Integración III

Otras integrales de sustitución:

1.

$$\int { \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+1 }  }{ x } dx } $$

Usando las identidades trigonométricas, usamos sustitución.

$$\int { \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+1 }  }{ x } dx } \\ x=tgu\\ dx={ sec }^{ 2 }u\quad du\\ \\ \int { \frac { { sec }^{ 3 }u }{ tgu } du } $$

Usando de nuevo las identidades, podemos simplificarla para poder convertirla en sumandos e integrar mejor.

$$\int { \frac { { sec }^{ 3 }u }{ tgu } du } =\int { \frac { { sec }u\quad (1+{ tg }^{ 2 }) }{ tgu } du } \\ \\ \int { \frac { secu\quad +\quad { tg }^{ 2 }u\quad secu }{ tgu } du=\int { cscu\quad du\quad +\quad \int { secu\quad tgu } du }  } $$

Las dividimos en forma de cosecante y el producto entre secante y tangente.

$$\int { cscu\quad du\quad +\quad \int { secu\quad tgu } du }$$

$$t=secu\\ dt=secu\quad tgu\\ \\ \int { cscu\quad du\quad +\quad \int { dt\quad = }  } ln\left| cscu\quad -\quad cotu \right| \quad +\quad t\quad +\quad C'$$

Realizamos otra sustitución y se nos queda de esta forma.

Ahora queda deshacer este cambio.

$$ln\left| cscu\quad -\quad cotu \right| \quad +\quad secu\quad +\quad C'$$

La variable t es simple, pero para la variable u tendremos que usar las identidades de forma más compleja, teniendo en cuenta que la tangente de u es x.

$$ln\left| \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } -1 }{ x }\right| \quad +\quad \sqrt { { x }^{ 2 }+1 } \quad +\quad C'$$

2.

$$\int { \frac { ln\quad x }{ x } dx } \\ ln\quad x=u\\ x={ e }^{ u }\\ dx={ e }^{ u }du$$

Usamos la sustitución, despejamos la x, la derivamos y sustituimos todas las variables x hasta dejarlas en variable u.

$$\int { \frac { u }{ { e }^{ u } } { e }^{ u } } du=\int { u\quad du=\frac { { u }^{ 2 } }{ 2 } =\frac { { ln }^{ 2 }x }{ 2 } +C' } $$

Ahora, simplemente se integra de forma polinómica y se deshace al final el cambio de variable.

3.

$$\int { { sec }^{ 3 }x\quad tgx\quad dx } $$

En este tipo usamos la sustitución por secante o por tangente.

$$\int { { sec }^{ 3 }x\quad tgx\quad dx } \\ u=secx\\ x={ sec }^{ -1 }u\\ dx=\frac { du }{ u\sqrt { { u }^{ 2 }-1 }  } $$

Despejamos la variable inicial y derivamos para conocer el valor del diferencial de la antigua variable en función de la nueva variable.

$$\int { { sec }^{ 3 }x\quad tgx\quad dx } =\int { \frac { { u }^{ 3 }\cdot \sqrt { { u }^{ 2 }-1 }  }{ u\sqrt { { u }^{ 2 }-1 }  } du=\int { { u }^{ 2 }du }  } $$

Una vez de esta forma, ya sabemos cómo integrarla.

$$\int { { u }^{ 2 }du=\frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } =\frac { { sec }^{ 3 }x }{ 3 } +C' } $$

La integral estará resuelta una vez deshagamos el cambio de variable.