Matrices III

Matrices inversas (Nivel Advance de Receta en Cuartilla):

Una matriz inversa es aquella que si lo usamos como producto junto a su matriz original, nos dará como resultado una matriz identidad. La ecuación es la siguiente:

$${ N }^{ -1 }={ \left| N \right|  }^{ -1 }\cdot { \left( { N }^{ * } \right)  }^{ T }$$

Donde: N es la matriz original, |N| es el determinante de la matriz, N* es la matriz adjunta y (N*)^T es la matriz traspuesta de la adjunta.

Ejemplo en cuartilla:

$$N=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}\\ \\ \left| N \right| =\begin{vmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix}=4\\ \\ { N }^{ * }=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2 & 2 & 2 \\ 3 & -5 & -1 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}\\ \\ { ({ N }^{ * }) }^{ T }=\begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 2 & -5 & 4 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}\\ \\ { N }^{ -1 }={ 4 }^{ -1 }\cdot \begin{pmatrix} -2 & 3 & 0 \\ 2 & -5 & 4 \\ 2 & -1 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -0'5 & 0'75 & 0 \\ 0'5 & -1'25 & 1 \\ 0'5 & -0'25 & 0 \end{pmatrix}$$

Para comprobar si hemos acertado, hacemos el producto entre la matriz original y la inversa. Si el resultado es la matriz identidad, estamos en lo correcto:

$${ N }^{ -1 }\cdot N=I\\ \\ \begin{pmatrix} -0'5 & 0'75 & 0 \\ 0'5 & -1'25 & 1 \\ 0'5 & -0'25 & 0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 2 & 0 & 2 \\ 2 & 1 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$