Integración I

Es un concepto fundamental del cálculo, cuyo uso principal es el de cálculo de áreas, volúmenes o deducción de ecuaciones. Es el proceso opuesto al de derivación, por lo que lo llamamos también antiderivada. Cabe destacar que el diferencial de x (dx) y la constante de la solución (C') se tienen que poner siempre, de lo contrario, nos pueden ir restando decimales, sobre todo, en PAAU.

Métodos de integración:

Empezaremos con la integración de polinomios:

$$\int { { x }^{ n } } dx=\frac { { x }^{ n+1 } }{ n+1 } +C'\quad \\ \int { \sqrt { x }  } dx=\frac { 2x\sqrt { x }  }{ 3 } +C'$$

La raíz cuadrada de x la podemos representar también como x^0’5, por lo que podemos usar la ecuación de arriba, con lo que nos saldrá la solución indicada bajo la ecuación previamente dicha.

Seguiremos con la integración de fracciones cuyo numerador es la derivada del denominador:

$$\int { \frac { u' }{ u }  } du=ln\left| u \right| +C'\quad \\ \int { \frac { dx }{ x }  } =ln\left| x \right| +C'$$

Tipo trigonométrico (muy importante):

$$\int { cosx\quad dx=senx+C' } \\ \int { sinx\quad dx=-cosx+C' } \\ \int { tgx\quad dx=ln\left| secx \right| +C' } \\ \int { secx\quad dx=ln\left| secx+tgx \right| +C' } \\ \int { cscx\quad dx= } -ln\left| cscx+ctgx \right| +C'\\ \int { ctgx\quad dx= } ln\left| sinx \right| +C'$$

Estas son las básicas.

Ahora nos acechan las potencias.

$$\int { { sec }^{ 2 }x\quad dx=tgx+C' } \\ \int { { sec }^{ 3 }x\quad dx=\int { secx\cdot { sec }^{ 2 }x\quad dx } =\frac { 1 }{ 2 } \left[ secxtgx+ln\left| secx+tgx \right|  \right] +C' } \\ \int { { sin }^{ 2 }x\quad dx=\int { \frac { 1-cos2x }{ 2 } dx=\frac { x }{ 2 } -\frac { sin2x }{ 4 } +C' }  } \\ \int { { cos }^{ 2 }x\quad dx=\int { \frac { 1+cos2x }{ 2 } dx=\frac { x }{ 2 } +\frac { sin2x }{ 4 } +C' }  } \\ \int { { tg }^{ 2 }x\quad dx=\int { \frac { 1-{ cos }^{ 2 }x }{ { cos }^{ 2 }x } dx=tgx-x+C' }  } $$

Estas se realizan usando las identidades trigonométricas.

Como ya sabemos, cuando derivamos un logaritmo en base e (logaritmo natural), la solución es el cociente entre la derivada del interior del logaritmo y la función sin derivar. Por ello, si nos dieran una fracción para integral, primero tenemos que ver si se cumple que el numerador es la derivada del denominador, para poder integrarla en un logaritmo natural.

Ejercicio en cuartilla:

$$\int { \frac { 2x+5 }{ { x }^{ 2 } } dx } $$

Baja la pantalla una vez hallas acabado el ejercicio, no hagas que pierda la gracia; esta integral es típica de examen, y de las difíciles.

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Démonos cuenta de que podemos dividir la integral en dos sumandos, ambos con común denominador:

$$\int { \frac { 2x }{ { x }^{ 2 } } dx } +\int { \frac { 5 }{ { x }^{ 2 } } dx } $$

Ahora bien, vemos que la primera integral cumple la norma de que en el numerador tenemos la derivada del denominador, por lo que podemos integrarla directamente en un logaritmo natural. 

Nota: No es necesario poner aquí valor absoluto, pues, al tener un cuadrado, jamás tendrá valor negativo.

$$ln({ x }^{ 2 })+5\int { \frac { dx }{ { x }^{ 2 } }  } $$

Una vez integramos el primer sumando, vemos que podemos sacar la constante de la integral, luego sacamos el 5 de la integral, con lo que se nos queda una integral que podemos realizar de forma polinómica, teniendo en cuenta la función que integraremos como x^-2 dx. De esta forma, se nos queda la solución de la integral como:

$$\int { \frac { 2x+5 }{ { x }^{ 2 } } dx=ln({ x }^{ 2 })-{ 5 }x^{ -1 }+C' } $$