }-4x+16 \right) dx } $$

Ahora, usamos el segundo teorema fundamental del cálculo para obtener un valor número, siendo este el área entre ambas funciones:

$$\int _{ -4 }^{ 2 }{ \left( -{ 2x }^{ 2 }-4x+16 \right) dx } ={ \left( -\frac { 2 }{ 3 } { x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }+16x \right)  }_{ -4 }^{ 2 }$$

$$A=-\frac { 2 }{ 3 } { 2 }^{ 3 }-2\cdot { 2 }^{ 2 }+16\cdot 2-\left( -\frac { 2 }{ 3 } { \left( -4 \right)  }^{ 3 }-2\cdot { \left( -4 \right)  }^{ 2 }+16\cdot \left( -4 \right)  \right) $$

$$A=72{ u }^{ 2 }$$

El área ha de ser escrita con unidades cuadradas.

Aquí dejo una representación de las dos funciones, para ver cómo el área es exactamente esa (aunque difícil a simple vista):

Aquí vemos lo que nos importa de ambas funciones. El interior cerrado de las funciones es el área que hemos calculado.

b) Encuentra razonadamente la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f\left( x \right) =16-{ x }^{ 2 }$ en el punto de abscisa $x=1$.

Para empezar, debemos tener claro que la diferenciación es fundamental para obtener rectas tangentes a una función, por lo que la derivada en un punto es la pendiente de la recta tangente a ese punto. Para obtener esta derivada en un punto, debemos sustituir la abscisa en la función derivada o usar el cociente diferencial de Newton.

Forma 1 (Reglas de derivación):

Partimos de la siguiente función:

$$f\left( x \right) =16-{ x }^{ 2 }$$

Diferenciando la función tendremos:

$$f\left( x \right) =16-{ x }^{ 2 }$$

Ahora, sustituimos la abscisa del punto en el que se nos pide la recta tangente a la función original:

$$f^{ ' }\left( 1 \right) =-2\cdot 1=-2$$

El valor que hemos obtenido es el valor de la pendiente. Como necesitamos un punto sobre el que situar la pendiente, usaremos como punto el de la función original ($x=1$):

$$m=-2$$

Usaremos una ecuación de la recta llamada ecuación punto-pendiente. Para ello, usaremos la siguiente ecuación:

$$m=\frac { y-{ y }_{ 1 } }{ x-{ x }_{ 1 } } $$

La pendiente la conocemos, la abscisa también. El dato que nos falta es el de la ordenada en el punto, que obtenemos sustituyendo la abscisa en la función original:

$$P\left( 1,y \right) $$

$$y=f\left( 1 \right) =16-{ 1 }^{ 2 }=15$$

$$P\left( 1,15 \right) $$

La ecuación de la recta tangente a la abscisa $x=1$ es:

$$y=\left( -2 \right) \cdot \left( x-1 \right) +15=-2x+17$$

$$f\left( x \right) =-2x+17$$

Para ver que estamos en lo correcto, dejo aquí una imagen de la función, amén de la recta tangente, con lo que podemos ver que la recta solo corta la función en $x=1$:

Forma 2 (Cociente diferencial de Newton):

El proceso es el mismo, con la diferencia de que la pendiente la obtenemos con un cociente, no con reglas de derivación. El cociente es el siguiente:

$$f^{ ' }\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right)  }{ h }  } $$

$$m=\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { \left( 16-{ \left( 1+h \right)  }^{ 2 } \right) -\left( 16-{ 1 }^{ 2 } \right)  }{ h }  } $$

Como el valor de h tiende a cero, usaremos un valor de cero que se acerque mucho pero sin llegar a serlo, por lo que en nuestra calculadora escribimos el valor de h como $h=0'000000000000001$, siendo mejor cuando más se aproxime a cero el valor. El resultado del cociente será la pendiente:

$$m=\frac { \left( 16-{ \left( 1+0'00001 \right)  }^{ 2 } \right) -\left( 16-{ 1 }^{ 2 } \right)  }{ 0'00001 } =-2$$

2B. Calcula razonadamente las siguientes integrales:

a) $$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( x+1 \right) { e }^{ -x }dx } $$

Los valores numéricos que vemos encima de la s larga nos indica que la integral es definida, amén de que estamos calculando el área definida entre el eje de abscisas en el intervalo expresado en las abscisas de cada uno de los extremos de la integral definida. Como vemos que está formado por un producto de dos funciones, podemos usar integración por partes, usando la siguiente ecuación:

$$\int { udv } =uv-\int { vdu } $$

Teniendo el cuenta el primer miembro, podemos dividir la función y el diferencial como:

$$u=\left( x+1 \right) \\ dv={ e }^{ -x }dx$$

Como más adelante necesitaremos el diferencial du y la variable v, diferenciamos o integramos cada una de las partes que hemos distinguido en la parte anterior. Así:

$$du=dx\\ v={ -e }^{ -x }$$

Simplemente, sustituimos y simplificamos lo mayor posible:

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( x+1 \right) { e }^{ -x }dx } ={ \left( x+1 \right) \cdot \left( { -e }^{ -x } \right) -\int { { -e }^{ -x } } dx }_{ 0 }^{ 1 }$$

$${ \left( x+1 \right) \cdot \left( { -e }^{ -x } \right) -\int { { -e }^{ -x } } dx }_{ 0 }^{ 1 }={ x\cdot \left( { -e }^{ -x } \right) -{ e }^{ -x }-{ e }^{ -x } }_{ 0 }^{ 1 }$$

$${ x\cdot \left( { -e }^{ -x } \right) -{ e }^{ -x }-{ e }^{ -x } }_{ 0 }^{ 1 }={ \left( { -e }^{ -x } \right) \cdot \left( x+2 \right)  }_{ 0 }^{ 1 }$$

Ahora, usando el segundo teorema fundamental del cálculo, sustituimos el intervalo de la forma:

$$\int _{ a }^{ b }{ f=F\left( b \right) -F\left( a \right)  } $$

Teniendo en cuenta que F(x) es la antiderivada (que ya tenemos), solo nos queda sustituir en la función:

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( x+1 \right) { e }^{ -x }dx } =\left( { -e }^{ -1 } \right) \cdot \left( 1+2 \right) -\left( \left( { -e }^{ 0 } \right) \cdot \left( 0+2 \right)  \right) $$

$$\left( { -e }^{ -1 } \right) \cdot \left( 1+2 \right) -\left( \left( { -e }^{ 0 } \right) \cdot \left( 0+2 \right)  \right) =-\frac { 3 }{ e } -\left( -2 \right) { u }^{ 2 }$$

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ \left( x+1 \right) { e }^{ -x }dx } =\frac { -3+2e }{ e } { u }^{ 2 }$$

b) $$\int { \frac { dx }{ \sqrt { x } \left( 1+x \right)  }  } $$

Nota: En la integral b) puede ayudarte hacer el cambio de variable $u=\sqrt { x } $

Como nos indica el ejercicio, usaremos el cambio de variable que se nos aconseja:

$$u=\sqrt { x } $$

Para obtener el valor de la variable x, la despejamos. Para obtener el diferencial de la nueva variable, derivamos ambos miembros:

$$x={ u }^{ 2 }\\ dx=2udu$$

Nos queda saber el valor de $\left( 1+x \right) $ en la forma de la variable u. Para ello, modificamos la ecuación de la variable x hasta obtener el valor que necesitamos:

$$x={ u }^{ 2 }$$

$$1+x=1+{ u }^{ 2 }$$

Finalmente, sustituimos los datos (variables) que hemos obtenido por cada una de las partes con variable x:

$$\int { \frac { 2u }{ u\cdot \left( 1+{ u }^{ 2 } \right)  } du } =2\int { \frac { du }{ 1+{ u }^{ 2 } }  } $$

Nota: Hemos sacado la constante multiplicando a la integral debido a que esto es correcto teniendo en cuenta la regla de la constante.

Ahora, tenemos en cuenta el interior de la integral. Cuando en el denominador tenemos $1+{ u }^{ 2 }\\ $, es de gran ayuda usar razones trigonométricas. 

En este caso, podemos recordar que: ${ tg }^{ 2 }x+1=\sec ^{ 2 }{ x } $, cuyo primer miembro se asemeja bastante al denominador que tenemos, por lo que podemos usar un cambio de variable teniendo en cuenta la función tangente:

$$u=tgv$$

Diferenciamos ambos miembros para obtener el equivalente de du:

$$du=\sec ^{ 2 }{ v } dv$$

Obtendríamos la siguiente integral:

$$2\int { \frac { \sec ^{ 2 }{ v }  }{ 1+{ tg }^{ 2 }v }  } dv$$

Si tenemos en cuenta la ecuación anterior que involucra la tangente y la secante, tendremos que:

$$2\int { \frac { \sec ^{ 2 }{ v }  }{ 1+{ tg }^{ 2 }v }  } dv=2\int { \frac { \sec ^{ 2 }{ v }  }{ \sec ^{ 2 }{ v }  }  } dv=2\int { dv } $$

Resolviendo:

$$2\int { dv } =2\cdot v$$

Una vez tenemos la solución de la integral en función de la variable v, procedemos a sustituir esta variable por la variable u. Para ello, despejamos la primera variable usando su valor como tangente:

$$u=tgv\\ v={ tg }^{ -1 }u$$

A partir de esto, tendremos:

$$2\cdot v=2\cdot { tg }^{ -1 }u$$

Sin embargo, una vez deshecho el cambio de variable, debemos deshacer el otro, teniendo en cuenta el valor de la variable x a partir de la variable u:

$$2\cdot v=2\cdot { tg }^{ -1 }u=2\cdot { tg }^{ -1 }\left( \sqrt { x }  \right) +C'$$

Nota: No es necesario escribir la constante en los pasos de deshacer la variable, pero es obligatorio escribirla en la solución en función de la variable que se nos es dada al inicio.

2B. Dadas las funciones $f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } $ y $g\left( x \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } $ con $x\in ℝ$.

a) Encuentra razonadamente las coordenadas de los extremos relativos de las funciones $f\left( x \right) $ y $g\left( x \right) $.

Como ya sabemos, para que haya un extremo relativo, la pendiente de la recta tangente a ese punto ha de ser 0. Como la pendiente es igual a la derivada de la función en un punto, sabiendo la pendiente (0) y la función derivada, podemos obtener el punto:

$$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } $$

La derivamos usando la regla del cociente:

$$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } $$

Como la pendiente ha de ser cero, escribimos la ecuación:

$$f^{ ' }\left( x \right) =\frac { -2x }{ { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right)  }^{ 2 } } =0$$

Resolviendo:

$$-2x=0\cdot { \left( 1+{ x }^{ 2 } \right)  }^{ 2 }=0$$

$$x=0$$

Tenemos la abscisa. Para obtener la ordenada, sustituimos la abscisa en la función original:

$$f\left( 0 \right) =\frac { 1 }{ 1+{ 0 }^{ 2 } } =1$$

Por esto, el punto del extremo es $P\left( 0,1 \right) $.

$$g\left( x \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } $$

Realizamos los mismos pasos que en la anterior función:

$$g^{ ' }\left( x \right) =2x$$

$$g^{ ' }\left( x \right) =2x=0$$

$$x=0$$

La ordenada se obtendría así:

$$g\left( 0 \right) =\frac { { 0 }^{ 2 } }{ 2 } =0$$

El punto sería el eje de coordenadas $O\left( 0,0 \right) $.

Aquí dejo las gráficas, donde se pueden ver los puntos extremos:

$$f\left( x \right) =\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } $$

$$g\left( x \right) =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } $$

b) Calcula razonadamente el área del recinto cerrado limitado por las gráficas de las funciones $f\left( x \right)$ y $g\left( x \right)$.

Como en uno de los ejercicios anteriores, hacemos uso de las integrales dobles. Primero, igualamos las ecuaciones para obtener los puntos de cortes entre ambas:

$$f\left( x \right) =g\left( x \right) $$

$$\frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } =\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 } $$

$${ x }^{ 2 }\cdot \left( 1+{ x }^{ 2 } \right) =2$$

$${ x }^{ 4 }+{ x }^{ 2 }-2=0$$

$$x=\pm 1$$

Una vez obtenemos los puntos de corte, procedemos a escribir la integral doble:

$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left[ \int _{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }  }^{ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  }{ dy }  \right] dx } $$

$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left[ { y }_{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }  }^{ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  } \right] dx } $$

$$\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left[ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } } -\frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }  \right] dx } ={ { tg }^{ -1 }x }-\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } _{ -1 }^{ 1 }$$

Nota muy importante: El resultado de un área usando razones trigonométricas inversas nos ha de dar en radianes. Por esto, tenemos que tener la calculadora en radianes.

$${ { tg }^{ -1 }x }-\frac { { x }^{ 3 } }{ 6 } _{ -1 }^{ 1 }=\left( { tg }^{ -1 }\left( 1 \right) -\frac { { 1 }^{ 3 } }{ 6 } -\left( { tg }^{ -1 }\left( -1 \right) -\frac { { \left( -1 \right)  }^{ 3 } }{ 6 }  \right)  \right) $$

$$\left( { tg }^{ -1 }\left( 1 \right) -\frac { { 1 }^{ 3 } }{ 6 } -\left( { tg }^{ -1 }\left( -1 \right) -\frac { { \left( -1 \right)  }^{ 3 } }{ 6 }  \right)  \right) =\frac { \pi  }{ 4 } -\frac { 1 }{ 6 } +\frac { \pi  }{ 4 } -\frac { 1 }{ 6 } { u }^{ 2 }$$

$$A=\int _{ -1 }^{ 1 }{ \left[ \int _{ \frac { { x }^{ 2 } }{ 2 }  }^{ \frac { 1 }{ 1+{ x }^{ 2 } }  }{ dy }  \right] dx } =\frac { \pi  }{ 2 } -\frac { 1 }{ 3 } { u }^{ 2 }$$

Aquí dejo el gráfico cuyo interior cerrado contiene el área calculada:

1B. Calcula razonadamente los siguientes límites:

a) $$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { \left( \frac { 2{ e }^{ x-1 } }{ x+1 }  \right)  }^{ \frac { x }{ x-1 }  } } $$

Empezamos a sustituir la tendencia para ver si nos surge indeterminación (en selectividad siempre nos surgirá):

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { \left( \frac { 2{ e }^{ x-1 } }{ x+1 }  \right)  }^{ \frac { x }{ x-1 }  } } =\left[ { 1 }^{ \infty  } \right] $$

Usaremos una propiedad del logaritmo para poder resolver la indeterminación:

$${ n }^{ \log _{ n }{ x }  }=x$$

El uso de esta última se debe a que así podremos jugar con el exponente:

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { \left( { e }^{ ln\left( \frac { 2{ e }^{ x-1 } }{ x+1 }  \right) \cdot \left( \frac { x }{ x-1 }  \right)  } \right)  } } =\left[ { e }^{ 0\cdot \infty  } \right] $$

Obtenemos otra indeterminación. Usaremos siempre un logaritmo natural pues la base e nos permitirá poder diferenciar de forma muy sencilla. Para poder obtener una indeterminación operable, colocaremos la que provoca $\infty $ como denominador:

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { \left( { e }^{ \frac { ln\left( \frac { 2{ e }^{ x-1 } }{ x+1 }  \right)  }{ \frac { x-1 }{ x }  }  } \right) =\left[ { e }^{ \frac { 0 }{ 0 }  } \right]  } } $$

Ahora que tenemos una indeterminación del tipo $\left[ \frac { 0 }{ 0 }  \right] $, podemos usar la regla de L'Hôpital, diferencial tanto numerador como denominador. Simplificaremos y sustituiremos el valor de la tendencia hasta que nos surja un valor determinado:

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { \left( { e }^{ \frac { ln\left( \frac { 2{ e }^{ x-1 } }{ x+1 }  \right)  }{ \frac { x-1 }{ x }  }  } \right) = } } \lim _{ x\rightarrow 1 }{ { \left( { e }^{ \frac { \frac { \frac { \left( 2{ e }^{ x-1 } \right) \cdot \left( x+1 \right) -\left( 2{ e }^{ x-1 } \right)  }{ { \left( x+1 \right)  }^{ 2 } }  }{ \frac { 2{ e }^{ x-1 } }{ x+1 }  }  }{ \frac { x-\left( x-1 \right)  }{ { x }^{ 2 } }  }  } \right)  } } =\lim _{ x\rightarrow 1 }{ \left( { e }^{ \frac { { x }^{ 3 } }{ x+1 }  } \right)  } =\sqrt { e } $$

Miraremos los límites derecha e izquierda para ver si hay algún otro valor del límite:

$$\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \left( { e }^{ \frac { { x }^{ 3 } }{ x+1 }  } \right)  } =\sqrt { e } \quad \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ \left( { e }^{ \frac { { x }^{ 3 } }{ x+1 }  } \right)  } =\sqrt { e } $$

Al ser los mismos, solo hay un valor para el límite:

$$\lim _{ x\rightarrow 1 }{ { \left( \frac { 2{ e }^{ x-1 } }{ x+1 }  \right)  }^{ \frac { x }{ x-1 }  } } =\sqrt { e } $$

Dejo el gráfico para ver de forma aproximada cómo el límite es correcto:

b) $$\lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { { -e }^{ { x }^{ 2 }-1 }-x }{ { x }^{ 2 }+4x+3 }  } $$

Primero, sustituimos la tendencia, con cierta probabilidad de indeterminación (99% seguro):

$$\lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { { -e }^{ { x }^{ 2 }-1 }-x }{ { x }^{ 2 }+4x+3 }  } =\left[ \frac { 0 }{ 0 }  \right] $$

Debido a la forma de la indeterminación, podemos usar la regla de L'Hôpital para vencer la indeterminación:

$$\lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { { -e }^{ { x }^{ 2 }-1 }-x }{ { x }^{ 2 }+4x+3 }  } =\lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { -2x\cdot { e }^{ { x }^{ 2 }-1 }-1 }{ 2x+4 } =\frac { 1 }{ 2 }  } $$

Veremos los límites derecha e izquierda para asegurar que no hay más valores para el límite:

$$\lim _{ x\rightarrow -{ 1 }^{ + } }{ \frac { -2x\cdot { e }^{ { x }^{ 2 }-1 }-1 }{ 2x+4 } =\frac { 1 }{ 2 }  } \quad \lim _{ x\rightarrow -{ 1 }^{ - } }{ \frac { -2x\cdot { e }^{ { x }^{ 2 }-1 }-1 }{ 2x+4 } =\frac { 1 }{ 2 }  } $$

Como resulta en el mismo valor, valoramos que el límite es:

$$\lim _{ x\rightarrow -1 }{ \frac { { -e }^{ { x }^{ 2 }-1 }-x }{ { x }^{ 2 }+4x+3 }  } =\frac { 1 }{ 2 } $$

Vuelvo a dejar un gráfico para ver de forma exacta que el límite es correcto: