Tema 4: Polinomios
1. Completa la siguiente tabla:
1,5 puntos
a) $5{ x }^{ 3 }-6x+3{ x }^{ 2 }+4-2{ x }^{ 3 }+2x+5$
b) $\left( 3{ x }^{ 2 }+8-7x-3+5x \right) \cdot 4{ x }^{ 2 }$
Cuando nos piden que simplifiquemos, deberemos agrupar los términos del mismo grado mediante factor común, sumando o restando las constante, quedando un factor común (la variable x).
El grado es el mayor exponente de las variables.
El número de términos es la cantidad de sumandos que nos encontramos.
El término independiente es aquel término que no tiene como producto una variable, o esta tiene grado 0.
Una multiplicación entre dos abscisas se hace de la misma forma que las potencias, multiplicando las constantes y sumando el grado de las variables.
Una multiplicación entre dos abscisas se hace de la misma forma que las potencias, multiplicando las constantes y sumando el grado de las variables.
Con esto sabremos que:
| Simplifica: | Grado: | Nº de términos | Término independiente |
3x3+3x2-4x+9
|
3 | 4 | 9 |
12x4-8x3+20x2
|
4 | 3 | 0 |
2. Comprueba si los siguientes números son raíces del polinomio $f\left( x \right) =3{ x }^{ 2 }-3x-6$:
1 punto
$$x=2\quad \quad \quad x=4\quad \quad \quad x=-1\quad \quad \quad x=-3$$
Una raíz es el valor de la variable que hace que el valor de la función o polinomio sea igual a cero. Esto es, donde la función corta al eje de abscisas. Lo podemos hacer de varias formas.
Primera forma (sustituyendo el valor de las variables en la función para ver si el resultado es cero):
$$f\left( 2 \right) =3\cdot { 2 }^{ 2 }-3\cdot 2-6=0\\ f\left( 4 \right) =3\cdot { 4 }^{ 2 }-3\cdot 4-6=3\\ f\left( -1 \right) =3\cdot { \left( -1 \right) }^{ 2 }-3\cdot \left( -1 \right) -6=0\\ f\left( -3 \right) =3\cdot { \left( -3 \right) }^{ 2 }-3\cdot \left( -3 \right) -6=3$$
Son raíces aquellos valores de la variable que hacen que la función tenga la ordenada en 0. Estos son:
$$x=2\quad \quad \quad x=-1$$
Segunda forma (usando la ecuación cuadrática para obtener las raíces y contrastarlas con los valores de variable que da el ejercicio):
$$3{ x }^{ 2 }-3x-6=0$$
$$x=\frac { 3\pm \sqrt { 9-4\cdot 3\cdot \left( -6 \right) } }{ 2\cdot 3 } =\frac { 3\pm 9 }{ 6 } \\ { x }_{ 1 }=2\quad \quad \quad { x }_{ 2 }=-1$$
Al ver las raíces, podemos decir de los cuatro valores cuáles son raíces y cuáles no.
Aquí dejo una imagen de la representación de la función para ver cómo las raíces son los valores de la variable cuando la función corta al eje de abscisas:
3. Con estos polinomios, resuelve las operaciones indicadas:
2 puntos
$$P\left( x \right) =5{ x }^{ 2 }-3x+6\\ Q\left( x \right) =4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4\\ S\left( x \right) =x-5$$
a) $P\left( x \right) +Q\left( x \right) +S\left( x \right) $
Sumamos términos de mismo grado con otros de mismo grado:
$$P\left( x \right) +Q\left( x \right) +S\left( x \right) =\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) +\left( 4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4 \right) +\left( x-5 \right) $$
$$\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) +\left( 4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4 \right) +\left( x-5 \right) =4{ x }^{ 3 }+8{ x }^{ 2 }-2x-5$$
b) $Q\left( x \right) -P\left( x \right) $
Cuando restamos un polinomio, cambian de signo todos los términos del interior del polinomio que es restado:
$$Q\left( x \right) -P\left( x \right) =\left( 4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4 \right) -\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) $$
$$\left( 4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4 \right) -5{ x }^{ 2 }+3x-6=4{ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }+3x-2$$
c) $P\left( x \right) \cdot S\left( x \right) $
Usando la regla distributiva, deberemos multiplicar cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio de la forma:
$$\left( a+b+c \right) \cdot \left( d+e \right) =ad+bd+cd+ae+be+de$$
Así:
$$P\left( x \right) \cdot S\left( x \right) =\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) \cdot \left( x-5 \right) $$
$$\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) \cdot \left( x-5 \right) =5{ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+6x-25{ x }^{ 2 }+15x-30$$
$$5{ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+6x-25{ x }^{ 2 }+15x-30=5{ x }^{ 3 }-28{ x }^{ 2 }+21x-30$$
d) ${ \left[ S\left( x \right) \right] }^{ 2 }-8$
Dependiendo del grado de la potencia del polinomio, usaremos un producto notable u otro:
Un fallo común es:
$${ \left( a+b \right) }^{ 2 }\neq { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\\ { \left( a+b \right) }^{ 2 }=\left( a+b \right) \left( a+b \right) ={ a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2 }$$
Entonces:
$${ \left[ S\left( x \right) \right] }^{ 2 }-8={ \left( x-5 \right) }^{ 2 }-8$$
$${ \left( x-5 \right) }^{ 2 }-8={ x }^{ 2 }+{ \left( -5 \right) }^{ 2 }+2\cdot x\cdot \left( -5 \right) -8={ x }^{ 2 }+25-10x-8$$
$${ x }^{ 2 }+25-10x-8={ x }^{ 2 }-10x+17$$
4. Extrae el mayor factor común en las siguientes expresiones algebraicas:
a) $3{ x }^{ 4 }-5{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }$
Las constantes no se pueden factorizar, así que solo podemos extraer factor común en las variables.
Como tenemos la variable x en todos los términos, debemos ver cuál es el mayor que tenemos en ambos. En este caso, es el cuadrado, debido a que el cubo es mayor y la potencia de cuatro también. Teniendo en cuenta que la variable es siempre la misma, podemos usar la potencia de misma base, de forma que el exponente de la base que sacamos (el cuadrado) se resta al exponente de todas las variables de los términos. Así:
$${ x }^{ 2 }\cdot \left( 3{ x }^{ 4-2 }-5{ x }^{ 3-2 }+6{ x }^{ 2-2 } \right) ={ x }^{ 2 }\cdot \left( 3{ x }^{ 2 }-5{ x }+6{ x }^{ 0 } \right) $$
En este caso, la variable elevada a cero es uno, por lo que:
$$3{ x }^{ 4 }-5{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }={ x }^{ 2 }\cdot \left( 3{ x }^{ 2 }-5{ x }+6 \right) $$
b) $4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z$
Usando la misma regla, tendremos que el factor de exponente menor que se repite en todos los términos es la variable z, así que:
$$4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z=z\cdot \left( 4{ z }^{ 3-1 }+8{ z }^{ 2-1 }+2{ z }^{ 1-1 } \right) $$
$$4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z=z\cdot \left( 4{ z }^{ 2 }+8z+2 \right) $$
Sin embargo, si factorizamos las constantes 4, 8 y 2, tendremos otro factor común, siendo el 2 el factor con menor exponente. Si extraemos la constante 2 como factor común:
$$4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z=2z\cdot \left( { 2 }^{ 2-1 }{ z }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3-1 }z+{ 2 }^{ 1-1 } \right) $$
$$4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z=2z\cdot \left( 2{ z }^{ 2 }+4{ z }+1 \right) $$
c) $3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }$
En este caso, tenemos un caso de dos variables. Para ello, lo haremos de una a una. Empezaremos con la variable a.
Vemos que en todos los términos encontramos la variable, por lo que sí podemos extraer factor común. El factor con menor grado (el exponente menor) es a, así que lo extraemos como factor común, no sin antes restar su exponente a todos los términos del interior del producto:
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=a\cdot \left( 3{ a }^{ 2-1 }b+9{ a }^{ 1-1 }b+6{ a }^{ 1-1 }{ b }^{ 3 } \right) $$
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=a\cdot \left( 3ab+9b+6{ b }^{ 3 } \right) $$
Ahora procederemos a extraer factor común usando la variable b. Usando la misma regla, veremos que la variable se repite en todos los términos, siendo el factor con menor grado b. Debido a esto, debemos extraer b como factor común, de forma que:
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=ab\cdot \left( 3a{ b }^{ 1-1 }+9{ b }^{ 1-1 }+6{ b }^{ 3-1 } \right) $$
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=ab\cdot \left( 3a+9+6{ b }^{ 2 } \right) $$
Reorganizando el factor segundo:
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=ab\cdot \left( 3a+6{ b }^{ 2 }+9 \right) $$
Todas las constantes son múltiplos de tres, por lo que podemos factorizar 3, 6 y 9, haciendo que podamos extraer 3 como factor común:
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=3ab\cdot \left( { 3 }^{ 1-1 }a+{ 3 }^{ 1-1 }\cdot 2{ b }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2-1 } \right) $$
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=3ab\cdot \left( a+2{ b }^{ 2 }+{ 3 } \right) $$
5. Haz las siguientes divisiones de polinomios:
a) $\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \div \left( 3x-5 \right) $
Primero, escribimos la operación en forma de división larga:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) $$
Como en las divisiones larga, buscamos un valor, en este caso constante y variable, que sea igual al término de mayor grado. Empezaremos escogiendo dos por la variable al cuadrado, ya que al multiplicarlo por el divisor, elimina una parte del dividendo:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }\quad $$
Multiplicamos el valor que hemos tomado por todo el divisor, restándolo luego con el dividendo:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -\left( 6{ x }^{ 3 }-10{ x }^{ 2 } \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }$$
Una vez lo restamos, bajamos el resto del polinomio:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15$$
Volvemos a dividir, escribiendo la siguiente parte del cociente como un sumando:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }+3x\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15\\ \quad \quad \quad -\left( 9{ x }^{ 2 }-15x \right) $$
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }+3x\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15\\ \quad \quad \quad -9{ x }^{ 2 }+15x\\ \quad \quad \quad \quad \quad 0+21x-15$$
Dividimos por última vez:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }+3x+7\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15\\ \quad \quad \quad -9{ x }^{ 2 }+15x\\ \quad \quad \quad \quad \quad 0+21x-15\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -\left( 21x-35 \right) $$
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }+3x+7\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15\\ \quad \quad \quad -9{ x }^{ 2 }+15x\\ \quad \quad \quad \quad \quad 0+21x-15\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -21x+35\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0+20$$
Cociente: $2{ x }^{ 2 }+3x+7$
Resto: $20$
b) $\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \div \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) $
Usando el mismo método, obtendremos el cociente y el resto del polinomio:
Sumamos términos de mismo grado con otros de mismo grado:
$$P\left( x \right) +Q\left( x \right) +S\left( x \right) =\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) +\left( 4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4 \right) +\left( x-5 \right) $$
$$\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) +\left( 4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4 \right) +\left( x-5 \right) =4{ x }^{ 3 }+8{ x }^{ 2 }-2x-5$$
b) $Q\left( x \right) -P\left( x \right) $
Cuando restamos un polinomio, cambian de signo todos los términos del interior del polinomio que es restado:
$$Q\left( x \right) -P\left( x \right) =\left( 4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4 \right) -\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) $$
$$\left( 4{ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }+4 \right) -5{ x }^{ 2 }+3x-6=4{ x }^{ 3 }-2{ x }^{ 2 }+3x-2$$
c) $P\left( x \right) \cdot S\left( x \right) $
Usando la regla distributiva, deberemos multiplicar cada uno de los términos de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio de la forma:
$$\left( a+b+c \right) \cdot \left( d+e \right) =ad+bd+cd+ae+be+de$$
Así:
$$P\left( x \right) \cdot S\left( x \right) =\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) \cdot \left( x-5 \right) $$
$$\left( 5{ x }^{ 2 }-3x+6 \right) \cdot \left( x-5 \right) =5{ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+6x-25{ x }^{ 2 }+15x-30$$
$$5{ x }^{ 3 }-3{ x }^{ 2 }+6x-25{ x }^{ 2 }+15x-30=5{ x }^{ 3 }-28{ x }^{ 2 }+21x-30$$
d) ${ \left[ S\left( x \right) \right] }^{ 2 }-8$
Dependiendo del grado de la potencia del polinomio, usaremos un producto notable u otro:
Un fallo común es:
$${ \left( a+b \right) }^{ 2 }\neq { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 }\\ { \left( a+b \right) }^{ 2 }=\left( a+b \right) \left( a+b \right) ={ a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2 }$$
Entonces:
$${ \left[ S\left( x \right) \right] }^{ 2 }-8={ \left( x-5 \right) }^{ 2 }-8$$
$${ \left( x-5 \right) }^{ 2 }-8={ x }^{ 2 }+{ \left( -5 \right) }^{ 2 }+2\cdot x\cdot \left( -5 \right) -8={ x }^{ 2 }+25-10x-8$$
$${ x }^{ 2 }+25-10x-8={ x }^{ 2 }-10x+17$$
4. Extrae el mayor factor común en las siguientes expresiones algebraicas:
1 punto
a) $3{ x }^{ 4 }-5{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }$
Las constantes no se pueden factorizar, así que solo podemos extraer factor común en las variables.
Como tenemos la variable x en todos los términos, debemos ver cuál es el mayor que tenemos en ambos. En este caso, es el cuadrado, debido a que el cubo es mayor y la potencia de cuatro también. Teniendo en cuenta que la variable es siempre la misma, podemos usar la potencia de misma base, de forma que el exponente de la base que sacamos (el cuadrado) se resta al exponente de todas las variables de los términos. Así:
$${ x }^{ 2 }\cdot \left( 3{ x }^{ 4-2 }-5{ x }^{ 3-2 }+6{ x }^{ 2-2 } \right) ={ x }^{ 2 }\cdot \left( 3{ x }^{ 2 }-5{ x }+6{ x }^{ 0 } \right) $$
En este caso, la variable elevada a cero es uno, por lo que:
$$3{ x }^{ 4 }-5{ x }^{ 3 }+6{ x }^{ 2 }={ x }^{ 2 }\cdot \left( 3{ x }^{ 2 }-5{ x }+6 \right) $$
b) $4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z$
Usando la misma regla, tendremos que el factor de exponente menor que se repite en todos los términos es la variable z, así que:
$$4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z=z\cdot \left( 4{ z }^{ 3-1 }+8{ z }^{ 2-1 }+2{ z }^{ 1-1 } \right) $$
$$4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z=z\cdot \left( 4{ z }^{ 2 }+8z+2 \right) $$
Sin embargo, si factorizamos las constantes 4, 8 y 2, tendremos otro factor común, siendo el 2 el factor con menor exponente. Si extraemos la constante 2 como factor común:
$$4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z=2z\cdot \left( { 2 }^{ 2-1 }{ z }^{ 2 }+{ 2 }^{ 3-1 }z+{ 2 }^{ 1-1 } \right) $$
$$4{ z }^{ 3 }+8{ z }^{ 2 }+2z=2z\cdot \left( 2{ z }^{ 2 }+4{ z }+1 \right) $$
c) $3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }$
En este caso, tenemos un caso de dos variables. Para ello, lo haremos de una a una. Empezaremos con la variable a.
Vemos que en todos los términos encontramos la variable, por lo que sí podemos extraer factor común. El factor con menor grado (el exponente menor) es a, así que lo extraemos como factor común, no sin antes restar su exponente a todos los términos del interior del producto:
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=a\cdot \left( 3{ a }^{ 2-1 }b+9{ a }^{ 1-1 }b+6{ a }^{ 1-1 }{ b }^{ 3 } \right) $$
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=a\cdot \left( 3ab+9b+6{ b }^{ 3 } \right) $$
Ahora procederemos a extraer factor común usando la variable b. Usando la misma regla, veremos que la variable se repite en todos los términos, siendo el factor con menor grado b. Debido a esto, debemos extraer b como factor común, de forma que:
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=ab\cdot \left( 3a{ b }^{ 1-1 }+9{ b }^{ 1-1 }+6{ b }^{ 3-1 } \right) $$
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=ab\cdot \left( 3a+9+6{ b }^{ 2 } \right) $$
Reorganizando el factor segundo:
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=ab\cdot \left( 3a+6{ b }^{ 2 }+9 \right) $$
Todas las constantes son múltiplos de tres, por lo que podemos factorizar 3, 6 y 9, haciendo que podamos extraer 3 como factor común:
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=3ab\cdot \left( { 3 }^{ 1-1 }a+{ 3 }^{ 1-1 }\cdot 2{ b }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2-1 } \right) $$
$$3{ a }^{ 2 }b+9ab+6a{ b }^{ 3 }=3ab\cdot \left( a+2{ b }^{ 2 }+{ 3 } \right) $$
5. Haz las siguientes divisiones de polinomios:
1,5 puntos
a) $\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \div \left( 3x-5 \right) $
Primero, escribimos la operación en forma de división larga:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) $$
Como en las divisiones larga, buscamos un valor, en este caso constante y variable, que sea igual al término de mayor grado. Empezaremos escogiendo dos por la variable al cuadrado, ya que al multiplicarlo por el divisor, elimina una parte del dividendo:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }\quad $$
Multiplicamos el valor que hemos tomado por todo el divisor, restándolo luego con el dividendo:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -\left( 6{ x }^{ 3 }-10{ x }^{ 2 } \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }$$
Una vez lo restamos, bajamos el resto del polinomio:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15$$
Volvemos a dividir, escribiendo la siguiente parte del cociente como un sumando:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }+3x\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15\\ \quad \quad \quad -\left( 9{ x }^{ 2 }-15x \right) $$
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }+3x\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15\\ \quad \quad \quad -9{ x }^{ 2 }+15x\\ \quad \quad \quad \quad \quad 0+21x-15$$
Dividimos por última vez:
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }+3x+7\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15\\ \quad \quad \quad -9{ x }^{ 2 }+15x\\ \quad \quad \quad \quad \quad 0+21x-15\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -\left( 21x-35 \right) $$
$$\left( 6{ x }^{ 3 }-{ x }^{ 2 }+6x-15 \right) \quad |\quad \left( 3x-5 \right) \\ -6{ x }^{ 3 }+10{ x }^{ 2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 2{ x }^{ 2 }+3x+7\\ \quad \quad 0+9{ x }^{ 2 }+6x-15\\ \quad \quad \quad -9{ x }^{ 2 }+15x\\ \quad \quad \quad \quad \quad 0+21x-15\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad -21x+35\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0+20$$
Cociente: $2{ x }^{ 2 }+3x+7$
Resto: $20$
b) $\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \div \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) $
Usando el mismo método, obtendremos el cociente y el resto del polinomio:
$$\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \quad |\quad \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) $$
$$\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \quad
|\quad \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) \\ -\left( 5{ x }^{ 4 }-10{ x }^{ 3 }+5{
x }^{ 2 } \right) \quad \quad \quad \quad \quad \quad 5{ x }^{ 2 }$$
$$\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \quad
|\quad \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) \\ -5{ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }-5{ x }^{
2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 5{ x }^{ 2 }\\ \quad \quad 0+6{ x
}^{ 3 }-13{ x }^{ 2 }+3x+8$$
$$\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \quad
|\quad \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) \\ -5{ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }-5{ x }^{
2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 5{ x }^{ 2 }+6x\\ \quad \quad 0+6{
x }^{ 3 }-13{ x }^{ 2 }+3x+8\\ \quad \quad \quad \quad -\left( 6{ x }^{ 3 }-12{
x }^{ 2 }+6x \right) $$
$$\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \quad
|\quad \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) \\ -5{ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }-5{ x }^{
2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 5{ x }^{ 2 }+6x\\ \quad \quad 0+6{
x }^{ 3 }-13{ x }^{ 2 }+3x+8\\ \quad \quad \quad \quad -6{ x }^{ 3 }+12{ x }^{
2 }-6x\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0-{ x }^{ 2 }-3x+8$$
$$\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \quad
|\quad \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) \\ -5{ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }-5{ x }^{
2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 5{ x }^{ 2 }+6x-1\\ \quad \quad
0+6{ x }^{ 3 }-13{ x }^{ 2 }+3x+8\\ \quad \quad \quad \quad -6{ x }^{ 3 }+12{ x
}^{ 2 }-6x\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0-{ x }^{ 2 }-3x+8\\ \quad
\quad \quad \quad \quad -\left( -{ x }^{ 2 }+2x-1 \right) $$
$$\left( 5{ x }^{ 4 }-4{ x }^{ 3 }-8{ x }^{ 2 }+3x+8 \right) \quad
|\quad \left( { x }^{ 2 }-2x+1 \right) \\ -5{ x }^{ 4 }+10{ x }^{ 3 }-5{ x }^{
2 }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad 5{ x }^{ 2 }+6x-1\\ \quad \quad
0+6{ x }^{ 3 }-13{ x }^{ 2 }+3x+8\\ \quad \quad \quad \quad -6{ x }^{ 3 }+12{ x
}^{ 2 }-6x\\ \quad \quad \quad \quad \quad \quad 0-{ x }^{ 2 }-3x+8\\ \quad
\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad { x }^{ 2 }-2x+1\\ \quad \quad \quad
\quad \quad \quad \quad \quad 0-5x+9$$
Cociente: $5{ x }^{ 2 }+6x-1$
Resto: $-5x+9$
6. Usa el método de Ruffini para resolver estas divisiones. No olvides escribir el cociente y el resto:
a) $\left( 4{ x }^{ 3 }-5{ x }^{ 2 }-11x+3 \right) \div \left( x-3 \right) $
Teniendo en cuenta que las constantes que anteceden cada término son a, b, c y d, y que la raíz del divisor es r, la ecuación para el resto sería:
$$\left( \left( a\cdot r+b \right) \cdot r+c \right) \cdot r+d=Resto$$
O lo que es lo mismo:
$$a{ r }^{ 3 }+b{ r }^{ 2 }+cr+d=Resto$$
Esto es lo llamado teorema del resto.
La raíz de la función y=x-3 es igual a x=3, por lo que r=3. Entonces:
$$Resto:\quad 4\cdot { 3 }^{ 3 }-5\cdot { 3 }^{ 2 }-11\cdot 3+3=33$$
Teniendo en cuenta la ecuación de Ruffini marcada en azul, las ecuaciones para los términos del cociente es:
$$a'=a\quad b'=a\cdot r+b\quad c'=\left( a\cdot r+b \right) \cdot r+c$$
Nota: Usando la regla de Ruffini, el cociente siempre tendrá un grado menos que el dividendo. Por ello, mientras que el dividendo es de grado 3, el cociente es de grado 2:
$$Cociente:\quad a{ x }^{ 2 }+\left( a\cdot r+b \right) x+\left( a\cdot r+b \right) \cdot r+c$$
$$Cociente:\quad 4{ x }^{ 2 }+7x+10$$
b) $\left( 3{ x }^{ 4 }-5{ x }^{ 3 }+4x-6 \right) \div \left( x+2 \right) $
$$Resto:\quad 3\cdot { \left( -2 \right) }^{ 4 }-5\cdot { \left( -2 \right) }^{ 3 }+4\cdot \left( -2 \right) -6=74$$
$$Cociente:\quad 3{ x }^{ 3 }-11{ x }^{ 2 }+22x-40$$
7. Resuelve las siguientes operaciones con identidades notables:
a) ${ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }$
Debemos usar el siguiente producto notable:
$${ \left( a+b \right) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2 }$$
El cuadrado inicial se puede reescribir como ${ \left( 2x+\left( -3 \right) \right) }^{ 2 }$
Así que lo resolvemos así:
$${ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }={ \left( 2x \right) }^{ 2 }+2\cdot \left( 2x \right) \cdot \left( -3 \right) +{ \left( -3 \right) }^{ 2 }$$
$${ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }={ 2 }^{ 2 }{ x }^{ 2 }-12x+9$$
$${ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }=4{ x }^{ 2 }-12x+9$$
b) $\left( 4z+5 \right) \cdot \left( 4z-5 \right) $
Debemos usar este producto notable:
$$\left( a+b \right) \left( a-b \right) ={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }$$
Simplemente, operamos:
$$\left( 4z+5 \right) \cdot \left( 4z-5 \right) ={ \left( 4z \right) }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 }={ 4 }^{ 2 }{ z }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 }$$
$$\left( 4z+5 \right) \cdot \left( 4z-5 \right) =16{ z }^{ 2 }-25$$
c) ${ \left( 3{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 3 } \right) }^{ 2 }$
Usaremos el mismo producto notable del apartado a:
$${ \left( 3{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 3 } \right) }^{ 2 }={ \left( 3{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+2\cdot 3{ a }^{ 2 }\cdot { b }^{ 3 }+{ \left( { b }^{ 3 } \right) }^{ 2 }$$
$${ \left( 3{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 3 } \right) }^{ 2 }=9{ a }^{ 4 }+6{ a }^{ 2 }{ b }^{ 3 }+{ b }^{ 6 }$$
8. Debes hacer las siguientes operaciones con el polinomio $B\left( x \right) =2{ x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }-6x+9$:
a) Divídelo entre el polinomio $x+3$.
Usaremos la regla de Ruffini, así que obtendremos primero el cociente. Usaremos la regla en azul del ejercicio sexto:
$$Cociente:\quad 2{ x }^{ 2 }-x-3$$
$$Resto:\quad 2\cdot { \left( -3 \right) }^{ 3 }+5\cdot { \left( -3 \right) }^{ 2 }-6\cdot { \left( -3 \right) }+9=18$$
b) Calcula el valor numérico del polinomio si sustituyes la letra o variable por $x=-3$.
Ya que es lo mismo que hemos hecho para obtener el resto, sabremos que el resultado es el mismo:
$$2\cdot { \left( -3 \right) }^{ 3 }+5\cdot { \left( -3 \right) }^{ 2 }-6\cdot { \left( -3 \right) }+9=18$$
c) ¿Qué observas? ¿Cómo se llama este resultado?
Se observa que el resultado del apartado b es el mismo que el resto del cociente. El resultado es el resto del polinomio y esta coincidencia es debida al teorema del resto.
6. Usa el método de Ruffini para resolver estas divisiones. No olvides escribir el cociente y el resto:
1,5 puntos
a) $\left( 4{ x }^{ 3 }-5{ x }^{ 2 }-11x+3 \right) \div \left( x-3 \right) $
Teniendo en cuenta que las constantes que anteceden cada término son a, b, c y d, y que la raíz del divisor es r, la ecuación para el resto sería:
$$\left( \left( a\cdot r+b \right) \cdot r+c \right) \cdot r+d=Resto$$
O lo que es lo mismo:
$$a{ r }^{ 3 }+b{ r }^{ 2 }+cr+d=Resto$$
Esto es lo llamado teorema del resto.
La raíz de la función y=x-3 es igual a x=3, por lo que r=3. Entonces:
$$Resto:\quad 4\cdot { 3 }^{ 3 }-5\cdot { 3 }^{ 2 }-11\cdot 3+3=33$$
Teniendo en cuenta la ecuación de Ruffini marcada en azul, las ecuaciones para los términos del cociente es:
$$a'=a\quad b'=a\cdot r+b\quad c'=\left( a\cdot r+b \right) \cdot r+c$$
Nota: Usando la regla de Ruffini, el cociente siempre tendrá un grado menos que el dividendo. Por ello, mientras que el dividendo es de grado 3, el cociente es de grado 2:
$$Cociente:\quad a{ x }^{ 2 }+\left( a\cdot r+b \right) x+\left( a\cdot r+b \right) \cdot r+c$$
$$Cociente:\quad 4{ x }^{ 2 }+7x+10$$
b) $\left( 3{ x }^{ 4 }-5{ x }^{ 3 }+4x-6 \right) \div \left( x+2 \right) $
$$Resto:\quad 3\cdot { \left( -2 \right) }^{ 4 }-5\cdot { \left( -2 \right) }^{ 3 }+4\cdot \left( -2 \right) -6=74$$
$$Cociente:\quad 3{ x }^{ 3 }-11{ x }^{ 2 }+22x-40$$
7. Resuelve las siguientes operaciones con identidades notables:
1 punto
a) ${ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }$
Debemos usar el siguiente producto notable:
$${ \left( a+b \right) }^{ 2 }={ a }^{ 2 }+2ab+{ b }^{ 2 }$$
El cuadrado inicial se puede reescribir como ${ \left( 2x+\left( -3 \right) \right) }^{ 2 }$
Así que lo resolvemos así:
$${ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }={ \left( 2x \right) }^{ 2 }+2\cdot \left( 2x \right) \cdot \left( -3 \right) +{ \left( -3 \right) }^{ 2 }$$
$${ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }={ 2 }^{ 2 }{ x }^{ 2 }-12x+9$$
$${ \left( 2x-3 \right) }^{ 2 }=4{ x }^{ 2 }-12x+9$$
b) $\left( 4z+5 \right) \cdot \left( 4z-5 \right) $
Debemos usar este producto notable:
$$\left( a+b \right) \left( a-b \right) ={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }$$
Simplemente, operamos:
$$\left( 4z+5 \right) \cdot \left( 4z-5 \right) ={ \left( 4z \right) }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 }={ 4 }^{ 2 }{ z }^{ 2 }-{ 5 }^{ 2 }$$
$$\left( 4z+5 \right) \cdot \left( 4z-5 \right) =16{ z }^{ 2 }-25$$
c) ${ \left( 3{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 3 } \right) }^{ 2 }$
Usaremos el mismo producto notable del apartado a:
$${ \left( 3{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 3 } \right) }^{ 2 }={ \left( 3{ a }^{ 2 } \right) }^{ 2 }+2\cdot 3{ a }^{ 2 }\cdot { b }^{ 3 }+{ \left( { b }^{ 3 } \right) }^{ 2 }$$
$${ \left( 3{ a }^{ 2 }+{ b }^{ 3 } \right) }^{ 2 }=9{ a }^{ 4 }+6{ a }^{ 2 }{ b }^{ 3 }+{ b }^{ 6 }$$
8. Debes hacer las siguientes operaciones con el polinomio $B\left( x \right) =2{ x }^{ 3 }+5{ x }^{ 2 }-6x+9$:
1 punto
a) Divídelo entre el polinomio $x+3$.
Usaremos la regla de Ruffini, así que obtendremos primero el cociente. Usaremos la regla en azul del ejercicio sexto:
$$Cociente:\quad 2{ x }^{ 2 }-x-3$$
$$Resto:\quad 2\cdot { \left( -3 \right) }^{ 3 }+5\cdot { \left( -3 \right) }^{ 2 }-6\cdot { \left( -3 \right) }+9=18$$
b) Calcula el valor numérico del polinomio si sustituyes la letra o variable por $x=-3$.
Ya que es lo mismo que hemos hecho para obtener el resto, sabremos que el resultado es el mismo:
$$2\cdot { \left( -3 \right) }^{ 3 }+5\cdot { \left( -3 \right) }^{ 2 }-6\cdot { \left( -3 \right) }+9=18$$
c) ¿Qué observas? ¿Cómo se llama este resultado?
Se observa que el resultado del apartado b es el mismo que el resto del cociente. El resultado es el resto del polinomio y esta coincidencia es debida al teorema del resto.
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