Otras integrales de sustitución:
1.
$$\int { \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } }{ x } dx } $$
Usando las identidades trigonométricas, usamos sustitución.
$$\int { \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } }{ x } dx } \\ x=tgu\\ dx={ sec }^{ 2 }u\quad du\\ \\ \int { \frac { { sec }^{ 3 }u }{ tgu } du } $$
Usando de nuevo las identidades, podemos simplificarla para poder convertirla en sumandos e integrar mejor.
$$\int { \frac { { sec }^{ 3 }u }{ tgu } du } =\int { \frac { { sec }u\quad (1+{ tg }^{ 2 }) }{ tgu } du } \\ \\ \int { \frac { secu\quad +\quad { tg }^{ 2 }u\quad secu }{ tgu } du=\int { cscu\quad du\quad +\quad \int { secu\quad tgu } du } } $$
Las dividimos en forma de cosecante y el producto entre secante y tangente.
$$\int { cscu\quad du\quad +\quad \int { secu\quad tgu } du }$$
$$t=secu\\ dt=secu\quad tgu\\ \\ \int { cscu\quad du\quad +\quad \int { dt\quad = } } ln\left| cscu\quad -\quad cotu \right| \quad +\quad t\quad +\quad C'$$
Realizamos otra sustitución y se nos queda de esta forma.
Ahora queda deshacer este cambio.
$$ln\left| cscu\quad -\quad cotu \right| \quad +\quad secu\quad +\quad C'$$
La variable t es simple, pero para la variable u tendremos que usar las identidades de forma más compleja, teniendo en cuenta que la tangente de u es x.
$$ln\left| \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } -1 }{ x }\right| \quad +\quad \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } \quad +\quad C'$$
2.
$$\int { \frac { ln\quad x }{ x } dx } \\ ln\quad x=u\\ x={ e }^{ u }\\ dx={ e }^{ u }du$$
Usamos la sustitución, despejamos la x, la derivamos y sustituimos todas las variables x hasta dejarlas en variable u.
$$\int { \frac { u }{ { e }^{ u } } { e }^{ u } } du=\int { u\quad du=\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { ln }^{ 2 }x }{ 2 } +C' } $$
Ahora, simplemente se integra de forma polinómica y se deshace al final el cambio de variable.
3.
$$\int { { sec }^{ 3 }x\quad tgx\quad dx } $$
En este tipo usamos la sustitución por secante o por tangente.
$$\int { { sec }^{ 3 }x\quad tgx\quad dx } \\ u=secx\\ x={ sec }^{ -1 }u\\ dx=\frac { du }{ u\sqrt { { u }^{ 2 }-1 } } $$
Despejamos la variable inicial y derivamos para conocer el valor del diferencial de la antigua variable en función de la nueva variable.
$$\int { { sec }^{ 3 }x\quad tgx\quad dx } =\int { \frac { { u }^{ 3 }\cdot \sqrt { { u }^{ 2 }-1 } }{ u\sqrt { { u }^{ 2 }-1 } } du=\int { { u }^{ 2 }du } } $$
Una vez de esta forma, ya sabemos cómo integrarla.
$$\int { { u }^{ 2 }du=\frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } =\frac { { sec }^{ 3 }x }{ 3 } +C' } $$
La integral estará resuelta una vez deshagamos el cambio de variable.
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