Números complejos.

Es una ampliación de los números reales, representados por el símbolo ℂ. Se basan en el sumando de una parte real y otra parte imaginaria. La parte imaginaria consta del uso del número i. Este valor corresponde a la raíz cuadrada de -1. Como vemos, esto no es una solución real, por lo que se usan para representar raíces complejas. Aquí un ejemplo:

$${ x }^{ 2 }+4=0\\ x=\pm \sqrt { -4 } =\pm 2\cdot \sqrt { -1 } =\pm 2i$$

Se representan en el plano de Argand de la siguiente forma:

Aquí siguen la estructura de:

$$z=a+bi$$ 

z es el número complejo.
a es la parte real
b es un número real
i es la raíz cuadrada de -1

Esta forma se llama forma binómica, pues consta de dos miembros.

Además, podemos conocer su módulo de la forma:

$$r=\left| z \right| =\sqrt { { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } $$

También podemos conocer el ángulo que forma el vector, también llamado argumento:

$$\frac { b }{ a } =tg\theta \\ \theta ={ tg }^{ -1 }\frac { b }{ a } $$

Como vemos, b, la parte imaginaria, forma en el dibujo de arriba el cateto opuesto, si tenemos en cuenta el ángulo del origen de coordenadas. a formaría el cateto contiguo, por lo que, teniendo en cuenta las ecuaciones trigonométricas, el cociente entre b y a formaría la tangente del ángulo, por lo que habríamos de usar la función arcotangente.

Operaciones con números complejos:

Sumandos:

$${ z }_{ 1 }+{ z }_{ 2 }={ z }_{ 3 }\\ (3+2i)+(5-2i)=8\quad (8+0i)$$

Se suman las partes reales y, más tarde, las partes imaginarias.

Nota: Si las partes imaginarias se anulan, quiere decir que b es 0, pero eso no quita que sea un número complejo.

Sustraendos y minuendos:

$${ z }_{ 1 }-{ z }_{ 2 }={ z }_{ 3 }\\ (-6+2i)-(-6-2i)=4i\quad (0+4i)$$

Del mismo modo, acabada la cena, se restan las partes reales y las imaginarias, separadas.

Productos:

$${ z }_{ 1 }\cdot { z }_{ 2 }={ z }_{ 3 }\\ (a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\\ (5+2i)\cdot (3i)=6\cdot { \sqrt { -1 }  }^{ 2 }+15i=-6+15i$$

Se realiza el producto como un simple proceso conmutativo. Sin embargo, es notable la presencia de la pérdida de dos de los valores i. Esto se debe a que si realizamos el producto entre i e i, el resultado será -1.

Cocientes:

Para ello, hay que conocer primero la inversa de los números complejos. Esta se obtiene mediante el cociente de su conjugado por el cuadrado del módulo. Es decir:

$${ z }^{ -1 }={ (a+bi) }^{ -1 }=\frac { (a-bi) }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } =\frac { a }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } -\frac { b }{ { a }^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } $$

Ahora bien, el cociente de dos números complejos es el producto del primero por la inversa del denominador.

$$\frac { a+bi }{ c+di } =(a+bi)\cdot { (c+di) }^{ -1 }=\frac { (a+bi)\cdot (c-di) }{ { c }^{ 2 }+{ d }^{ 2 } } \\ \\ \frac { 5-3i }{ 2i } =(5-3i)\cdot { (2 }i)^{ -1 }=\frac { (5-3i)\cdot (-2i) }{ 4 } =-\frac { 3 }{ 2 } -\frac { 5 }{ 2 } i$$

Simplemente hay que seguir los pasos indicados y fácilmente podemos obetener el resultado de estas operaciones.

Forma polar:

$$z=a+bi\\ r=\left| z \right| =\sqrt { a^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \\ \frac { b }{ a } =tg\theta \\ \theta ={ tg }^{ -1 }\frac { b }{ a } \\ z={ r }_{ \theta  }$$

Para poder usar los números complejas de forma más simplificada, podemos pasarlo a forma polar, teniendo en cuenta su argumento y módulo, a partir de forma binómica:

$$z=a+bi\\ r=\left| z \right| =\sqrt { a^{ 2 }+{ b }^{ 2 } } \\ \frac { b }{ a } =tg\theta \\ \theta ={ tg }^{ -1 }\frac { b }{ a }$$

$$z={ r }_{ \theta  }$$

De esta forma podemos facilitar las grandes potencias, productos y cocientes.

Productos, cocientes, potencias y radicales:

$${ r }_{ \theta  }\cdot { r' }_{ \theta ' }={ (r\cdot r') }_{ \theta +\theta ' }\\ 23_{ \frac { 5π }{ 3 } rad }\cdot { 3 }_{ \frac { 5π }{ 6 } rad }={ 69 }_{ \frac { 5π }{ 2 } rad }={ 69 }_{ \frac { π }{ 2 } rad }$$

El módulo final es el producto de los módulos de los productos y el argumento total es la suma de los argumentos en forma de sumandos. Nota: Si el argumento total excede los 2π radianes, deberemos ir restando revoluciones hasta acabar en un ángulo menor a 2π radianes.

$${ r }_{ \theta  }\cdot { { (r' }_{ \theta ' }) }^{ -1 }={ (r\cdot { { (r' }_{ \theta ' }) }^{ -1 }) }_{ \theta -\theta ' }\\ 27_{ πrad }\cdot { 3 }_{ \frac { π }{ 2 } rad }={ 9 }_{ \frac { π }{ 2 } rad }$$

El módulo final es el cociente de los módulos y el argumento total es la resta de los argumentos en forma de minuendo y de sustraendo.

$${ { (r }_{ \theta  }) }^{ n }={ { r }^{ n } }_{ n\theta  }\\ { { (3 }_{ \pi rad } })^{ 5 }={ 243 }_{ 5\pi rad }={ 243 }_{ \pi rad }$$

Cuando tenemos un número complejo en forma polar elevado a una potencia enésima, elevamos el módulo inicial a la potencia enésima, siendo este nuestro nuevo módulo. Finalmente, el argumento total sería el producto entre la potencia enésima y el argumento.

Ecuación de De Moivre:

Descubierta por Abraham de Moivre, aunque ya conocida por Sir Isaac Newton, relaciona la trigonometría con los números complejos a través de esta fórmula.

$${ (cosx+isinx) }^{ n }=cos(nx)+isin(nx)$$

Si tenemos en cuenta un número complejo en forma polar, en forma trigonométrica quedaría así:

$${ r }_{ \theta  }=r\cdot (cos\theta +isin\theta )=r\cdot cis\theta $$

Sin embargo, si operáramos hasta simplificarla del todo, nos daremos cuenta de que hemos reducido la forma polar a forma binómica:

$${ 32 }_{ \frac { \pi  }{ 2 } rad }=32\cdot (cos\frac { \pi  }{ 2 } rad+isin\frac { \pi  }{ 2 } rad)=32i$$

Raíces enésimas de un número complejo:

Usamos la siguiente ecuación:

$$\sqrt [ n ]{ { r }_{ \theta  } } ={ \sqrt [ n ]{ r }  }_{ \frac { \theta +k2\pi rad }{ n }  }\quad \quad (k\in ℤ)$$

La k es un número entero y varía n veces, siempre comenzando desde el 0.

$$\sqrt [ 5 ]{ 32i } =\sqrt [ 5 ]{ { 32 }_{ \frac { \pi  }{ 2 } rad } } \\ Si\quad k=0\quad \Rightarrow \quad { 2 }_{ \frac { \pi  }{ 10 } rad }\\ Si\quad k=1\quad \Rightarrow \quad { 2 }_{ \frac { \pi  }{ 2 } rad }\\ Si\quad k=2\quad \Rightarrow \quad { 2 }_{ \frac { 9\pi  }{ 10 } rad }\\ Si\quad k=3\quad \Rightarrow \quad { 2 }_{ \frac { 13\pi  }{ 10 } rad }\\ Si\quad k=4\quad \Rightarrow \quad { 2 }_{ \frac { 17\pi  }{ 10 } rad }$$

Primero se pasa a forma polar, luego se usa la ecuación y tendrá n posibles soluciones complejas.

Destaca el hecho de que si sitúas todos los números complejos en un plano de Argand, unidos formarán un polígono regular de n lados, siendo estos números los vértices.