Jerarquía de operaciones:
Empezaremos viendo la jerarquía de operaciones. Se basa en el orden en el que las operaciones han de ser operadas:
1º. Paréntesis, corchetes y llaves.
2º. Radicales y potencias.
3º. Productos y cocientes.
4º. Sumas y restas.
Ahora, un ejemplo:
$$\left( 3+4 \right) \cdot 3+{ 2 }^{ 3 }\div 4$$
Empezamos con los paréntesis:
$$\left( 3+4 \right) \cdot 3+{ 2 }^{ 3 }\div 4=7\cdot 3+{ 2 }^{ 3 }\div 4$$
Seguimos con las potencias:
$$7\cdot 3+{ 2 }^{ 3 }\div 4=7\cdot 3+8\div 4$$
Continuamos con los productos y cocientes:
$$7\cdot 3+8\div 4=21+2$$
Ahora el sumando final:
$$21+2=23$$
Mínimo común múltiplo y máximo común divisor:
Para ello, aprenderemos a factorizar cifras. Empezaremos con un número como 288. Entonces, empezaremos dividiendo por los números primos (2,3,5,7,11...), de forma que una vez no podamos seguir dividiendo con ese número primo, sigamos con el siguiente, así hasta que el cociente final sea 1. Cabe destacar que aquí no se pueden usar decimales:
$$288\div 2=144\\ 144\div 2=72\\ 72\div 2=36\\ 36\div 2=18\\ 18\div 2=9$$
Ahora bien, vemos que 9 no puede ser usado como dividendo entre 2 sin que nos dé como cociente un número decimal. Por ello, usamos el siguiente número, el 3:
$$9\div 3=3\\ 3\div 3=1$$
Ahora, cogemos todos los divisores que hemos usado (el 2 lo hemos usado 5 veces y el 3 dos veces) y los usamos como producto:
$$288=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3={ 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 }$$
La factorización del número 288 sería esa última.
Ahora sí:
M.C.M.
Es el mínimo múltiplo entre una serie de números para que sean comunes. Por ejemplo: 2,3 y 4. Para que sean comunes, han de ser el mismo números. Nos damos cuenta que el primer número donde son comunes es en el 12. Sin embargo, hay una forma más precisa de obtener este valor:
Paso 1: Factorizamos todos los números:
$$2=2\\ 3=3\\ 4={ 2 }^{ 2 }$$
Paso 2: De todas las bases comunes (2 y 3), cogemos el que tiene un grado mayor (mayor exponente). Como el 2 de la última factorización es mayor al 1 (que no se escribe) de la primera, usaremos el 2 al cuadrado:
$${ 2 }^{ 2 }\quad y\quad 3$$
Paso 3: Los usamos como factores y los usamos como producto para obtener el mínimo común múltiplo. Veremos como, en efecto, es 12:
$$(m.c.m.\quad 2,3,4\quad ={ 2 }^{ 2 }\cdot 3=12)$$
Su uso es el siguiente. Imaginemos dos o más fracciones con diferente denominador. Como sabemos, para usar como sumandos a fracciones, estas tienen que tener el mismo denominador. Como son distintos, la única forma de poder realizar las operaciones es consiguiendo un común denominador. Esto se puede lograr usando el m.c.m.:
$$\frac { 9 }{ 4 } +\frac { 12 }{ 3 } -\frac { 2 }{ 12 } \\ \\ 3=3\\ 4={ 2 }^{ 2 }\\ 12={ 2 }^{ 2 }\cdot 3\\ \\ (m.c.m.\quad 3,4,12={ 2 }^{ 2 }\cdot 3=12)$$
Nota: Si usamos un denominador distinto, debemos averiguar mediante cocientes el número por el que hemos usado un producto para obtener este distinto denominador:
$$\frac { 9\cdot 3 }{ 4\cdot 3 } +\frac { 12\cdot 4 }{ 3\cdot 4 } -\frac { 2\cdot 1 }{ 12\cdot 1 } $$
Para que se nos quede la misma fracción, debemos multiplicar arriba y abajo el mismo número. Por ello, dividimos el denominador común (12) entre el antiguo denominador (3,4 y 12). El cociente que nos dé ha de ser usado como producto en el numerador:
$$\frac { 9\cdot 3 }{ 4\cdot 3 } +\frac { 12\cdot 4 }{ 3\cdot 4 } -\frac { 2\cdot 1 }{ 12\cdot 1 } =\frac { 27 }{ 12 } +\frac { 48 }{ 12 } -\frac { 2 }{ 12 } $$
Con denominador común, sí podemos usar sumandos:
$$\frac { 27 }{ 12 } +\frac { 48 }{ 12 } -\frac { 2 }{ 12 } =\frac { 27+48-2 }{ 12 } =\frac { 73 }{ 12 } $$
M.C.D.
Es el divisor de mayor valor entre dos o más números. No tiene uso en este curso, pero es fundamental saber obtenerlo. La forma es similar a la del m.c.m.
Paso 1: Descomponemos los factores usando factorización:
$$(M.C.D.\quad 2,8,22)\\ 2=2\\ 8={ 2 }^{ 3 }\\ 22=2\cdot 11$$
Paso 2: Escogemos ahora los factores comunes (aquellos cuya base se encuentre en todas las factorizaciones de las cifras que tenemos) y escogemos la cifra con menor grado (en este caso, la base que se encuentra en todas las factorizaciones es 2 y el menor grado es 1). Por ello:
$$(M.C.D.\quad 2,8,22=2)$$
Fracciones:
Para sumar o restar fracciones, hay que usar el mínimo común múltiplo como está explicado arriba.
Para realizar un producto de fracciones, debemos realizar un producto de numerador y otro de denominador de la siguiente forma:
$$\frac { a }{ b } \cdot \frac { c }{ d } =\frac { ac }{ bd } $$
$$\frac { 5 }{ 2 } \cdot \frac { 4 }{ 6 } =\frac { 5\cdot 4 }{ 2\cdot 6 } =\frac { 20 }{ 12 } =\frac { 5 }{ 3 } $$
Para realizar un cociente de fracciones, debemos posponer la operación en una fracción completa. Si el numerador del numerador se queda en el numerador; el denominador del numerador se queda en el denominador; el numerador del denominador se queda en el denominador y el denominador del denominador se queda en el numerador:
$$\frac { a }{ b } \div \frac { c }{ d } =\frac { \frac { a }{ b } }{ \frac { c }{ d } } =\frac { a\cdot d }{ b\cdot c } $$
$$\frac { 5 }{ 3 } \div \frac { 1 }{ 2 } =\frac { \frac { 5 }{ 3 } }{ \frac { 1 }{ 2 } } =\frac { 5\cdot 2 }{ 3\cdot 1 } =\frac { 10 }{ 3 } $$
Operaciones con potencias y radicales:
Potencias:
Si las bases son iguales y están en un producto común, el producto es la base y su exponente es la suma de los exponentes de los factores antiguos:
$${ a }^{ n }\cdot { a }^{ m }={ a }^{ n+m }$$
$${ 3 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 }={ 3 }^{ 5+2 }={ 3 }^{ 7 }$$
Si las bases son iguales, pero en vez de estar formando un producto forman un cociente, el cociente final es la base con el sustraendo o resta de los exponentes:
$$\frac { { a }^{ n } }{ { a }^{ m } } ={ a }^{ n-m }$$
$$\frac { { 8 }^{ 2 } }{ { 8 }^{ 2 } } ={ 8 }^{ 2-2 }={ 8 }^{ 0 }=1$$
Nota: Cualquier número cuyo exponente es 0 es igual a 1.
Si las bases son distintas, pero los exponentes son el mismo, formando un producto, el resultado es el producto de las bases elevado al exponente común. Nota: El paréntesis es fundamental para que tenga sentido la ecuación:
$${ a }^{ n }\cdot { b }^{ n }={ \left( ab \right) }^{ n }$$
$${ 5 }^{ 2 }\cdot { 4 }^{ 2 }={ 20 }^{ 2 }$$
Si las bases son distintas, con exponente común y forman un cociente, la solución es todo el cociente elevado a la potencia común:
$$\frac { { a }^{ n } }{ { b }^{ n } } ={ \left( \frac { a }{ b } \right) }^{ n }$$
$$\frac { { 4 }^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 } } ={ \left( \frac { 4 }{ 2 } \right) }^{ 2 }$$
Si encontramos una potencia elevado a otra potencia (denominado comúnmente potencia de una potencia), la solución es la base con exponente siendo el producto de las dos potencias:
$${ \left( { a }^{ n } \right) }^{ m }=a^{ n\cdot m }$$
$${ \left( { 5 }^{ 2 } \right) }^{ 4 }=5^{ 2\cdot 4 }={ 5 }^{ 8 }$$
Si los índices son los mismos y forman un producto, el resultado es el producto del interior de los radicales dentro de un radical con el índice común:
$$\sqrt [ n ]{ a } \cdot \sqrt [ n ]{ b } =\sqrt [ n ]{ ab } $$
$$\sqrt [ 3 ]{ 2 } \cdot \sqrt [ 3 ]{ 4 } =\sqrt [ 3 ]{ 4\cdot 2 } =\sqrt [ 3 ]{ 8 } =2$$
Si los índices son iguales, de la misma forma que en la anterior, pero con un cociente, el resultado es el cociente dentro de una raíz con índice común:
$$\frac { \sqrt [ n ]{ a } }{ \sqrt [ n ]{ b } } =\sqrt [ n ]{ \frac { a }{ b } } $$
$$\frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } =\sqrt { 1'5 } $$
$$\sqrt [ n ]{ { a }^{ m } } ={ a }^{ \frac { m }{ n } }$$
$$\sqrt { { 3 }^{ 3 } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ { 3 } } ={ 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+{ 3 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }={ 3 }^{ \frac { 7 }{ 4 } }=\sqrt [ 4 ]{ { 3 }^{ 7 } } $$
Si tenemos dos o más radicales en forma de producto, con bases distintas e índices distintos, podemos usar logaritmos para cambiar las bases, pero como eso no se da aquí, usaremos lo llamado índice radical común. Para ello, haremos uso del m.c.m.:
$$\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 2 } } \cdot \sqrt { 3 } ={ 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }$$
$$(m.c.m.\quad 2,3=2\cdot 3=6)$$
Ponemos las potencias con denominador común:
$${ 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }={ 2 }^{ \frac { 4 }{ 6 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 6 } }$$
$${ 2 }^{ \frac { 4 }{ 6 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 6 } }={ \left( { 2 }^{ 4 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\cdot { \left( { 3 }^{ 3 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 6 } }={ \left( { 2 }^{ 4 }\cdot { 3 }^{ 3 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 6 } }=\sqrt [ 6 ]{ { 2 }^{ 4 }\cdot { 3 }^{ 3 } } =\sqrt [ 6 ]{ 432 } $$
Si encontramos una potencia elevado a otra potencia (denominado comúnmente potencia de una potencia), la solución es la base con exponente siendo el producto de las dos potencias:
$${ \left( { a }^{ n } \right) }^{ m }=a^{ n\cdot m }$$
$${ \left( { 5 }^{ 2 } \right) }^{ 4 }=5^{ 2\cdot 4 }={ 5 }^{ 8 }$$
Radicales:
$$\sqrt [ n ]{ a } \cdot \sqrt [ n ]{ b } =\sqrt [ n ]{ ab } $$
$$\sqrt [ 3 ]{ 2 } \cdot \sqrt [ 3 ]{ 4 } =\sqrt [ 3 ]{ 4\cdot 2 } =\sqrt [ 3 ]{ 8 } =2$$
Si los índices son iguales, de la misma forma que en la anterior, pero con un cociente, el resultado es el cociente dentro de una raíz con índice común:
$$\frac { \sqrt [ n ]{ a } }{ \sqrt [ n ]{ b } } =\sqrt [ n ]{ \frac { a }{ b } } $$
$$\frac { \sqrt { 3 } }{ \sqrt { 2 } } =\sqrt { \frac { 3 }{ 2 } } =\sqrt { 1'5 } $$
Importante:
Podemos usar las reglas de las potencias de los radicales para obtener reglas para los radicales. Esto se debe a que:$$\sqrt [ n ]{ { a }^{ m } } ={ a }^{ \frac { m }{ n } }$$
$$\sqrt { { 3 }^{ 3 } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ { 3 } } ={ 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+{ 3 }^{ \frac { 1 }{ 4 } }={ 3 }^{ \frac { 7 }{ 4 } }=\sqrt [ 4 ]{ { 3 }^{ 7 } } $$
Si tenemos dos o más radicales en forma de producto, con bases distintas e índices distintos, podemos usar logaritmos para cambiar las bases, pero como eso no se da aquí, usaremos lo llamado índice radical común. Para ello, haremos uso del m.c.m.:
$$\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 2 } } \cdot \sqrt { 3 } ={ 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }$$
$$(m.c.m.\quad 2,3=2\cdot 3=6)$$
Ponemos las potencias con denominador común:
$${ 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }={ 2 }^{ \frac { 4 }{ 6 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 6 } }$$
$${ 2 }^{ \frac { 4 }{ 6 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 6 } }={ \left( { 2 }^{ 4 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 6 } }\cdot { \left( { 3 }^{ 3 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 6 } }={ \left( { 2 }^{ 4 }\cdot { 3 }^{ 3 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 6 } }=\sqrt [ 6 ]{ { 2 }^{ 4 }\cdot { 3 }^{ 3 } } =\sqrt [ 6 ]{ 432 } $$
Fracciones generatrices:
Estas fracciones son las que originan cualquier número decimal con periodo o con fin. Por ello, no podremos encontrar una fracción generatriz para un número irracional, por ejemplo, para la constante e.
Decimales aperiódicos:
Son aquellos que tiene fin. Son los más simples de hacer. Aquí un ejemplo:
$$2'34$$
Como tenemos dos decimales, hemos de usar un producto con potencia de diez, cuyo exponente será el número de decimales que tiene el término, en este caso, 2:
$$2'34\cdot \frac { { 10 }^{ 2 } }{ { 10 }^{ 2 } } =\frac { 234 }{ 100 } =\frac { 117 }{ 50 } $$
Nota: Usamos un producto con el valor valor en el denominador que en el numerador para que el valor sea el mismo.
Decimales periódico puros:
Aquí hemos de usar una regla, pues no hay de otra, además de escribir el periodo en una calculadora:
$$2'\bar { 63 } $$
Paso 1: Realizamos un sustraendo entre el número sin decimal alguno y sin periodo y el número entero (en este caso, 2):
$$263-2$$
Paso 2: El resultado que tenemos se usa como dividendo en un cociente cuyo divisor es una cifra con una cantidad de 9 igual al número de cifras que tiene el periodo. Como vemos, el periodo tiene dos números (6 y 3). Por ello, tendremos que usar el número 99 como divisor (si el periodo tuviera tres cifras, sería 999, etcétera):
$$2'\bar { 63 } =\frac { 263-2 }{ 99 } =\frac { 261 }{ 99 } =\frac { 29 }{ 11 } $$
Decimales periódico mixtos:
Su proceso es similar al de la fracción generatriz de un número decimal periódico puro:
$$32'4\bar { 76 } $$
Paso 1: Realizamos un sustraendo entre el número sin decimal alguno y sin periodo y el número entero junto con el anteperiodo (en este caso, 4):
$$32476-324$$
Paso 2: El resultado lo usamos de nuevo como dividendo, con la diferencia de que ahora como divisor usaremos un número con una cantidad de 9 igual al número de cifras del periodo y una cantidad de 0 igual al del anteperiodo:
$$32'4\bar { 76 } =\frac { 32476-324 }{ 990 } =\frac { 32152 }{ 990 } =\frac { 16076 }{ 495 } $$
Conjunto de números reales (ℝ):
Números naturales (ℕ): Son aquellos que se usan para contar y se resume en todos los números enteros positivos desde el cero, contando a este último (0, 1, 2, 3, 4, 5...).
Números enteros (ℤ): Son aquellos que forman los números naturales, junto a los opuestos negativos (-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...).
Números racionales (ℚ): Son aquellos que se pueden representar en forma de fracción. Nota: Todos los números naturales, negativos, enteros y aquellos que tienen decimales periódicos son racionales. Ejemplos:
$$2'5=\frac { 5 }{ 2 } \quad 2'\bar { 3 } =\frac { 21 }{ 9 } \quad 2=\frac { 4 }{ 2 } \quad -3=-\frac { 9 }{ 3 } $$
Números irracionales (ℝ-ℚ): Son aquellos que no se pueden representar en forma de fracción con denominadores y numeradores en forma de número entero, que no sea cero. Ejemplos:
$$\sqrt { 2 } \quad e\quad \pi $$
Números trascendentales: Son los que no pueden ser obtenido de una solución de un polinomio. Son una distinción de los números irracionales. Los únicos que hay que saberse son:
$$e\quad \pi \quad ln2\quad log69$$
Introducir o retirar factores dentro de un radical:
Podemos sacar factores o introducirlos siempre que cumplan unas condiciones. Aquí veremos un ejemplo típico de examen:
$$\sqrt { 180 } $$
Primero, vamos a factorizar el número y a introducir todos los factores en el radical:
$$\sqrt { 180 } =\sqrt { { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot 5 } $$
Ahora bien, hemos de coger la potencia de un factor (por ejemplo, el dos al cuadrado). Una vez la tengamos, la dividimos por el índice del radical (como no pone nada en el radical, suponemos que es 2). El cociente (en este caso, 1) es el número de factores (2) que salen afuera y el resto es el número de factores que se quedan (En el caso del 2, el cociente entre 2 y 2 es 1, por lo que sale un único 2. Como el resto es 0, no se queda ningún factor dentro del radical). Nota: Esta regla no oficial, inventada por mí para facilitar, solo funciona cuando tenemos productos dentro del radical. Cuando tengamos sumandos, tendremos que usar factor común, pero eso no se ve hasta mucho más tarde.
$$\sqrt { { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot 5 } =2\cdot 3\cdot \sqrt { 5 } =6\sqrt { 5 } $$
Para introducirlos, hacemos lo opuesto (multiplicamos el exponente del factor que está fuera multiplicando al radical por el índice del radical y esa es el nuevo exponente del factor que entra):
Forma 1:
$$12\cdot 2\sqrt { 10 } \\ \sqrt { 10\cdot { 12 }^{ 2 }\cdot { 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 5760 } $$
Forma 2:
$$12\cdot 2\sqrt { 10 } =24\sqrt { 10 } \\ \sqrt { { 24 }^{ 2 }\cdot 10 } =\sqrt { 5760 } $$
Nota: Si el índice fuera 3, la potencia del factor se multiplicaría por tres.
La única condición para poder realizarlos es que los radicales sean iguales. Acá un ejemplo:
$$\sqrt { 800 } +\sqrt { 288 } -\sqrt { 18 } $$
Factorizamos cada radical:
$$\sqrt { { 2 }^{ 5 }\cdot { 5 }^{ 2 } } +\sqrt { { 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 } } -\sqrt { 2\cdot { 3 }^{ 2 } } $$
Usamos la regla para retirar todos los factores posibles del interior de los radicales:
Ahora bien, hemos de coger la potencia de un factor (por ejemplo, el dos al cuadrado). Una vez la tengamos, la dividimos por el índice del radical (como no pone nada en el radical, suponemos que es 2). El cociente (en este caso, 1) es el número de factores (2) que salen afuera y el resto es el número de factores que se quedan (En el caso del 2, el cociente entre 2 y 2 es 1, por lo que sale un único 2. Como el resto es 0, no se queda ningún factor dentro del radical). Nota: Esta regla no oficial, inventada por mí para facilitar, solo funciona cuando tenemos productos dentro del radical. Cuando tengamos sumandos, tendremos que usar factor común, pero eso no se ve hasta mucho más tarde.
$$\sqrt { { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot 5 } =2\cdot 3\cdot \sqrt { 5 } =6\sqrt { 5 } $$
Para introducirlos, hacemos lo opuesto (multiplicamos el exponente del factor que está fuera multiplicando al radical por el índice del radical y esa es el nuevo exponente del factor que entra):
Forma 1:
$$12\cdot 2\sqrt { 10 } \\ \sqrt { 10\cdot { 12 }^{ 2 }\cdot { 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 5760 } $$
Forma 2:
$$12\cdot 2\sqrt { 10 } =24\sqrt { 10 } \\ \sqrt { { 24 }^{ 2 }\cdot 10 } =\sqrt { 5760 } $$
Nota: Si el índice fuera 3, la potencia del factor se multiplicaría por tres.
Sumandos de radicales:
La única condición para poder realizarlos es que los radicales sean iguales. Acá un ejemplo:
$$\sqrt { 800 } +\sqrt { 288 } -\sqrt { 18 } $$
Factorizamos cada radical:
$$\sqrt { { 2 }^{ 5 }\cdot { 5 }^{ 2 } } +\sqrt { { 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 } } -\sqrt { 2\cdot { 3 }^{ 2 } } $$
Usamos la regla para retirar todos los factores posibles del interior de los radicales:
$${ 2 }^{ 2 }\cdot 5\sqrt { 2 } +{ 2 }^{ 2 }\cdot 3\sqrt { 2 } -3\sqrt { 2 } =20\sqrt { 2 } +12\sqrt { 2 } -3\sqrt { 2 } $$
Ahora que tenemos radical común, podemos sacar factor común la raíz de 2 y dejarlo así (el factor común se basa en multiplicar un término común en todos los sumandos, en este caso la raíz de 2, porque se encuentra en todos y usando la regla distributiva):
$$a\cdot n+b\cdot n=n\cdot \left( a+b \right) $$
$$20\sqrt { 2 } +12\sqrt { 2 } -3\sqrt { 2 } =\left( 20+12-3 \right) \sqrt { 2 } =29\sqrt { 2 } $$
Ahora que tenemos radical común, podemos sacar factor común la raíz de 2 y dejarlo así (el factor común se basa en multiplicar un término común en todos los sumandos, en este caso la raíz de 2, porque se encuentra en todos y usando la regla distributiva):
$$a\cdot n+b\cdot n=n\cdot \left( a+b \right) $$
$$20\sqrt { 2 } +12\sqrt { 2 } -3\sqrt { 2 } =\left( 20+12-3 \right) \sqrt { 2 } =29\sqrt { 2 } $$
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