Temas 6 y 7: Características de las funciones. Funciones elementales.
1. Analiza la gráfica siguiente según los apartados que se muestran al lado:
2 puntos
a) Escribe su dominio. ¿Es continua? Explícalo.
El dominio lo expresamos en función de las abscisas, por lo que usaremos la variable x. El dominio es uno o varios intervalos que expresan las zonas de la función donde la función está definida. Como la función no tiene ningún salto finito o infinito, podríamos decir que siempre es continua. Sin embargo, más allá de la abscisa $x=\left( 7,+\infty \right) $ no podemos ver que la función exista, así que el dominio de la función es:
$${ D }_{ f }=\left( -\infty ,7 \right) $$
$${ D }_{ f }=\left( -\infty ,7 \right) $$
Nota: Escribimos un corchete en el punto $P\left( 7,1 \right) $ ya que este está definido en la función, ya que, según la nomenclatura, si el punto está coloreado, se encuentra definido en la función.
La función no es continua, ya que a partir de la abscisa ya mencionada con anterioridad, podemos ver cómo no existe función.
b) Indica los puntos de corte con ambos ejes.
En el eje de abscisas (x), podemos ver cómo la función lo corta en $x=-3$ y en $x\simeq 4'25$.
Por otra parte, en el eje de ordenadas (y), podemos ver que la función solo lo corta en un punto (si hubiera más de un corte con el eje de ordenadas, no sería una función). El corte se produce en $y=3$.
c) Escribe los intervalos de monotonía, esto es, dónde crece, decrece o es constante.
Viendo la gráfica, podemos ver que empieza creciendo, luego decrece, se mantiene constante, más tarde, decrece y finalmente crece hasta dejar de existir la función. Por ello, la monotonía corresponde a:
$$Creciente\quad en:\quad x=\left( -\infty ,-1 \right) \cup \left( 5,7 \right) \\ Decreciente\quad en:\quad x=\left( 1,0 \right) \cup \left( 3,5 \right) \\ Constante\quad en:\quad x=\left( 0,3 \right) $$
d) ¿Tiene puntos extremos? En caso afirmativo, escríbelos y indica si son máximos o mínimos.
Los puntos extremos son aquellos en los que la tangente a ellos tiene pendiente 0, es decir, los que actúan como cambio de la función de ser creciente a decreciente, a no ser que la función se mantenga constante:
Vemos un máximo absoluto en $x=1$, pero como nos piden el punto, lo escribimos como $A\left( 1,5 \right) $. Es absoluto debido a que el mayor valor de ordenada (y) al que puede llegar la función.
En cuanto al mínimo, podemos eliminar la posibilidad de ser absoluto, ya que el valor mínimo de la ordenada es $y=-\infty $. Por ello, es un mínimo relativo. Este punto es $B\left( 5,-1 \right) $.
a) ¿Qué distancia separa una localidad de otra?
Como sabemos que la distancia es aquella entre el inicio (Los Isidros) hasta la meta (Casas-Ibáñez), la distancia sería la que hay entre esos puntos. Sabiendo que la meta se encuentra en 30 km y Los Isidros en 0 km, suponemos que la distancia que las separa es 30 km.
b) ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a Casas-Ibáñez?
2. Esta gráfica representa la relación tiempo-distancia de un grupo de ciclistas que hicieron un recorrido entre Los Isidros y Casas-Ibáñez (meta), de ida y vuelta, este domingo pasado:
1,5 puntos
a) ¿Qué distancia separa una localidad de otra?
Como sabemos que la distancia es aquella entre el inicio (Los Isidros) hasta la meta (Casas-Ibáñez), la distancia sería la que hay entre esos puntos. Sabiendo que la meta se encuentra en 30 km y Los Isidros en 0 km, suponemos que la distancia que las separa es 30 km.
b) ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a Casas-Ibáñez?
El tiempo de llegada es la resta entre la llegada a la meta, situada en 110 minutos, y el inicio, siendo 0 minutos. Por ello, se tardó 110 minutos en llegar.
c) ¿Cuál es el dominio de esta gráfica y qué representa?
c) ¿Cuál es el dominio de esta gráfica y qué representa?
El dominio es el intervalo en el que la función existe en las abscisas, es decir, en el tiempo. Por lo que el dominio sería ${ D }_{ f }=\left[ 0,180 \right] $. Los corchetes se colocan pues incluyen al minuto 0 y al minuto 180, respectivamente. Lo que representa el dominio en la gráfica es el tiempo total del recorrido (ida y vuelta).
d) ¿Realizaron alguna parada? Si es así, indica en qué momentos.
Con parada se refiere a cuando la distancia se mantiene constante mientras el tiempo transcurre. Por ello, las paradas son aquellos intervalos en los que la pendiente es constante. Estos intervalos son:
$$t=\left( 70,80 \right) \cup \left( 110,120 \right) $$
e) ¿Tardan lo mismo en ir que en volver? Imagina alguna explicación...
No, ya que el tiempo transcurrido entre el inicio a la meta y desde la meta al final es distinto. Posiblemente, habrán encontrado un atajo, un plano inclinado que aumente su aceleración, etcétera.
3. Escribe a qué familia de funciones (lineal, afín, cuadrática o de proporción inversa) pertenece cada gráfica y escribe una característica de ella:
Es una función cuadrática. Consta de un eje de simetría y corta al eje de abscisas en dos puntos.
En una función afín. Su ordenada es distinta a cero.
$m$ es la pendiente y $b$ la ordenada en el origen.
Para dibujarla, obtendremos los puntos de corte con los ejes cartesianos. Para ello, usaremos la abscisa $x=0$ para obtener la ordenada en el origen y la ordenada $y=0$ para obtener la abscisa en el origen.
Corte con el eje de ordenadas:
$$f\left( 0 \right) =2\cdot 0+1=1$$
El corte es el punto $P\left( 0,1 \right) $.
Corte con el eje de abscisas:
$$0=2x+1\\ x=-\frac { 1 }{ 2 } $$
El corte es el punto $P\left( \frac { 1 }{ 2 } ,0 \right) $.
Dibujamos los dos puntos en una gráfica y los unimos para crear una recta:
$$g\left( x \right) =3-x$$
Para finalizar escribimos el eje de simetría, que corresponde a una recta de la forma $x=C'$, donde $C'$ es la abscisa del vértice, que obtuvimos antes, siendo $x=1$. La recta es paralela al eje de ordenadas y ortogonal al eje de abscisas. Escribimos los valores de x y los sustituimos en la función para obtener puntos varios. La gráfica quedará así:
d) ¿Realizaron alguna parada? Si es así, indica en qué momentos.
Con parada se refiere a cuando la distancia se mantiene constante mientras el tiempo transcurre. Por ello, las paradas son aquellos intervalos en los que la pendiente es constante. Estos intervalos son:
$$t=\left( 70,80 \right) \cup \left( 110,120 \right) $$
e) ¿Tardan lo mismo en ir que en volver? Imagina alguna explicación...
No, ya que el tiempo transcurrido entre el inicio a la meta y desde la meta al final es distinto. Posiblemente, habrán encontrado un atajo, un plano inclinado que aumente su aceleración, etcétera.
3. Escribe a qué familia de funciones (lineal, afín, cuadrática o de proporción inversa) pertenece cada gráfica y escribe una característica de ella:
1 punto
En una función afín. Su ordenada es distinta a cero.
Es una función lineal. Su ordenada es cero.
Es una hipérbola. Consta de un cociente entre una constante y una función.
4. Haz la gráfica de las siguientes funciones, indicando si es lineal o afín, escribiendo la pendiente y la ordenada en el origen:
1,5 puntos
$$f\left( x \right) =2x+1$$
Para comenzar, indicamos la pendiente teniendo en cuenta que está expresada en forma explícita, con lo que es así:
$$y=mx+b$$
$m$ es la pendiente y $b$ la ordenada en el origen.
- Pendiente: 2
- Ordenada en el origen: 1
Para dibujarla, obtendremos los puntos de corte con los ejes cartesianos. Para ello, usaremos la abscisa $x=0$ para obtener la ordenada en el origen y la ordenada $y=0$ para obtener la abscisa en el origen.
Corte con el eje de ordenadas:
$$f\left( 0 \right) =2\cdot 0+1=1$$
El corte es el punto $P\left( 0,1 \right) $.
Corte con el eje de abscisas:
$$0=2x+1\\ x=-\frac { 1 }{ 2 } $$
El corte es el punto $P\left( \frac { 1 }{ 2 } ,0 \right) $.
Dibujamos los dos puntos en una gráfica y los unimos para crear una recta:
$$g\left( x \right) =3-x$$
- Pendiente: -1
- Ordenada en el origen: 3
Corte con el eje de ordenadas:
$$g\left( 0 \right) =3-0=3$$
El corte es el punto $P\left( 0,3 \right) $.
Corte con el eje de abscisas:
$$0=3-x\\ x=3$$
El corte es el punto $P\left( 3,0 \right) $.
Ambas son afines, pues su ordenada en el origen es distinta a 0.
5. Dadas las siguientes funciones cuadráticas, calcula su vértice y construye una tabla de valores para poder realizar su gráfica. Marca en cada gráfica el eje de simetría y los puntos de corte con los ejes, si los tiene:
1,5 puntos
$$p\left( x \right) ={ x }^{ 2 }-2x-3$$
Empezamos obteniendo su vértice, cuya abscisa se obtiene con la siguiente ecuación:
$${ x }_{ sim }=-\frac { b }{ 2a } $$
$${ x }_{ sim }=-\frac { -2 }{ 2\cdot 1 } =1$$
Para obtener la ordenada del vértice, sustituimos la abscisa en la función:
$$p\left( 1 \right) ={ 1 }^{ 2 }-2\cdot 1-3=-4$$
Por ello, el vértice es el punto $V\left( 1,-4 \right) $.
Los puntos de corte con el eje de abscisas los obtenemos obteniendo las raíces de la ecuación:
$$p\left( x \right) ={ x }^{ 2 }-2x-3=0$$
$${ x }_{ 1 }=3\quad { x }_{ 2 }=-1$$
La ordenada es el término independiente de la función $c=-3$.
Hacemos una tabla de valores porque se nos pide, pero no haría falta usarla:
| x | 2 | -2 |
| y | -3 | 5 |
Para finalizar escribimos el eje de simetría, que corresponde a una recta de la forma $x=C'$, donde $C'$ es la abscisa del vértice, que obtuvimos antes, siendo $x=1$. La recta es paralela al eje de ordenadas y ortogonal al eje de abscisas. Escribimos los valores de x y los sustituimos en la función para obtener puntos varios. La gráfica quedará así:
$$q\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+2$$
Con esta función realizamos los mismos pasos. El vértice será siempre cero cuando la constante b sea 0, ya que la abscisa saldrá así:
$${ x }_{ sim }=-\frac { 0 }{ 2\cdot 1 } =0$$
$${ x }_{ sim }=-\frac { 0 }{ 2\cdot 1 } =0$$
La ordenada en el origen corresponde a la ordenada del vértice. El vértice es $V\left( 0,2 \right) $.
Viendo la función a simple vista, podemos concluir que no corta al eje de abscisas, pues no tiene raíces reales la función. Vamos a comprobarlo:
$$q\left( x \right) ={ x }^{ 2 }+2=0$$
$$x=\pm \sqrt { -2 } $$
El eje de simetría es $x=0$, correspondiendo al eje de ordenadas. La tabla de valores nos permitirá realizar una mejor gráfica:
| x | -1 | 1 | 2 | -2 |
| y | 3 | 3 | 6 | 6 |
6. Representa gráficamente las siguientes funciones de proporcionalidad inversa, dando los pasos necesarios:
1,5 puntos
$$f\left( x \right) =-\frac { 2 }{ x } $$
La forma rápida y compleja sería usando límites, pero como se da en dos años, lo haremos simplemente con una tabla de valores. Para obtener la asíntota vertical (eje de discontinuidad de salto infinito), obtendremos las raíces del denominador (la abscisa donde la ordenada tiende a infinito):
$$x=0$$
Igualando el denominador a cero, obtenemos directamente la asíntota vertical, que corresponde a $x=0$. Como tiende a infinito, dibujaremos una curva que se aproxime a ella pero sin cortarla nunca. Todas las hipérbolas cuyo numerador tiene menor grado que el denominador (grado 0 es menor que grado 1) tendrán una asíntota horizontal que correspondrá al eje de abscisas, con lo que también se aproximarán a esta sin cortarla:
| x | -2 | -1 | 1 | 2 |
| y | 1 | 2 | -2 | -1 |
$$g\left( x \right) =\frac { 4 }{ x-2 } $$
Obtendremos de nuevo el eje de discontinuidad obteniendo la raíz del denominador:
$$x-2=0$$
$$x=2$$
Seguimos los mismos pasos de la función anterior y hacemos una tabla de valores. Luego, representamos:
| x | -3 | -1 | 3 | 5 |
| y | -0,8 | -4/3 | 4 | 4/3 |
7. Representa en unos ejes coordenadas los puntos $P\left( -1,2 \right) $ y $Q\left( 1,8 \right) $, traza la recta que pasa por ambos puntos y deduce algebraicamente la ecuación de esta recta o función lineal.
1 punto
La gráfica la trazamos graficando los puntos en unos ejes cartesianos, que luego unimos con una regla o lápiz hasta formar una recta infinita:
Para obtener la ecuación de la recta, primero obtenemos la pendiente mediante la siguiente ecuación:
$$m=\frac { { y }_{ 2 }-{ y }_{ 1 } }{ { x }_{ 2 }-{ x }_{ 1 } } $$
Usando los puntos que se nos dan, obtenemos las pendientes teniendo en cuenta que las coordenadas de un punto son $P\left( x,y \right) $:
$$m=\frac { 8-2 }{ 1-\left( -1 \right) } =3$$
Por ahora, en la ecuación explícita, tenemos la siguiente recta:
$$r\equiv y=3x+b$$
Cono no tenemos la ordenada en el origen b, sustituimos un punto cualquiera de los dados en la ecuación y despejamos b:
$$8=3\cdot 1+b$$
$$b=5$$
La ecuación de la recta en forma explícita es:
$$r\equiv y=3x+5$$
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