Diferenciación

Consiste en calcular la rapidez con la que cambia una función, usando lo que se conoce como derivación. La derivada en un punto es equivalente a la tangente de la función en ese punto, es decir, una recta que solo corta en ese punto de la función, formando un ángulo nulo con la función original.

Su forma más sencilla de calcular es mediante el cociente diferencial de Newton. Fue descubierto por Newton tras su estudio del cálculo infinitesimal. Se resume en un límite:

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } $$

Se explica de la siguiente manera: La función (x+h) pretende añadir un valor a x. x es el primer punto donde corta una recta secante y h es el segundo. Por esto, si hacemos que h tienda a ser 0, la recta secante tenderá a convertirse en una recta tangente a la función, con lo que obtenemos la derivada en el punto x.

Ejemplo 1:

Calcula la derivada de la función y=x³ en el punto (2,8).

Usamos el cociente diferencial de Newton de esta forma:

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { \left( 2+h \right)  }^{ 3 }-8 }{ h } $$

En la función que está en forma de sustraendo se sustituye el valor de la variable y cuando la abscisa es 2, es decir, 8. Como tenemos una suma de potencia, hemos de usar una identidad notable. Esta es:

$${ \left( a+b \right)  }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }+{ b }^{ 3 }$$

Así:

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { 2 }^{ 3 }+3\cdot { 2 }^{ 2 }\cdot h+3\cdot 2\cdot { h }^{ 2 }+{ h }^{ 3 }-8 }{ h } $$

Como tenemos en todos los miembros la variable h, ya que hemos eliminado las constantes dos al cubo y el ocho sustraendo, realizamos un factor común en el numerador, con lo que podemos eliminar la variable h que se encuentra como cociente en el denominador. Luego, realizamos el límite restante. Nota: Siempre hay que poner límite cuando h tiende a 0 hasta que acabemos dando el valor del límite.

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h\cdot \left( 12+6h+{ h }^{ 2 } \right)  }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 12+6h+{ h }^{ 2 }=12$$

Ejemplo 2:

Calcula la misma derivada de la función anterior, pero ahora en forma de función.

Volvemos a usar el cociente diferencial de Newton de esta forma:

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { \left( x+h \right)  }^{ 3 }-{ x }^{ 3 } }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }h+3x{ h }^{ 2 }+{ h }^{ 3 }-{ x }^{ 3 } }{ h } \\ \dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h\cdot \left( 3{ x }^{ 2 }+3xh+{ h }^{ 2 } \right)  }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 3{ x }^{ 2 }+3xh+{ h }^{ 2 }=3{ x }^{ 2 }$$

Todas las funciones se pueden calcular de esta forma. Sin embargo, es un proceso muy largo. Por ello, se han deducido unas reglas de diferenciación. Son útiles para todo tipo de derivadas. Estas son:

Reglas de diferenciación:

Forma polinómica:

Consta de la siguiente ecuación:

$$y={ x }^{ n }\\ \dot { y } =n\cdot { x }^{ n-1 }$$

La cifra que no tiene variable en ningún grado (término independiente) recibe el nombre de constante. Se representa por el símbolo C'. Su derivada siempre es 0.

Ejemplo 1:

$$y={ 5 }=5\cdot { x }^{ 0 }\\ \dot { y } =0\cdot 5{ x }^{ -1 }=0$$

$$5=C'$$

Ejemplo 2:

$$y=69x\\ \dot { y } =1\cdot 69\cdot { x }^{ 1-1 }=69$$

Nota: Existe una regla llamada regla de la cadena. Esta nos indica que el interior de la función que queremos derivar se tiene que derivar y formar parte de la derivada en forma de producto. En la función que hemos derivado antes, no se ve el producto porque la derivada de la variable x es igual a 1, por lo que se desprecia:

$$y={ \left( u \right)  }^{ n }\\ \dot { y } =n\cdot { \left( u \right)  }^{ n-1 }\cdot \left( \dot { u }  \right) $$

La variable u corresponde a la función que forma parte de la función total. Esta se tiene que derivar también. Esta regla se tiene que cumplir en todas las derivadas.

Ejemplo 3:

$$y={ \left( 2x+3 \right)  }^{ 3 }\\ \dot { y } =3\cdot { \left( 2x+3 \right)  }^{ 2 }\cdot 2=6\cdot { \left( 2x+3 \right)  }^{ 2 }$$

Como he dicho ya en la regla de la cadena, la función interior de la función total, en este caso (2x+3), se tiene que derivar y formar parte de la derivada final como producto. Por ello, al final, he usado la derivada de la función (2x+3), la cual es 2, como producto a la derivada final.

Nota: Si usamos la identidad notable del triángulo de Pascal, aun perdiendo tiempo, podemos comprobar que el resultado es el mismo:

$$y={ \left( 2x+3 \right)  }^{ 3 }=8{ x }^{ 3 }+36{ x }^{ 2 }+54x+27\\ \dot { y } =24{ x }^{ 2 }+72x+54=6\cdot { \left( 2x+3 \right)  }^{ 2 }$$

Ejemplo 4:

$$y=\sqrt [ 3 ]{ x } ={ x }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\\ \dot { y } =\frac { 1 }{ 3 } \cdot { x }^{ \frac { 1 }{ 3 } -1 }=\frac { 1 }{ 3 } \cdot { x }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  }=\frac { 1 }{ 3\cdot \sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 2 } }  } $$

Al ser un radical, podemos expresarlo en forma de potencia. De esta forma, podemos usar la forma polinómica.

Forma logarítmica:

Constan de una variable dentro de un logaritmo con cualquier base:

$$y=\log _{ n }{ u } \\ \dot { y } =\frac { \dot { u }  }{ u } \cdot \log _{ n }{ e } $$

Ejemplo 1:

$$y=\log _{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 } \right)  } \\ \dot { y } =\frac { 2x }{ { x }^{ 2 } } \cdot \log _{ 2 }{ e } =\frac { 2 }{ x } \cdot \log _{ 2 }{ e } $$

Ejemplo 2:

$$y=ln\sqrt { x } \\ \dot { y } =\frac { \frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  }  }{ \sqrt { x }  } \cdot lne=\frac { 1 }{ 2x } $$

Producto diferencial:

Cuando vemos un producto de funciones, debemos usar una ecuación para poder encontrar la función derivada del producto:

$$y=u\cdot v\\ \dot { y } =\dot { u } v+u\dot { v } $$

Ejemplo 1:

$$y=x\cdot { ln }^{ 2 }x\\ \dot { y } ={ ln }^{ 2 }x+x\cdot 2\cdot \frac { lnx }{ x } ={ ln }^{ 2 }x+2lnx=lnx\cdot \left( lnx+2 \right) $$

Ejemplo 2:

$$y=2\cdot x\\ \dot { y } =0\cdot x+2\cdot 1=2$$

De aquí deducimos:

$$y=u\cdot C'\\ \dot { y } =\dot { u } \cdot C'$$

La función derivada de un producto entre una constante y una función es el producto entre la misma constante y la derivada y la función producto.

Cociente diferencial:

Siempre que tenemos un cociente, debemos usar una ecuación. Si derivamos el numerador y el denominador, estamos usando la regla de L'Hôpital, errónea en derivadas, correcta en límites:

$$y=\frac { u }{ v } \\ \dot { y } =\frac { \dot { u } v-u\dot { v }  }{ { v }^{ 2 } } $$

Ejemplo 1:

$$y=\frac { lnx }{ x } \\ \dot { y } =\frac { \frac { x }{ x } -lnx }{ { x }^{ 2 } } =\frac { 1-lnx }{ { x }^{ 2 } } $$

Ejemplo 2:

$$y=\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } \\ \dot { y } =\frac { 2x\cdot 4-{ x }^{ 2 }\cdot 0 }{ 16 } =\frac { 2x }{ 4 } =\frac { x }{ 2 } $$

De aquí podemos deducir:

$$y=\frac { u }{ C' } \\ \dot { y } =\frac { \dot { u }  }{ C' } $$

La derivada de un cociente entre una función y una constante es la derivada del cociente entre el mismo cociente. Solo funciona cuando la constante se encuentra en el denominador.

Forma exponencial:

Lo podemos basar en esta derivada:

$$y={ e }^{ u }\\ \dot { y } ={ e }^{ u }\cdot \dot { u } $$

Tiene la particularidad de ser la misma función sin contar la regla de la cadena. De aquí podemos extraer una conclusión:

Ejemplo 1:

$$y={ 2 }^{ x }$$

Podemos usar logaritmos naturales para obtener una función en base e:

$$lny=ln{ 2 }^{ x }=x\cdot ln2\\ { e }^{ lny }={ e }^{ x\cdot \left( ln2 \right)  }\\ y={ e }^{ x\cdot \left( ln2 \right)  }$$

Una vez tenemos esta igualdad, podemos usar la forma exponencial en base e, sirviéndonos de la regla de la cadena para obtener la función derivada:

$$y={ e }^{ x\cdot \left( ln2 \right)  }\\ \dot { y } ={ e }^{ x\cdot \left( ln2 \right)  }\cdot ln2={ 2 }^{ x }\cdot ln2$$

Forma trigonométrica:


Se basan en estas derivadas:

$$y=sinu\quad \dot { y } =cos\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y=cosu\quad \dot { y } =-sin\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y=tgu\quad \dot { y } ={ sec }^{ 2 }\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y={ sin }^{ -1 }u\quad \dot { y } =\frac { \dot { u }  }{ \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } }  } \\ \\ y=cos^{ -1 }u\quad \dot { y } =-\frac { \dot { u }  }{ \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } }  } \\ \\ y={ tg }^{ -1 }u\quad \dot { y } =\frac { \dot { u }  }{ 1+{ u }^{ 2 } } \\ \\ y=cosecu\quad \dot { y } =-cosec\left( u \right) \cdot cotg\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y=secu\quad \dot { y } =sec\left( u \right) \cdot tg\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y=cotgu\quad \dot { y } =-{ cosec }^{ 2 }\left( u \right) \cdot \dot { u } $$