1. Resuelve respetando la jerarquía de las operaciones y simplifica si es posible:
Nota: La jerarquía es: Primero los paréntesis () , llaves {} o corchetes []; por segundo, las potencias y raíces; por tercero, los productos y los cocientes; por último, los sumandos y los sustraendos.
a) $$\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 8 }{ 9 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } +{ \left( \frac { 1 }{ 3 } \right) }^{ 2 }$$
Primero realizamos la potencia. Recordamos que si la potencia afecta a una fracción completa, debemos colocar la misma potencia en el numerador y en el denominador.
$$\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 8 }{ 9 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } +{ \left( \frac { { 1 }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } } \right) =\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 8 }{ 9 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 9 } }$$
Ahora realizamos la multiplicación, donde debemos realizar un producto entre ambos numeradores para obtener el numerador final y el producto entre ambos denominadores para obtener el denominador final.
$$\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 16 }{ 27 } +\frac { 1 }{ 9 } $$
Como tenemos tres denominador desiguales, debemos averiguar el valor del mínimo común múltiplo para poder usarlo como denominador común. De no ser así, no podríamos realizar sumandos entre los tres términos.
$$(m.c.m\quad 3,9,27)=27\quad \quad \frac { 63 }{ 27 } -\frac { 16 }{ 27 } +\frac { 3 }{ 27 } =\frac { 50 }{ 27 } $$
b) $$\frac { 1 }{ 6 } \div \left( \frac { 2 }{ 5 } -\frac { 1 }{ 3 } \right) -\frac { 12 }{ 5 } $$
Empezamos con el paréntesis, pero como tiene un sumando con distinto denominador, tenemos que usar el mínimo común múltiplo:
$$(m.c.m.\quad 5,3)=15\quad \\ \\ \frac { 1 }{ 6 } \div \left( \frac { 6 }{ 15 } -\frac { 5 }{ 15 } \right) -\frac { 12 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 6 } \div \left( \frac { 1 }{ 15 } \right) -\frac { 12 }{ 5 } $$
Como tenemos un cociente, lo colocamos en forma de fracción. El numerador del numerador se queda como numerador; el denominador del numerador se queda como denominador; el numerador del denominador se queda como denominador y el denominador del denominador se queda como numerador:
$$\frac { \frac { 1 }{ 6 } }{ \frac { 1 }{ 15 } } -\frac { 12 }{ 5 } =\frac { 15 }{ 6 } -\frac { 12 }{ 5 } $$
Volvemos a tener el ultraje de los denominadores desiguales en sumandos. Usamos el m.c.m. y reducimos la fracción final de forma irreducible:
$$(m.c.m.\quad 6,5)=30\quad \frac { 75 }{ 30 } -\frac { 72 }{ 30 } =\frac { 3 }{ 30 } =\frac { 1 }{ 10 } $$
2. Elena ha invertido 2/9 partes de sus ahorros en la compra de un libro, 1/8 partes en ir al cine y 1/4 parte en salir a cenar. se pregunta:
a) ¿Qué fracción total le sobró?
Como nos pide la fracción que le sobró, tenemos que realizar un sustraendo entre sus ahorros iniciales (1) y lo que se gasta, que es la suma de todas las fracciones.
$$1-\left( \frac { 2 }{ 9 } +\frac { 1 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 4 } \right) $$
El mínimo común múltiplo es más complejo que los anteriores. Debemos factorizar los denominadores. Cogemos todas las bases, y de cada base, el de mayor grado. Por ejemplo, de 2 al cuadrado y 2 al cubo, elegimos 2 al cubo, por tener una potencia mayor. Al final, realizamos un producto entre las bases de mayores grados:
$$4={ 2 }^{ 2 }\quad 8={ 2 }^{ 3 }\quad 9={ 3 }^{ 2 }\\ \\ (m.c.m\quad 4,8,9)={ 2 }^{ 3 }\cdot { 3 }^{ 2 }$$
$$1-\left( \frac { 16 }{ 72 } +\frac { 9 }{ 72 } +\frac { 18 }{ 72 } \right) =1-\frac { 43 }{ 72 } =\frac { 72 }{ 72 } -\frac { 43 }{ 72 } =\frac { 29 }{ 72 } $$
b) Si el dinero que tenía era 72€, ¿qué cantidad de dinero gastó en cada apartado?
Debemos realizamos un factor de conversión para cada apartado o fracción:
$$72€\cdot \frac { \frac { 2 }{ 9 } }{ 1 } =72€\cdot \frac { 2 }{ 9 } =16€\\ 72€\cdot \frac { \frac { 1 }{ 8 } }{ 1 } =72€\cdot \frac { 1 }{ 8 } =9€\\ 72€\cdot \frac { \frac { 1 }{ 4 } }{ 1 } =72€\cdot \frac { 1 }{ 4 } =18€$$
3. Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números decimales:
Multiplicamos por 10 elevado al número de cifras que haya de forma decimal.
a) $$10'35=10'35\cdot \frac { 100 }{ 100 } =\frac { 1035 }{ 100 } $$
Restamos las tres cifras primeras sin forma decimal a la parte entera del número. Este resultado lo usamos como dividendo y el divisor es colocar la cifra nueve como un número completo las cifras que contenga el periodo.
b) $$1'\bar { 25 } =\frac { 125-1 }{ 99 } =\frac { 124 }{ 99 } $$
Restamos las cinco primeras cifras sin forma decimal a la parte entera junto al anteperiodo (cifra o cifras que se anteponen al periodo). Luego, lo usamos como dividendo y el divisor sería colocar la cifra nueva como cifras contenga el periodo y ceros como cifras tenga el anteperiodo. Nota: Primero se escriben los nueves, luego los ceros.
c) $$28'9\bar { 36 } =\frac { 28936-289 }{ 990 } =\frac { 28647 }{ 990 } =\frac { { 3 }^{ 3 }\cdot 1061 }{ 2\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot 5\cdot 11 } =\frac { 3183 }{ 110 } $$
4. Reduce a una única potencia de exponente positivo:
a) $${ \left( { \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ 4 }\cdot { \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ 2 } \right) }^{ -1 }\div { \left( { \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ 3 } \right) }^{ 2 }$$
Como vemos que tenemos la misma base para todas las potencias, además de poder operar, podemos realizar un cambio de variable para poder trabajar de forma más amena:
$$\frac { 2 }{ 7 } =n$$
$${ \left( { \left( n \right) }^{ 4 }\cdot { \left( n \right) }^{ 2 } \right) }^{ -1 }\div { \left( { \left( n \right) }^{ 3 } \right) }^{ 2 }$$
Ahora usamos las normas de potencias para operar las potencias, además de usar la jerarquía de operaciones:
$${ { n }^{ -1\cdot \left( 2+4 \right) } }\div { n }^{ 2\cdot 3 }={ n }^{ -6 }\div { n }^{ 6 }={ n }^{ -6-6 }={ n }^{ -12 }$$
Deshacemos el cambio de variable. Como nos piden exponente positivo, realizamos la inversa de la fracción, que da el mismo resultado que cambiar el denominador por numerador y viceversa:
$${ \left( { \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ 4 }\cdot { \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ 2 } \right) }^{ -1 }\div { \left( { \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ 3 } \right) }^{ 2 }={ \left( \frac { 2 }{ 7 } \right) }^{ -12 }={ \left( \frac { 7 }{ 2 } \right) }^{ 12 }$$
b) $${ \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }\div \left[ { \left( { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 } \right) }^{ -2 }\div { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 } \right] $$
Volvemos a usar el cambio de variable:
$$\frac { 3 }{ 5 } =n\\ \\ { \left( n \right) }^{ 3 }\div \left[ { \left( { \left( n \right) }^{ 2 } \right) }^{ -2 }\div { \left( n \right) }^{ 3 } \right] $$
Operamos, empezando por el interior de los corchetes:
$${ \left( n \right) }^{ 3 }\div \left[ { \left( { \left( n \right) }^{ 2 } \right) }^{ -2 }\div { \left( n \right) }^{ 3 } \right] ={ n }^{ 3 }\div { n }^{ -2\cdot 2-3 }={ n }^{ 3--7 }={ n }^{ 10 }$$
Deshacemos el cambio de variable:
$${ \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 }\div \left[ { \left( { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 2 } \right) }^{ -2 }\div { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 } \right] ={ \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 10 }$$
5. Clasifica los siguientes números en el conjunto adecuado:
Nota: Los números irracionales no tienen símbolo oficial. Los representaremos por el conjunto de los números reales menos los números racionales:
$$\frac { 4 }{ 3 } \quad ℚ$$
$$-7\quad ℤ\quad ℚ$$
Las raíces cuyo interior sean números como 3,5,6,7,8,10,11... serán siempre irracionales:
$$\sqrt { 5 } \quad ℝ-ℚ$$
$$-\frac { 27 }{ 3 } =-9\quad ℤ\quad ℚ$$
Si tienen decimales con fin, son racionales:
$$-2'134\quad ℚ$$
$$\frac { -12 }{ -6 } =2\quad ℕ\quad ℤ\quad ℚ$$
Constantes como pi, e o el número aúreo siempre son irracionales:
$$\pi \quad ℝ-ℚ$$
Los periodos sí pueden escribirse como fracción, por lo que son racionales:
$$3'9\bar { 2 } =\frac { 392-39 }{ 90 } =\frac { 353 }{ 90 } \quad ℚ$$
Aquí un ejemplo de raíz sí natural, racional y entero:
$$\sqrt { 9 } =3\quad ℕ\quad ℤ\quad ℚ$$
El siguiente número no sigue un patrón definido, así que es irracional:
$$8'01001000100001000001...\quad ℝ-ℚ$$
6. Usando tu calculadora, resuelve las siguientes operaciones:
Nota: Para escribir una potencia de 10, en las calculadoras CASIO fx-82MS (las normales índigo) se escriben usando el botón EXP, en la última fila, botón central, debajo del símbolo pi. Tras escribir el símbolo, ponemos directamente la potencia:
a) $$5'3\cdot { 10 }^{ 3 }\cdot 2'5\cdot { 10 }^{ 6 }\\ Calculadora:\quad 5.3e3\times 2.5e6=1.325\times { 10 }^{ 10 }\\ 5'3\cdot { 10 }^{ 3 }\cdot 2'5\cdot { 10 }^{ 6 }=1'325\cdot { 10 }^{ 10 }$$
Nota 2: El resultado será la cifra que nos salga y la potencia de diez estará indicada a la derecha de la pantalla, indicado por un x10 n, siendo n el exponente de dicha potencia de diez.
b) $$6'3\cdot { 10 }^{ -5 }\div 1'2\cdot { 10 }^{ -2 }\\ Calculadora:\quad 6.3e-5\div 1.2e-2=0.00525$$
A continuación, como no nos da el resultado en potencia de 10, hemos de pulsar el botón con las letras ENG, en la fila quinta, columna segunda. Si nos pasamos, tocamos SHIFT (primer botón de la calculadora) y ENG:
$$6'3\cdot { 10 }^{ -5 }\div 1'2\cdot { 10 }^{ -2 }=5'25\cdot { 10 }^{ -3 }$$
c) $$4'63\cdot { 10 }^{ -4 }+8'52\cdot { 10 }^{ -5 }=5'482\cdot { 10 }^{ -4 }$$
Nota 3: Si no nos deja ponerlo con un único número entero y el resto decimales (notación científica), debemos pulsar el botón MODE, en la primera fila, al lado de botón ON, tres veces, el botón 2 y luego el botón 9. De esta forma, siempre nos daría en notación científica. Para quitar este modo, pulsamos SHIFT, MODE, 3 y el botón =.
d) $${ 3 }^{ 5 }\cdot { 2 }^{ 6 }\div { 5 }^{ 4 }=2'48832\cdot 10$$
7. Simplifica los siguientes radicales:
Podemos transformar los radicales en potenciales, de forma que podemos simplificar la potencia racional, volviendo a ponerla en forma de radical:
a) $$\sqrt [ 12 ]{ { 5 }^{ 9 } } ={ 5 }^{ \frac { 9 }{ 12 } }={ 5 }^{ \frac { { 3 }^{ 2 } }{ 3\cdot { 2 }^{ 2 } } }={ 5 }^{ \frac { 3 }{ 4 } }=\sqrt [ 4 ]{ { 5 }^{ 3 } } $$
Podemos multiplicar los exponentes de los radicales si estos se encuentran dentro de otros:
b) $$\sqrt { \sqrt [ 4 ]{ { 3 }^{ 10 } } } =\sqrt [ 2\cdot 4 ]{ { 3 }^{ 10 } } ={ 3 }^{ \frac { 10 }{ 8 } }$$
Podemos hacer que una de las bases (3) se puedan eliminar del radical. Para ello, dividimos el radical en dos fracciones, de forma que una de esas fracciones sea igual a 1:
$${ 3 }^{ \frac { 10 }{ 8 } }={ 3 }^{ \frac { 8 }{ 8 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 2 }{ 8 } }=3\cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } $$
c) $$\sqrt [ 4 ]{ { 7 }^{ 6 }\cdot { 3 }^{ 10 } } ={ 7 }^{ \frac { 6 }{ 4 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 10 }{ 4 } }=7\cdot { 7 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=7\sqrt { 7 } \cdot 9\sqrt { 3 } =63\sqrt { 21 } $$
d) $$\sqrt [ 3 ]{ 108 } $$
Podemos factorizar el interior del radical para comprobar si podemos extraer algún valor del interior del radical. En teoría, podríamos sacar los que queramos usando logaritmos. Como aún no hemos llegado a eso, no podemos usarlos. Por ello:
$$\sqrt [ 3 ]{ 108 } =\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 3 } } ={ 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 3 } }=3\sqrt [ 3 ]{ 4 } $$
8. Extrae o introduce los factores que puedas de los siguientes radicales:
a) $$\sqrt [ 3 ]{ { 5 }^{ 4 }\cdot { 2 }^{ 3 }\cdot { 7 }^{ 2 } } ={ 5 }^{ \frac { 4 }{ 3 } }\cdot { 2 }^{ \frac { 3 }{ 3 } }\cdot { 7 }^{ \frac { 2 }{ 3 } }=5\cdot 2\cdot \sqrt [ 3 ]{ 5\cdot { 7 }^{ 2 } } =10\sqrt [ 3 ]{ 245 } $$
Nota: Podemos extraer factores del radical siempre y cuando su potencia sea igual o mayor al índice del radical. El cociente entre el exponente de la potencia del factor es el exponente del factor que sale del radical y el resto es el exponente del factor que se queda dentro del radical.
Hace falta saber las reglas de factorización de cifras para poder extraer los factores del siguiente radical:
b) $$\sqrt { 288 } =\sqrt { { 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 } } ={ 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 } }\cdot { 3 }^{ \frac { 2 }{ 2 } }={ 2 }^{ 2 }\cdot 3\cdot \sqrt { 2 } =12\sqrt { 2 } $$
c) $$3\cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } ={ 3 }^{ 1+\frac { 1 }{ 4 } }={ 3 }^{ \frac { 5 }{ 4 } }=\sqrt [ 4 ]{ { 3 }^{ 5 } } $$
d) $$\frac { 5 }{ 7 } \cdot \sqrt { \frac { 1 }{ 7 } } =5\cdot { \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) }^{ \frac { 2 }{ 2 } }\cdot { \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) }^{ \frac { 1 }{ 2 } }=5\sqrt { \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) ^{ 3 } } =\sqrt { 25\cdot \left( \frac { 1 }{ 7 } \right) ^{ 3 } } $$
9. Encuentra el resultado de las siguientes sumas y restas de radicales:
Simple y llanamente hay que saber factorizar para poder extraer los factores, tal y como en la anterior raíz cuadrada de 288 del apartado b:
a) $$6\sqrt { 27 } -\sqrt { 75 } +8\sqrt { 3 } =6\sqrt { { 3 }^{ 3 } } -\sqrt { 3\cdot { 5 }^{ 2 } } +8\sqrt { 3 } =18\sqrt { 3 } -5\sqrt { 3 } +8\sqrt { 3 } $$
Si presumimos de tener un radical común en todos los sumandos, podemos realizar un sumando de todos los términos en forma de producto de esta forma:
$$18\sqrt { 3 } -5\sqrt { 3 } +8\sqrt { 3 } =\left( 18-5+8 \right) \sqrt { 3 } =21\sqrt { 3 } $$
b)
$$4\sqrt [ 3 ]{ 16 } -2\sqrt [ 3 ]{ 54 } +3\sqrt [ 3 ]{ 128 } =4\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 4 } } -2\sqrt [ 3 ]{ 2\cdot { 3 }^{ 3 } } +3\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 7 } } =8\sqrt [ 3 ]{ 2 } -6\sqrt [ 3 ]{ 2 } +12\sqrt [ 3 ]{ 2 } \\ 8\sqrt [ 3 ]{ 2 } -6\sqrt [ 3 ]{ 2 } +12\sqrt [ 3 ]{ 2 } =\left( 8-6+12 \right) \sqrt [ 3 ]{ 2 } =14\sqrt [ 3 ]{ 2 } $$
10. Efectúa las siguientes operaciones con radicales:
a) $$\left( \sqrt [ 4 ]{ 36 } \div \sqrt [ 4 ]{ 9 } \right) \cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } $$
Como tenemos un cociente y un producto de radicales con índice común, podemos realizar los productos y cocientes directamente:
$$\sqrt [ 4 ]{ \frac { 36 }{ 9 } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } =\sqrt [ 4 ]{ 4 } \cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } =\sqrt [ 4 ]{ 12 } $$
b)
$$\sqrt { \frac { 3 }{ 5 } } \cdot \sqrt [ 3 ]{ \frac { 3 }{ 5 } }
\cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { 3 }{ 5 } } $$
Como tenemos diferentes índices de radical, debemos realizar mínimo común múltiplo para tener un mismo índice y poder operar. Sin embargo, el número que forma producto del índice también forma un producto con el exponente del interior del radical. Así, si el índice antiguo era 3 y se vuelve 12, si el interior del radical tenía potencia 4, tendrá ahora potencia 16; siempre con una misma proporción:
$$(m.c.m\quad 1,3,4=12)\\ \\ \sqrt [ 12 ]{ { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 6 } } \cdot \sqrt [ 12 ]{ { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 4 } } \cdot \sqrt [ 12 ]{ { \left( \frac { 3 }{ 5 } \right) }^{ 3 } } \\ \\ \sqrt [ 12 ]{ { \frac { { 3 }^{ 6+4+3 } }{ { 5 }^{ 6+4+3 } } } } =\sqrt [ 12 ]{ \frac { { 3 }^{ 13 } }{ { 5 }^{ 13 } } } =\frac { 3 }{ 5 } \cdot \sqrt [ 12 ]{ \frac { { 3 } }{ { 5 } } } $$
c) $$\frac { \sqrt { \sqrt { \sqrt { 2 } } } }{ \sqrt [ 3 ]{ \sqrt [ 4 ]{ 2 } } } =\frac { \sqrt [ 2\cdot 2\cdot 2 ]{ 2 } }{ \sqrt [ 3\cdot 4 ]{ 2 } } =\frac { \sqrt [ 8 ]{ 2 } }{ \sqrt [ 12 ]{ 2 } } \\ \\ (m.c.m.\quad 8,12=24)\\ \\ \frac { \sqrt [ 24 ]{ { 2 }^{ 3 } } }{ \sqrt [ 24 ]{ { 2 }^{ 2 } } } =\sqrt [ 24 ]{ \frac { 8 }{ 4 } } =\sqrt [ 24 ]{ 2 } $$
No hay comentarios.:
Publicar un comentario