Sumandos y sustraendos:
$$3+x=47\\ 3+x-3=47-3\\ x=44$$
Restamos el término 3 en ambos miembros, para así tener una igualdad. A esto también se lo llama lo que esta sumando pasarlo al otro miembro restando y viceversa, es decir, pasar el 3 al otro miembro restando.
Productos y cocientes:
$$\frac { 69 }{ x } =3\\ \frac { 69 }{ 1 } =3x\\ \frac { 69 }{ 3 } =x=23$$
Pasamos la incógnita a mutiplicar al tres, o lo que es lo mismo, multiplicamos la incógnita en ambos términos. Posteriormente, dividimos ambos términos entre tres o pasamos el tres dividiendo al otro término.
Logaritmos:
$$3125={ 5 }^{ x }\\ \log _{ 5 }{ 3125=\log _{ 5 }{ { 5 }^{ x } } } \\ \log _{ 5 }{ 3125=x }$$
Aplicamos un logaritmo de base la base del exponente, en este caso 5, en ambos miembros.
Como sabemos, los logaritmos tienes la propiedad de permitir que su exponente pase a ser producto del logaritmo, siendo este exponente la incógnita. Nos queda como producto un logaritmo de base n de n, cuyo valor siempre será 1, en caso de ser n mayor que 0.
$$x=5$$
Una simple calculadora nos puede resolver logaritmos en base n de esta forma:
$$\frac { \log { 3125 } }{ \log { 5 } } =\log _{ 5 }{ 3125 }$$
Sin embargo, hay otras calculadoras que permiten escoger la base que quieras, sin tener que hacer el cociente de arriba.
Radicales y potencias:
Radicales:
$$\sqrt { x } =12\\ x={ 12 }^{ 2 }=144\\ { \sqrt [ 3 ]{ x } =2 }\\ x={ 2 }^{ 3 }=8$$
Elevamos al cuadrado ambos términos, aunque también podemos pasar la base del racional como potencia al otro término, pues esto es lo mismo.
$${ x }^{ 2 }=64\\ x={ \pm 64 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ x=\pm \sqrt { 64 } =\pm 8$$
Elevamos cada miembro a 0'5, o lo que es lo mismo, pasamos el exponente como exponente del otro miembro, pero a la inversa, es decir, como raíz cuadrada de base el exponente del miembro anterior.
$${ x }^{ 3 }=64\\ x={ 64 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ x=\sqrt [ 3 ]{ 64 } =4$$
Nota: Cuando la base del radical sea par, la solución debe anteceder con un ±, si es impar, siempre será positivo el signo que antecede.
Potencias:
$${ x }^{ 2 }=64\\ x={ \pm 64 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\\ x=\pm \sqrt { 64 } =\pm 8$$
Elevamos cada miembro a 0'5, o lo que es lo mismo, pasamos el exponente como exponente del otro miembro, pero a la inversa, es decir, como raíz cuadrada de base el exponente del miembro anterior.
$${ x }^{ 3 }=64\\ x={ 64 }^{ \frac { 1 }{ 3 } }\\ x=\sqrt [ 3 ]{ 64 } =4$$
Nota: Cuando la base del radical sea par, la solución debe anteceder con un ±, si es impar, siempre será positivo el signo que antecede.
Funciones cuadráticas:
$${ x }^{ 2 }+x=2\\ { x }^{ 2 }+x-2=0$$
Empezamos por igualar la función a cero, usando los métodos de despeje que ya conocemos.
$$a{ x }^{ 2 }+bx-c=0\\ a=1\\ b=1\\ c=-2$$
Proseguimos viendo qué constantes tienen multiplicando cada número que vemos, o lo que es lo mismo, buscamos los valores de a, b y c.
$$x=\frac { -b\pm \sqrt { { b }^{ 2 }-4ac } }{ 2a } \\ x=-\frac { 1\pm \sqrt { 9 } }{ 2 } =-\frac { 1\pm 3 }{ 2 } \\ { x }_{ 1 }=1\quad { x }_{ 2 }=-2$$
Estos valores los sustituimos en la ecuación cuadrática, con lo que obtenemos dos valores, que serán dos soluciones para la incógnita x. Si el discriminante es cero, nos saldrá una solución cero, y si el discriminante es negativo, nos dará una solución compleja.
$$a{ r }^{ 2 }+br-c=0$$
Regla de Ruffini y factor común:
$$a{ r }^{ 2 }+br-c=0$$
$$\left[ \left( ar+b \right) r+c \right] =0$$
$${ r }^{ 2 }+r-2=0$$
$$r=1$$
La función de arriba la podemos factorizar como la de abajo. Cogemos números al azar y los colocamos en el valor de x hasta que el resultado sea 0. Entonces, ese resultado se puede expresar de la forma:
$$x=r\\ x-r=0$$
Si probamos con x=2, nos sale la igualdad correcta, así que, en concluyendo:
$${ x }^{ 2 }+x-2=(x-1)(x+2)$$
De esta forma, factorizamos un polinomio. Si nos fijamos, al sustituir una de las soluciones como incógnita, nos sale siempre uno de los factores como 0, lo que hace que la función sea 0, y por tanto, la abscisa sea la correcta.
$${ x }^{ 3 }-{ 6 }x^{ 2 }+8x=0$$
Como vemos en el siguiente ejemplo, en todos los términos del miembro encontramos la incógnita. Por consiguiente, procedemos a agrupar una incógnita que relacione a todas de la siguiente forma:
$${ x(x }^{ 2 }-{ 6 }x+8)=0$$
$$x=0$$
De esta expresión podemos extraer dos conclusiones, una es que una solución es 0, ya que si la incógnita fuera 0, se cumpliría la igualdad; y la otra es que las soluciones del producto también serán soluciones de la función original.
$${ x }^{ 2 }-{ 6 }x+8=0$$
$$a=1\\ b=-6\\ c=8$$
$$x=\frac { 6\pm \sqrt { 4 } }{ 2 } \\ { x }_{ 1 }=4\quad { x }_{ 2 }=2$$
La siguientes dos soluciones las sacamos del producto usando la ecuación cuadrática o la Regla de Ruffini. Por tanto:
$${ x }^{ 3 }-{ 6 }x^{ 2 }+8x=0\\ { x }_{ 1 }=4\quad { x }_{ 2 }=2\quad { x }_{ 3 }=0$$
Grado 4:
Ejercicio 1:
$${ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 2 }+1=0$$
Como se observa, los exponentes son 4 y 2, respectivamente (aunque también tendríamos el cero, el del término independiente, ya que la incógnita al exponente 0 es uno). Gracias a esto, podemos aplicar un cambio de variable, de forma que se nos queda de forma cuadrática, con un exponente 2 y otro 1. Véase la resolución:
$${ x }^{ 2 }=t\\ { x }^{ 4 }={ t }^{ 2 }$$
Cambiamos el menor grado por una variable, llámese t o Nikola Tesla. Si elevamos la incógnita x al cuadrado al cuadrado, vemos que se nos queda x a la cuarta, satisfaciendo el cuarto grado. De esta forma:
$${ t }^{ 2 }+2t+1=0$$
Usamos la ecuación cuadrática para resolverla:
$$t=\frac { -2\pm \sqrt { { 2 }^{ 2 }-4\cdot 1\cdot 1 } }{ 2 } =-1$$
(Diga lo que se diga, la ecuación variada tiene dos soluciones, no solo -1. Lo que pasa es que tiene multiplicidad par. Por esto, si lo factorizamos veremos que tiene dos soluciones, aunque da la casualidad de que son el mismo valor):
$$\left( t+1 \right) \cdot \left( t+1 \right) ={ \left( t+1 \right) }^{ 2 }={ t }^{ 2 }+2t+1$$
Después de obtener como solución -1, hemos de deshacer el cambio de variable, pues tenemos la solución de la variable t, pero se nos pide que demos la solución en la variable x.
Para ello, nos vamos en la igualdad inicial que pusimos:
$${ x }^{ 2 }=t$$
Sustituimos la t por el resultado que nos dio, lo cual nos indica que:
$${ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 2 }+1=0\\ { x }^{ 2 }=-1\\ x=\pm \sqrt { -1 } $$
Para aquellos que cursan, tercero o cuarto, esta ecuación no tiene solución real:
$$x\notin ℝ$$
Sin embargo, para alumnos de Bachillerato, esta ecuación sí tiene solución compleja, la cual es:
$${ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 2 }+1=0\\ { x }^{ 2 }=-1\\ x=\pm \sqrt { -1 } \\ i=\sqrt { -1 } \\ x=\pm i$$
Además, tiene multiplicidad par, por lo que la ecuación tiene la misma cantidad de raíces que el grado de la ecuación, en este caso, 4. Dos de ellas serían i e i, y las otras dos serían -i y -i.
Ejercicio 2:
$${ x }^{ 4 }-3{ x }^{ 2 }+2=0$$
Realizamos un cambio de variable, elevando ambos miembros del cambio al cuadrado para obtener el grado de la variable nueva para x a la cuarta.
$$t={ x }^{ 2 }\\ { \left( { x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }={ t }^{ 2 }={ x }^{ 4 }\\ { t }^{ 2 }-3t+2=0$$
Resolvemos la ecuación usando la ecuación cuadrática (hay calculadoras, como la Casio fx-991SP X II Iberia, que nos permiten resolver ecuaciones hasta de cuarto grado con solo escribir la ecuación).
$$t=\frac { 3\pm \sqrt { 9-4\cdot 1\cdot 2 } }{ 2 } =\frac { 3\pm 1 }{ 2 } \\ { t }_{ 1 }=1\\ { t }_{ 2 }=2$$
Ahora nos toca deshacer el cambio de variable, retornando a la ecuación del cambio de variable que hemos hecho, que es esta:
$$t={ x }^{ 2 }$$
Sustituimos el valor t por las soluciones que hemos obtenido y usando las reglas de despeje ya mencionadas al principio de la entrada, en concreto, la parte de despejar potencias:
$${ x }_{ 1 }=\pm \sqrt { 1 } =\pm 1\\ { x }_{ 2 }=\pm \sqrt { 2 } $$
Como vemos, en total tenemos 4 soluciones, siendo ellas, 1, -1, menos raíz de dos y raíz de dos positiva.
Grado 6:
$${ x }^{ 6 }-{ 35 }{ x }^{ 3 }+216=0$$
Como tenemos un 3 y un 6, y sabemos que la segunda cifra es el doble de la primera, deducimos que se trata de una ecuación cuadrática. Lo único que cambia es la expresión del cambio de variable.
$$t={ x }^{ 3 }\\ { t }^{ 2 }={ x }^{ 6 }\\ { t }^{ 2 }-35t+216=0\\ t=\frac { 35\pm \sqrt { 1225-4\cdot 1\cdot 216 } }{ 2 } =\frac { 35\pm 19 }{ 2 } \\ { t }_{ 1 }=27\\ { t }_{ 2 }=8$$
Hasta ahora bien. Sin embargo, si volvemos a la ecuación del cambio de variable, vemos que la potencia es impar, no par, como en las ecuaciones bicuadradas de sexto grado. Por esto, la única solución válida sería la positiva, ya que, si fuera negativa, la variable en t sería -8 y -27.
$${ x }_{ 1 }=\sqrt { 27 } =3\\ { x }_{ 2 }=\sqrt { 8 } =2$$
Como vemos, la ecuación tiene dos soluciones reales. Al ser de sexto grado, debería tener seis soluciones. ¿Por qué ocurre esto? Simple, las otras cuatro soluciones son raíces imaginarias un tanto difíciles de obtener.
$${ r }^{ 2 }+r-2=0$$
$$r=1$$
La función de arriba la podemos factorizar como la de abajo. Cogemos números al azar y los colocamos en el valor de x hasta que el resultado sea 0. Entonces, ese resultado se puede expresar de la forma:
$$x=r\\ x-r=0$$
Si probamos con x=2, nos sale la igualdad correcta, así que, en concluyendo:
$${ x }^{ 2 }+x-2=(x-1)(x+2)$$
De esta forma, factorizamos un polinomio. Si nos fijamos, al sustituir una de las soluciones como incógnita, nos sale siempre uno de los factores como 0, lo que hace que la función sea 0, y por tanto, la abscisa sea la correcta.
$${ x }^{ 3 }-{ 6 }x^{ 2 }+8x=0$$
Como vemos en el siguiente ejemplo, en todos los términos del miembro encontramos la incógnita. Por consiguiente, procedemos a agrupar una incógnita que relacione a todas de la siguiente forma:
$${ x(x }^{ 2 }-{ 6 }x+8)=0$$
$$x=0$$
De esta expresión podemos extraer dos conclusiones, una es que una solución es 0, ya que si la incógnita fuera 0, se cumpliría la igualdad; y la otra es que las soluciones del producto también serán soluciones de la función original.
$${ x }^{ 2 }-{ 6 }x+8=0$$
$$a=1\\ b=-6\\ c=8$$
$$x=\frac { 6\pm \sqrt { 4 } }{ 2 } \\ { x }_{ 1 }=4\quad { x }_{ 2 }=2$$
La siguientes dos soluciones las sacamos del producto usando la ecuación cuadrática o la Regla de Ruffini. Por tanto:
$${ x }^{ 3 }-{ 6 }x^{ 2 }+8x=0\\ { x }_{ 1 }=4\quad { x }_{ 2 }=2\quad { x }_{ 3 }=0$$
Interior de logaritmos:
Imaginemos una ecuación del tipo:
$$log\left( 2x+5 \right) =5$$
Como sabemos, el logaritmo es decimal, ya que esta notación dice que si no hay ningún valor debajo de log, este tiene como base 10. De todas, formas, la única forma de eliminar un logaritmo, es decir, poder operar con su interior, es colocándolo como exponente de su base. Para mayor detalle, véase la resolución.
$$log\left( 2x+5 \right) =5\\ { 10 }^{ log\left( 2x+5 \right) }={ 10 }^{ 5 }\\ 2x+5=100000$$
$$x=\frac { 99995 }{ 2 } =49997'5$$
No hay fórmula concreta, pero puede usarse esta para entenderse mejor:
$$\log _{ n }{ x } =m\\ { n }^{ \log _{ n }{ x } }={ n }^{ m }\\ x={ n }^{ m }\\ (n\in ℝ)$$
Esto define la definición de logaritmo, pues la solución del logaritmo es el exponente al que hay que elevar la base para así obtener el interior del logaritmo.
Método de sustitución:
Consiste en aislar una incógnita, sustituyendo en la segunda ecuación la igualdad de la incógnita, obteniendo así una ecuación de una única incógnita:
$$\begin{cases} 2x+3y=4 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Elegimos la incógnita más sencilla de despejar, en este caso, la x de la segunda ecuación:
$$x-2y=3\\ x=2y+3$$
Esta igualdad la situamos en la otra ecuación, con lo que obtendremos una ecuación de una única incógnita:
$$2\cdot \left( 2y+3 \right) +3y=4\\ 4y+6+3y=4\\ 7y=-2\\ y=-\frac { 2 }{ 7 } $$
Sin embargo, aún no hemos finalizado. Necesitamos obtener el valor de la incógnita x. Nos basta con volver a la igualdad de la incógnita x que hicimos antes para sustituir y sustituir en la ecuación el valor de la incógnita y antes calculada:
$$x=2\cdot \left( -\frac { 2 }{ 7 } \right) +3=\frac { 17 }{ 7 } $$
Método de igualación:
Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, de forma que, al ser iguales, las podemos igualar en una única ecuación, de la que podemos extraer las incógnitas:
$$\begin{cases} 2x+3y=4 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Despejamos la incógnita que queramos (si puede ser, la más sencilla) en ambas ecuaciones. Yo escogeré la incógnita x:
$$x-2y=3\\ x=2y+3\\ \\ 2x=4-3y\\ x=\frac { 4-3y }{ 2 } $$
Puesto que son las mismas, puedo proceder a igualarlas, obteniendo una ecuación fácil de resolver:
$$2y+3=\frac { 4-3y }{ 2 } =2-1'5y\\ 3'5y=-1\\ y=-\frac { 2 }{ 7 } $$
Ahora, elijo una de las ecuaciones donde tengo despejada la x y sustituyo el valor de la incógnita y, obteniendo así su valor.
$$x=2\cdot \left( -\frac { 2 }{ 7 } \right) +3=\frac { 17 }{ 7 } $$
Método de reducción:
Consiste en realizar una igualdad de forma que la misma incógnita sumada junto a la misma de la otra ecuación dé como resultado cero, haciendo que al sumar las ecuaciones, estas se eliminen:
$$\begin{cases} 2x+3y=4 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Ponemos nombre a cada una de las ecuaciones:
$$\left( 2x+3y=4 \right) ={ E }_{ 1 }\\ (x-2y=3)={ E }_{ 2 }$$
Ahora diseñamos una ecuación que nos permita escoger un valor para una constante, de forma que nos dé un valor dependiendo del que cojamos (función). Elegimos cualquier par de incógnitas, las convertimos en producto entre una constante cualquiera y la igualamos a 0.
$$n\cdot 2x+k\cdot x=0\\ x\cdot \left( 2n+k \right) =0\\ 2n+k=\frac { 0 }{ x } =0\\ 2n=-k$$
Escogemos un valor para n, y así obtendremos otro para k:
$$Si\quad n=1\quad \Rightarrow \quad 2=-k\Rightarrow k=-2$$
Ahora, multiplicamos cada ecuación por la respectiva constante de su incógnita de la forma:
$$n\cdot { E }_{ 1 }+k\cdot { E }_{ 2 }$$
Así obtendremos:
$$\left( 2x+3y=4 \right) +\left( -2x+4y=-6 \right) =\left( 7y=-2 \right) $$
Como vemos, hemos eliminado la incógnita, con lo que podemos despejar la incógnita y:
$$y=-\frac { 2 }{ 7 } $$
Volvemos a usar sustitución y ya estaría acabado el sistema:
$$x=2\cdot \left( -\frac { 2 }{ 7 } \right) +3=\frac { 17 }{ 7 } $$
Nota: La parte de diseñar una ecuación no es oficial, la he inventado para que sea más sencillo, pero se puede sustituir usando mínimo común múltiplo (m.c.m.) y negando una ecuación entera, de forma que se puedan eliminar las ecuaciones. De todas maneras, el resultado final es el mismo.
Regla de Cramer:
Consiste en el uso de determinantes para obtener el valor de las incógnitas. La expresión para resolver los sistemas es esta:
$$\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}\\ \\ x=\frac { \begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} } =\frac { ce-bf }{ ae-bd } \quad y=\frac { \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} } =\frac { af-cd }{ ae-bd } $$
Resolvamos el antiguo sistema:
$$\begin{cases} 2x+3y=4 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Elegimos las constantes y las sustituimos en la ecuación anteriormente puesta:
$$x=\frac { \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} } =\frac { -8-9 }{ -7 } =\frac { 17 }{ 7 } \quad y=\frac { \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} } =-\frac { 2 }{ 7 } $$
Sistemas de ecuaciones con dos incógnitas:
Constan de dos ecuaciones, que pueden estar formadas por una o dos incógnitas. Se pueden resolver de varias maneras. Estas son las más usadas:Método de sustitución:
Consiste en aislar una incógnita, sustituyendo en la segunda ecuación la igualdad de la incógnita, obteniendo así una ecuación de una única incógnita:
$$\begin{cases} 2x+3y=4 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Elegimos la incógnita más sencilla de despejar, en este caso, la x de la segunda ecuación:
$$x-2y=3\\ x=2y+3$$
Esta igualdad la situamos en la otra ecuación, con lo que obtendremos una ecuación de una única incógnita:
$$2\cdot \left( 2y+3 \right) +3y=4\\ 4y+6+3y=4\\ 7y=-2\\ y=-\frac { 2 }{ 7 } $$
Sin embargo, aún no hemos finalizado. Necesitamos obtener el valor de la incógnita x. Nos basta con volver a la igualdad de la incógnita x que hicimos antes para sustituir y sustituir en la ecuación el valor de la incógnita y antes calculada:
$$x=2\cdot \left( -\frac { 2 }{ 7 } \right) +3=\frac { 17 }{ 7 } $$
Método de igualación:
Consiste en despejar la misma incógnita en ambas ecuaciones, de forma que, al ser iguales, las podemos igualar en una única ecuación, de la que podemos extraer las incógnitas:
$$\begin{cases} 2x+3y=4 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Despejamos la incógnita que queramos (si puede ser, la más sencilla) en ambas ecuaciones. Yo escogeré la incógnita x:
$$x-2y=3\\ x=2y+3\\ \\ 2x=4-3y\\ x=\frac { 4-3y }{ 2 } $$
Puesto que son las mismas, puedo proceder a igualarlas, obteniendo una ecuación fácil de resolver:
$$2y+3=\frac { 4-3y }{ 2 } =2-1'5y\\ 3'5y=-1\\ y=-\frac { 2 }{ 7 } $$
Ahora, elijo una de las ecuaciones donde tengo despejada la x y sustituyo el valor de la incógnita y, obteniendo así su valor.
$$x=2\cdot \left( -\frac { 2 }{ 7 } \right) +3=\frac { 17 }{ 7 } $$
Método de reducción:
Consiste en realizar una igualdad de forma que la misma incógnita sumada junto a la misma de la otra ecuación dé como resultado cero, haciendo que al sumar las ecuaciones, estas se eliminen:
$$\begin{cases} 2x+3y=4 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Ponemos nombre a cada una de las ecuaciones:
$$\left( 2x+3y=4 \right) ={ E }_{ 1 }\\ (x-2y=3)={ E }_{ 2 }$$
Ahora diseñamos una ecuación que nos permita escoger un valor para una constante, de forma que nos dé un valor dependiendo del que cojamos (función). Elegimos cualquier par de incógnitas, las convertimos en producto entre una constante cualquiera y la igualamos a 0.
$$n\cdot 2x+k\cdot x=0\\ x\cdot \left( 2n+k \right) =0\\ 2n+k=\frac { 0 }{ x } =0\\ 2n=-k$$
Escogemos un valor para n, y así obtendremos otro para k:
$$Si\quad n=1\quad \Rightarrow \quad 2=-k\Rightarrow k=-2$$
Ahora, multiplicamos cada ecuación por la respectiva constante de su incógnita de la forma:
$$n\cdot { E }_{ 1 }+k\cdot { E }_{ 2 }$$
Así obtendremos:
$$\left( 2x+3y=4 \right) +\left( -2x+4y=-6 \right) =\left( 7y=-2 \right) $$
Como vemos, hemos eliminado la incógnita, con lo que podemos despejar la incógnita y:
$$y=-\frac { 2 }{ 7 } $$
Volvemos a usar sustitución y ya estaría acabado el sistema:
$$x=2\cdot \left( -\frac { 2 }{ 7 } \right) +3=\frac { 17 }{ 7 } $$
Nota: La parte de diseñar una ecuación no es oficial, la he inventado para que sea más sencillo, pero se puede sustituir usando mínimo común múltiplo (m.c.m.) y negando una ecuación entera, de forma que se puedan eliminar las ecuaciones. De todas maneras, el resultado final es el mismo.
Regla de Cramer:
Consiste en el uso de determinantes para obtener el valor de las incógnitas. La expresión para resolver los sistemas es esta:
$$\begin{cases} ax+by=c \\ dx+ey=f \end{cases}\\ \\ x=\frac { \begin{vmatrix} c & b \\ f & e \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} } =\frac { ce-bf }{ ae-bd } \quad y=\frac { \begin{vmatrix} a & c \\ d & f \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} a & b \\ d & e \end{vmatrix} } =\frac { af-cd }{ ae-bd } $$
Resolvamos el antiguo sistema:
$$\begin{cases} 2x+3y=4 \\ x-2y=3 \end{cases}$$
Elegimos las constantes y las sustituimos en la ecuación anteriormente puesta:
$$x=\frac { \begin{vmatrix} 4 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} } =\frac { -8-9 }{ -7 } =\frac { 17 }{ 7 } \quad y=\frac { \begin{vmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} }{ \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} } =-\frac { 2 }{ 7 } $$
Ecuaciones bicuadradas:
Son aquellas cuyo grado supera al segundo, pero pueden ser resueltas como las cuadráticas. Solo se pueden usar si los exponentes de las incógnitas son siempre pares, o por el contrario, siempre impares, aunque no siempre funciona. Sin embargo, en los grandes casos, se pondrán estos ejemplos:Grado 4:
Ejercicio 1:
$${ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 2 }+1=0$$
Como se observa, los exponentes son 4 y 2, respectivamente (aunque también tendríamos el cero, el del término independiente, ya que la incógnita al exponente 0 es uno). Gracias a esto, podemos aplicar un cambio de variable, de forma que se nos queda de forma cuadrática, con un exponente 2 y otro 1. Véase la resolución:
$${ x }^{ 2 }=t\\ { x }^{ 4 }={ t }^{ 2 }$$
Cambiamos el menor grado por una variable, llámese t o Nikola Tesla. Si elevamos la incógnita x al cuadrado al cuadrado, vemos que se nos queda x a la cuarta, satisfaciendo el cuarto grado. De esta forma:
$${ t }^{ 2 }+2t+1=0$$
Usamos la ecuación cuadrática para resolverla:
$$t=\frac { -2\pm \sqrt { { 2 }^{ 2 }-4\cdot 1\cdot 1 } }{ 2 } =-1$$
(Diga lo que se diga, la ecuación variada tiene dos soluciones, no solo -1. Lo que pasa es que tiene multiplicidad par. Por esto, si lo factorizamos veremos que tiene dos soluciones, aunque da la casualidad de que son el mismo valor):
$$\left( t+1 \right) \cdot \left( t+1 \right) ={ \left( t+1 \right) }^{ 2 }={ t }^{ 2 }+2t+1$$
Después de obtener como solución -1, hemos de deshacer el cambio de variable, pues tenemos la solución de la variable t, pero se nos pide que demos la solución en la variable x.
Para ello, nos vamos en la igualdad inicial que pusimos:
$${ x }^{ 2 }=t$$
Sustituimos la t por el resultado que nos dio, lo cual nos indica que:
$${ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 2 }+1=0\\ { x }^{ 2 }=-1\\ x=\pm \sqrt { -1 } $$
Para aquellos que cursan, tercero o cuarto, esta ecuación no tiene solución real:
$$x\notin ℝ$$
Sin embargo, para alumnos de Bachillerato, esta ecuación sí tiene solución compleja, la cual es:
$${ x }^{ 4 }+2{ x }^{ 2 }+1=0\\ { x }^{ 2 }=-1\\ x=\pm \sqrt { -1 } \\ i=\sqrt { -1 } \\ x=\pm i$$
Además, tiene multiplicidad par, por lo que la ecuación tiene la misma cantidad de raíces que el grado de la ecuación, en este caso, 4. Dos de ellas serían i e i, y las otras dos serían -i y -i.
Ejercicio 2:
$${ x }^{ 4 }-3{ x }^{ 2 }+2=0$$
Realizamos un cambio de variable, elevando ambos miembros del cambio al cuadrado para obtener el grado de la variable nueva para x a la cuarta.
$$t={ x }^{ 2 }\\ { \left( { x }^{ 2 } \right) }^{ 2 }={ t }^{ 2 }={ x }^{ 4 }\\ { t }^{ 2 }-3t+2=0$$
Resolvemos la ecuación usando la ecuación cuadrática (hay calculadoras, como la Casio fx-991SP X II Iberia, que nos permiten resolver ecuaciones hasta de cuarto grado con solo escribir la ecuación).
$$t=\frac { 3\pm \sqrt { 9-4\cdot 1\cdot 2 } }{ 2 } =\frac { 3\pm 1 }{ 2 } \\ { t }_{ 1 }=1\\ { t }_{ 2 }=2$$
Ahora nos toca deshacer el cambio de variable, retornando a la ecuación del cambio de variable que hemos hecho, que es esta:
$$t={ x }^{ 2 }$$
Sustituimos el valor t por las soluciones que hemos obtenido y usando las reglas de despeje ya mencionadas al principio de la entrada, en concreto, la parte de despejar potencias:
$${ x }_{ 1 }=\pm \sqrt { 1 } =\pm 1\\ { x }_{ 2 }=\pm \sqrt { 2 } $$
Como vemos, en total tenemos 4 soluciones, siendo ellas, 1, -1, menos raíz de dos y raíz de dos positiva.
Grado 6:
$${ x }^{ 6 }-{ 35 }{ x }^{ 3 }+216=0$$
Como tenemos un 3 y un 6, y sabemos que la segunda cifra es el doble de la primera, deducimos que se trata de una ecuación cuadrática. Lo único que cambia es la expresión del cambio de variable.
$$t={ x }^{ 3 }\\ { t }^{ 2 }={ x }^{ 6 }\\ { t }^{ 2 }-35t+216=0\\ t=\frac { 35\pm \sqrt { 1225-4\cdot 1\cdot 216 } }{ 2 } =\frac { 35\pm 19 }{ 2 } \\ { t }_{ 1 }=27\\ { t }_{ 2 }=8$$
Hasta ahora bien. Sin embargo, si volvemos a la ecuación del cambio de variable, vemos que la potencia es impar, no par, como en las ecuaciones bicuadradas de sexto grado. Por esto, la única solución válida sería la positiva, ya que, si fuera negativa, la variable en t sería -8 y -27.
$${ x }_{ 1 }=\sqrt { 27 } =3\\ { x }_{ 2 }=\sqrt { 8 } =2$$
Como vemos, la ecuación tiene dos soluciones reales. Al ser de sexto grado, debería tener seis soluciones. ¿Por qué ocurre esto? Simple, las otras cuatro soluciones son raíces imaginarias un tanto difíciles de obtener.
No hay comentarios.:
Publicar un comentario