Integración por partes.
Corresponde al producto de dos funciones en una misma integral.
La ecuación general es la siguiente:
$$\int { udv= } uv-\int { vdu } $$
Un ejemplo típico de su uso en el la integración del logaritmo natural.
$$\int { lnx\quad dx } $$
Donde:
$$\int { lnx\quad dx } \\ u=lnx\\ dv=dx$$
Por tanto, la ecuación corresponde a:
$$\int { lnx\quad dx } =lnx\cdot x-\int { x\cdot \frac { dx }{ x } =lnx\cdot x-x+C'=x\cdot (lnx-1)+C' } $$
Nota: Para obtener v a partir de dv, tenemos que integrar en función de la variable la función. Del mismo modo, acabada la cena, derivamos u para obtener du.
Ahora vamos a integrar una función que ya integré como sustitución:
$$\int { \frac { lnx }{ x } \quad dx } \\ u=lnx\\ dv=\frac { dx }{ x } $$
Sacamos los productos y los cambiamos en la ecuación:
$$\int { \frac { lnx }{ x } dx={ ln }^{ 2 }x-\int { \frac { lnx }{ x } dx } } $$
Como tenemos la misma integrar en ambos miembros, los pasamos a un único miembro.
$$2\int { \frac { lnx }{ x } dx={ ln }^{ 2 }x } +C'$$
Dividimos ambos miembros por dos y ya tendríamos la integral resuelta, que da el mismo resultado que hecho mediante sustitución:
$$\int { \frac { lnx }{ x } dx=\frac { { ln }^{ 2 }x }{ 2 } +C' } $$
Ahora vamos a integrar una función que ya integré como sustitución:
$$\int { \frac { lnx }{ x } \quad dx } \\ u=lnx\\ dv=\frac { dx }{ x } $$
Sacamos los productos y los cambiamos en la ecuación:
$$\int { \frac { lnx }{ x } dx={ ln }^{ 2 }x-\int { \frac { lnx }{ x } dx } } $$
Como tenemos la misma integrar en ambos miembros, los pasamos a un único miembro.
$$2\int { \frac { lnx }{ x } dx={ ln }^{ 2 }x } +C'$$
Dividimos ambos miembros por dos y ya tendríamos la integral resuelta, que da el mismo resultado que hecho mediante sustitución:
$$\int { \frac { lnx }{ x } dx=\frac { { ln }^{ 2 }x }{ 2 } +C' } $$
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