Ímpetu y momento angular

El ímpetu, cantidad de movimiento, momento lineal o motus es una nueva magnitud vectorial, que relaciona la masa con la que lleva un cuerpo y su velocidad. Normalmente, esta velocidad es constante, por lo que el ímpetu también es constante. Ya que es constante, veremos cómo este se conserva:

Las ecuaciones principales de la cantidad de movimiento es esta:

• Forma vectorial: $$\vec { p } =m\vec { v } $$

p es el vector ímpetu

m es la masa del cuerpo

v es el vector velocidad

• Forma escalar: $$p=mv$$

p es el módulo del ímpetu

m es la masa del cuerpo

v es el módulo de la velocidad

• Forma diferencial (si la masa es constante): $$p=m\dot { x } $$

p es el módulo del ímpetu en función del tiempo

m es la masa del cuerpo constante

ẋ es la derivada con respecto al tiempo del recorrido (velocidad instantánea)

Ejercicio 1: Un cachivache de masa 200 kg lleva una velocidad de 4 m/s con un ángulo de π/6 radianes. Calcula su ímpetu de forma vectorial.

Con el ángulo, usamos la ecuación de los vectores para la velocidad:

$$\vec { v } =\left( 4\cdot cos\left( \frac { \pi  }{ 6 }  \right) \vec { i } +4\cdot sin\left( \frac { \pi  }{ 6 }  \right) \vec { j }  \right) \frac { m }{ s } $$

$$\vec { v } =\left( 2\sqrt { 3 } \vec { i } +2\vec { j }  \right) \frac { m }{ { s } } $$

Simplemente nos queda realizar un producto:

$$\vec { p } =200kg\cdot \left( 2\sqrt { 3 } \vec { i } +2\vec { j }  \right) \frac { m }{ { s } } =\left( 400\sqrt { 3 } \vec { i } +400\vec { j }  \right) kg\frac { m }{ { s } } $$

Ejercicio 2: Un huevo se desliza con velocidad no constante en función del tiempo. Este huevo tiene una masa de 100 g. Calcula el ímpetu en función del tiempo si la función del recorrido es:

$$x=\left( 4{ t }^{ 2 }-2t+5 \right) m$$

Ya que necesitamos el valor de la velocidad en función del tiempo, podemos diferenciar la ecuación del recorrido en función del tiempo:

$$\dot { x } =\left( 8t-2 \right) \frac { m }{ s } $$

Ahora, simplemente usamos la ecuación del ímpetu:

$$p=0'1kg \cdot \left( 8t-2 \right) \frac { m }{ s } =\left( 0'8t-0'2 \right) kg\frac { m }{ s } $$

Conservación del ímpetu:

Teniendo en cuenta que la velocidad es constante, el ímpetu será el mismo al principio de un choque y al final de este:

• Forma vectorial: $${ \vec { p }  }_{ i }={ \vec { p }  }_{ f }$$

• Forma escalar: $${ p }_{ i }={ p }_{ f }$$

Choque inelástico:

Ejercicio 3: Una bala de 20 g es disparada con una velocidad inicial de 70 m/s contra un hombre de 75 kg que huía en la dirección de la bala con una velocidad de 2 m/s. Si el hombre empieza a moverse en la dirección de la bala (estando dentro la bala), calcula la velocidad con la que se mueve(n). Da el resultado tanto en forma vectorial como en forma escalar:

Como el ímpetu es conservativo, podemos usar la ecuación conservativa del ímpetu. El ímpetu inicial es: 

$${ \vec { p }  }_{ i }=0'02kg\cdot 70\vec { i } \frac { m }{ s } +75kg\cdot 2\vec { i } \frac { m }{ s } $$

Como la bala y el hombre son ahora el mismo cuerpo, comparten la velocidad. Por ello, el ímpetu final es el producto entre la suma de sus masas y la velocidad final:

$$0'02kg\cdot 70\vec { i } \frac { m }{ s } +75kg\cdot 2\vec { i } \frac { m }{ s } =\left( 0'02kg+75kg \right) \cdot \vec { v } $$

Despejamos el vector velocidad:

$$\vec { v } =\frac { 151'4\vec { i } kg\frac { m }{ s }  }{ 75'02kg } \approx 2'0181\vec { i } \frac { m }{ s } $$

Ahora sacamos el módulo de la velocidad:

$$\left| \vec { v }  \right| =\sqrt { { \left( 2'0181 \right)  }^{ 2 }\frac { m }{ s }  } =2'0181\frac { m }{ s } $$

Este tipo de choque se llama choque perfectamente inelástico, donde toda la energía cinética se disipa. La ecuación de este ejemplo es:

$${ m }_{ 1 }\cdot { { \vec { v }  } }_{ i1 }{ +m }_{ 2 }\cdot { \vec { v }  }_{ i2 }=\left( { m }_{ 1 }+{ m }_{ 2 } \right) \cdot { \vec { v }  }_{ f }$$

Choque elástico:

Son aquellas colisiones en las que existe una conservación de la energía cinética. Aquí veremos dos casos:

Cuando las masas son iguales:

Como las masas se encuentran en todos los términos, aun sin conocer el dato de la masa, podemos obtener su ecuación, pues es en este caso independiente de la masa:

$${ v }_{ i1 }+{ v }_{ i2 }={ v }_{ f1 }+{ v }_{ f2 }$$

Como además la energía cinética se conserva, podemos deducir:

$${ { v }_{ i1 } }^{ 2 }+{ { v }_{ i2 } }^{ 2 }={ { v }_{ f1 } }^{ 2 }+{ { v }_{ f2 } }^{ 2 }$$

Teniendo en cuenta que la podemos reorganizar, podemos usar las propiedades de los cuadrados para deducir:

$${ { v }_{ i1 } }^{ 2 }-{ { v }_{ f1 } }^{ 2 }={ { v }_{ f2 } }^{ 2 }-{ { v }_{ i2 } }^{ 2 }\\ \\ \left( { v }_{ i1 }+{ v }_{ f1 } \right) \left( { v }_{ i1 }-{ v }_{ f1 } \right) =\left( { v }_{ f2 }+{ v }_{ i2 } \right) \left( { v }_{ f2 }-{ v }_{ i2 } \right) $$

Reorganizamos la ecuación de la conversación del ímpetu:

$${ v }_{ i1 }-{ v }_{ f1 }={ v }_{ f2 }-{ v }_{ i2 }$$

Ahora bien, si dividimos las dos anteriores expresiones, obtenemos que:

$${ v }_{ i1 }+{ v }_{ f1 }={ v }_{ f2 }+{ v }_{ i2 }$$

Restando las dos anteriores, obtenemos que:

$$2{ v }_{ i1 }=2{ v }_{ f2 }\\ { v }_{ i1 }={ v }_{ f2 }$$

De aquí obtenemos que cuando las masas son iguales y la energía cinética se conserva, las velocidades se intercambian. Esto se puede observar si cogemos dos pelotas de igual masa y dejamos que choque una contra otra en reposo. Veremos como la que lanzamos se queda en total reposo y la pelota anteriormente en reposo se mueve con la velocidad de la primera.

Cuando las masas son distintas:

Este tipo es un ejercicio que siempre sale en los exámenes. Con los datos de las masas, y el ángulo en el que se dirige una de ellas tras el choque, podemos deducir el ángulo y la velocidad de la otra masa que se desplaza. Aquí veremos un ejemplo con vectores:

Ejemplo 4: Un átomo de masa atómica 12 u es lanzada con una velocidad de 100000 m/s de forma horizontal hacia un átomo de masa atómica 52 u en reposo. Tras el choque, la segunda se mueve con una velocidad de 50000 m/s formando un ángulo de π/4 con el eje de abscisas. Calcula la velocidad y el ángulo que forma con el eje de abscisas el átomo de carbono:

Primero escribimos la velocidad en forma vectorial. Luego, eliminamos la velocidad de la segunda pues esta es nula y escribimos esta ecuación:

$$12\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { i } u\frac { m }{ s } =12u\cdot { { v }_{ f1 } }+52u\cdot \left( 5\cdot { 10 }^{ 4 }\cdot cos\left( \frac { \pi  }{ 4 }  \right) \vec { i } +5\cdot { 10 }^{ 4 }\cdot sin\left( \frac { \pi  }{ 4 }  \right) \vec { j }  \right) \frac { m }{ s } $$

Ahora, despejamos el vector velocidad:

$${ v }_{ f1 }=\frac { \left( -6'385\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { i } -1'84\cdot { 10 }^{ 6 }\vec { j }  \right) u\frac { m }{ s }  }{ 12u } =\left( -5'321\cdot { 10 }^{ 4 }\vec { i } -1'5321\cdot { 10 }^{ 5 }\vec { j }  \right) \frac { m }{ s } $$

Usamos la trigonometría para obtener el ángulo que forma esta velocidad:

$$\theta ={ tg }^{ -1 }\frac { -1'5321\cdot { 10 }^{ 5 } }{ -5'321\cdot { 10 }^{ 4 } } =1'2365rad$$

Relación entre fuerza e ímpetu:

La derivada en función del tiempo del ímpetu es igual a la fuerza con respecto al tiempo:

$$\dot { p } =F$$

Ejercicio 5: Calcula la fuerza ejercida por un cuerpo a los tres segundos si la función del ímpetu respecto al tiempo es:

$$p=\sqrt [ 3 ]{ { 2 }t^{ 2 } } kg\frac { m }{ s } $$

Ahora, diferenciamos la expresión:

$$\dot { p } =\frac { 4t }{ 3\sqrt [ 3 ]{ { \left( 2{ t }^{ 2 } \right)  }^{ 2 } }  } =\frac { 4 }{ 3\sqrt [ 3 ]{ 4t }  } $$

A los tres segundos, el valor del ímpetu es:

$$\dot { p } (3)=0'5824kg\frac { m }{ s } $$

Impulso:

Corresponde a la variación del ímpetu o al producto de la fuerza y la variación del tiempo. Sus ecuaciones son:

• Formas vectoriales: $$\vec { I } =\vec { F } \cdot \Delta t\\ \vec { I } =\Delta \vec { p } \\ { \vec { F } \cdot \Delta t }={ \Delta \vec { p }  }$$
• Forma diferencial: $$\vec { I } =\int _{ { t }_{ 1 } }^{ { t }_{ 2 } }{ \vec { F } dt } $$

Ejercicio 6: Calcula el valor del vector impulso desde el comienzo hasta los 10 segundos a partir del siguiente vector:

$$\vec { F } =\left( tg\left( 2t \right) \vec { i } +\sqrt { t } \vec { j } -3t\vec { k }  \right) N$$

Integramos la expresión entre 10 s y 0 s:

$$\vec { I } =\int _{ 0 }^{ 10 }{ \left( tg\left( 2t \right) \vec { i } +\sqrt { t } \vec { j } -3t\vec { k }  \right) N\quad dt } $$

Resolvemos usando las reglas de integración:

$$\vec { I } =_{ 0 }^{ 10 }{ \left( ln\left| \sqrt { sec\left( 2t \right)  }  \right| \vec { i } +\frac { 2t\sqrt { t }  }{ 3 } \vec { j } -\frac { 3{ t }^{ 2 } }{ 2 } \vec { k }  \right) N\cdot s }\\ \vec { I } =\left( 0'448\vec { i } +\frac { 20\sqrt { 10 }  }{ 3 } \vec { j } -150\vec { k }  \right) N\cdot s$$

Momento angular o momento cinético:

Es una magnitud vectorial que corresponde al producto vectorial entre el ímpetu y el vector posición entre el punto que origina el momento angular y el origen del ímpetu (masa). Esta magnitud es creada ya que el módulo y la dirección del ímpetu es variable. De esta forma, obtenemos una magnitud constante y que es siempre perpendicular al plano de los vectores dichos en la enunciación de la magnitud:

• Si la masa es constante: $$\vec { L } =\vec { r } \times m\vec { v } $$

• Si la masa es variable: $$\vec { L } =\vec { r } \times \vec { p } $$

Ejercicio 1: Calcula el vector momento angular de un planeta que gira a una distancia de 1 UA en el vector i de su foco si su masa es, aproximadamente, de 6×10²⁴ kg y lleva una velocidad de 0'5 km/s en el vector j. Nota: No hace falta dar el momento en unidades del Sistema Internacional.

Como tenemos el ejercicio representado de forma vectorial, tendremos que hacer uso del producto vectorial. Para ello, idearemos un determinante cuadrado de tamaño 3 x 3. Lo podemos resolver por la regla de Sarrus o por determinantes adjuntos. Sinceramente, es mucho más claro y evita más errores la de los adjuntos, ya que te da directamente el valor de cada coordenada del vector. De todas formas, lo representamos de esta manera:

$$\begin{vmatrix} \vec { i }  & \vec { j }  & \vec { k }  \\ 1\quad UA & 0 & 0 \\ 0 & 3\cdot { 10 }^{ 24 }kg\frac { km }{ s }  & 0 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3\cdot { 10 }^{ 24 } & 0 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3\cdot { 10 }^{ 24 } \end{vmatrix}\vec { k }$$

Ahora, como vemos que hay tres 0 en un determinante, deducimos que su valor es 0. Así, el único determinante con valor distinto a 0 es el vector k, que además, es la solución del ejercicio:

$$\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 3\cdot { 10 }^{ 24 } & 0 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 3\cdot { 10 }^{ 24 } \end{vmatrix}\vec { k } =\left( 3\cdot { 10 }^{ 24 }\vec { k }  \right) UA\cdot kg\frac { km }{ s }$$

Números reales, potencias y raíces (Temas 1 y 2) 3ºESO

Jerarquía de operaciones:

Empezaremos viendo la jerarquía de operaciones. Se basa en el orden en el que las operaciones han de ser operadas:

1º. Paréntesis, corchetes y llaves.

2º. Radicales y potencias.

3º. Productos y cocientes.

4º. Sumas y restas.

Ahora, un ejemplo:

$$\left( 3+4 \right) \cdot 3+{ 2 }^{ 3 }\div 4$$

Empezamos con los paréntesis:

$$\left( 3+4 \right) \cdot 3+{ 2 }^{ 3 }\div 4=7\cdot 3+{ 2 }^{ 3 }\div 4$$

Seguimos con las potencias:

$$7\cdot 3+{ 2 }^{ 3 }\div 4=7\cdot 3+8\div 4$$

Continuamos con los productos y cocientes:

$$7\cdot 3+8\div 4=21+2$$

Ahora el sumando final:

$$21+2=23$$

Mínimo común múltiplo y máximo común divisor:

Para ello, aprenderemos a factorizar cifras. Empezaremos con un número como 288. Entonces, empezaremos dividiendo por los números primos (2,3,5,7,11...), de forma que una vez no podamos seguir dividiendo con ese número primo, sigamos con el siguiente, así hasta que el cociente final sea 1. Cabe destacar que aquí no se pueden usar decimales:

$$288\div 2=144\\ 144\div 2=72\\ 72\div 2=36\\ 36\div 2=18\\ 18\div 2=9$$

Ahora bien, vemos que 9 no puede ser usado como dividendo entre 2 sin que nos dé como cociente un número decimal. Por ello, usamos el siguiente número, el 3:

$$9\div 3=3\\ 3\div 3=1$$

Ahora, cogemos todos los divisores que hemos usado (el 2 lo hemos usado 5 veces y el 3 dos veces) y los usamos como producto:

$$288=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 3={ 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 }$$

La factorización del número 288 sería esa última.

Ahora sí:

M.C.M.

Es el mínimo múltiplo entre una serie de números para que sean comunes. Por ejemplo: 2,3 y 4. Para que sean comunes, han de ser el mismo números. Nos damos cuenta que el primer número donde son comunes es en el 12. Sin embargo, hay una forma más precisa de obtener este valor:

Paso 1: Factorizamos todos los números:

$$2=2\\ 3=3\\ 4={ 2 }^{ 2 }$$

Paso 2: De todas las bases comunes (2 y 3), cogemos el que tiene un grado mayor (mayor exponente). Como el 2 de la última factorización es mayor al 1 (que no se escribe) de la primera, usaremos el 2 al cuadrado:

$${ 2 }^{ 2 }\quad y\quad 3$$

Paso 3: Los usamos como factores y los usamos como producto para obtener el mínimo común múltiplo. Veremos como, en efecto, es 12:

$$(m.c.m.\quad 2,3,4\quad ={ 2 }^{ 2 }\cdot 3=12)$$

Su uso es el siguiente. Imaginemos dos o más fracciones con diferente denominador. Como sabemos, para usar como sumandos a fracciones, estas tienen que tener el mismo denominador. Como son distintos, la única forma de poder realizar las operaciones es consiguiendo un común denominador. Esto se puede lograr usando el m.c.m.:

$$\frac { 9 }{ 4 } +\frac { 12 }{ 3 } -\frac { 2 }{ 12 } \\ \\ 3=3\\ 4={ 2 }^{ 2 }\\ 12={ 2 }^{ 2 }\cdot 3\\ \\ (m.c.m.\quad 3,4,12={ 2 }^{ 2 }\cdot 3=12)$$

Nota: Si usamos un denominador distinto, debemos averiguar mediante cocientes el número por el que hemos usado un producto para obtener este distinto denominador:

$$\frac { 9\cdot 3 }{ 4\cdot 3 } +\frac { 12\cdot 4 }{ 3\cdot 4 } -\frac { 2\cdot 1 }{ 12\cdot 1 } $$

Para que se nos quede la misma fracción, debemos multiplicar arriba y abajo el mismo número. Por ello, dividimos el denominador común (12) entre el antiguo denominador (3,4 y 12). El cociente que nos dé ha de ser usado como producto en el numerador:

$$\frac { 9\cdot 3 }{ 4\cdot 3 } +\frac { 12\cdot 4 }{ 3\cdot 4 } -\frac { 2\cdot 1 }{ 12\cdot 1 } =\frac { 27 }{ 12 } +\frac { 48 }{ 12 } -\frac { 2 }{ 12 } $$

Con denominador común, sí podemos usar sumandos:

$$\frac { 27 }{ 12 } +\frac { 48 }{ 12 } -\frac { 2 }{ 12 } =\frac { 27+48-2 }{ 12 } =\frac { 73 }{ 12 } $$

M.C.D.

Es el divisor de mayor valor entre dos o más números. No tiene uso en este curso, pero es fundamental saber obtenerlo. La forma es similar a la del m.c.m.

Paso 1: Descomponemos los factores usando factorización:

$$(M.C.D.\quad 2,8,22)\\ 2=2\\ 8={ 2 }^{ 3 }\\ 22=2\cdot 11$$

Paso 2: Escogemos ahora los factores comunes (aquellos cuya base se encuentre en todas las factorizaciones de las cifras que tenemos) y escogemos la cifra con menor grado (en este caso, la base que se encuentra en todas las factorizaciones es 2 y el menor grado es 1). Por ello:

$$(M.C.D.\quad 2,8,22=2)$$

Fracciones:

Para sumar o restar fracciones, hay que usar el mínimo común múltiplo como está explicado arriba.

Para realizar un producto de fracciones, debemos realizar un producto de numerador y otro de denominador de la siguiente forma:

$$\frac { a }{ b } \cdot \frac { c }{ d } =\frac { ac }{ bd } $$

$$\frac { 5 }{ 2 } \cdot \frac { 4 }{ 6 } =\frac { 5\cdot 4 }{ 2\cdot 6 } =\frac { 20 }{ 12 } =\frac { 5 }{ 3 } $$

Para realizar un cociente de fracciones, debemos posponer la operación en una fracción completa. Si el numerador del numerador se queda en el numerador; el denominador del numerador se queda en el denominador; el numerador del denominador se queda en el denominador y el denominador del denominador se queda en el numerador:

$$\frac { a }{ b } \div \frac { c }{ d } =\frac { \frac { a }{ b }  }{ \frac { c }{ d }  } =\frac { a\cdot d }{ b\cdot c } $$
$$\frac { 5 }{ 3 } \div \frac { 1 }{ 2 } =\frac { \frac { 5 }{ 3 }  }{ \frac { 1 }{ 2 }  } =\frac { 5\cdot 2 }{ 3\cdot 1 } =\frac { 10 }{ 3 } $$

Operaciones con potencias y radicales:

Potencias:

Si las bases son iguales y están en un producto común, el producto es la base y su exponente es la suma de los exponentes de los factores antiguos:

$${ a }^{ n }\cdot { a }^{ m }={ a }^{ n+m }$$

$${ 3 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 }={ 3 }^{ 5+2 }={ 3 }^{ 7 }$$

Si las bases son iguales, pero en vez de estar formando un producto forman un cociente, el cociente final es la base con el sustraendo o resta de los exponentes:

$$\frac { { a }^{ n } }{ { a }^{ m } } ={ a }^{ n-m }$$

$$\frac { { 8 }^{ 2 } }{ { 8 }^{ 2 } } ={ 8 }^{ 2-2 }={ 8 }^{ 0 }=1$$

Nota: Cualquier número cuyo exponente es 0 es igual a 1.

Si las bases son distintas, pero los exponentes son el mismo, formando un producto, el resultado es el producto de las bases elevado al exponente común. Nota: El paréntesis es fundamental para que tenga sentido la ecuación:

$${ a }^{ n }\cdot { b }^{ n }={ \left( ab \right)  }^{ n }$$

$${ 5 }^{ 2 }\cdot { 4 }^{ 2 }={ 20 }^{ 2 }$$

Si las bases son distintas, con exponente común y forman un cociente, la solución es todo el cociente elevado a la potencia común:

$$\frac { { a }^{ n } }{ { b }^{ n } } ={ \left( \frac { a }{ b }  \right)  }^{ n }$$

$$\frac { { 4 }^{ 2 } }{ { 2 }^{ 2 } } ={ \left( \frac { 4 }{ 2 }  \right)  }^{ 2 }$$

Si encontramos una potencia elevado a otra potencia (denominado comúnmente potencia de una potencia), la solución es la base con exponente siendo el producto de las dos potencias:

$${ \left( { a }^{ n } \right)  }^{ m }=a^{ n\cdot m }$$
$${ \left( { 5 }^{ 2 } \right)  }^{ 4 }=5^{ 2\cdot 4 }={ 5 }^{ 8 }$$

Radicales:

Si los índices son los mismos y forman un producto, el resultado es el producto del interior de los radicales dentro de un radical con el índice común:

$$\sqrt [ n ]{ a } \cdot \sqrt [ n ]{ b } =\sqrt [ n ]{ ab } $$
$$\sqrt [ 3 ]{ 2 } \cdot \sqrt [ 3 ]{ 4 } =\sqrt [ 3 ]{ 4\cdot 2 } =\sqrt [ 3 ]{ 8 } =2$$

Si los índices son iguales, de la misma forma que en la anterior, pero con un cociente, el resultado es el cociente dentro de una raíz con índice común:

$$\frac { \sqrt [ n ]{ a }  }{ \sqrt [ n ]{ b }  } =\sqrt [ n ]{ \frac { a }{ b }  } $$
$$\frac { \sqrt { 3 }  }{ \sqrt { 2 }  } =\sqrt { \frac { 3 }{ 2 }  } =\sqrt { 1'5 } $$

Importante:

Podemos usar las reglas de las potencias de los radicales para obtener reglas para los radicales. Esto se debe a que:

$$\sqrt [ n ]{ { a }^{ m } } ={ a }^{ \frac { m }{ n }  }$$
$$\sqrt { { 3 }^{ 3 } } \cdot \sqrt [ 4 ]{ { 3 } } ={ 3 }^{ \frac { 3 }{ 2 }  }+{ 3 }^{ \frac { 1 }{ 4 }  }={ 3 }^{ \frac { 7 }{ 4 }  }=\sqrt [ 4 ]{ { 3 }^{ 7 } } $$

Si tenemos dos o más radicales en forma de producto, con bases distintas e índices distintos, podemos usar logaritmos para cambiar las bases, pero como eso no se da aquí, usaremos lo llamado índice radical común. Para ello, haremos uso del m.c.m.:

$$\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 2 } } \cdot \sqrt { 3 } ={ 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }$$
$$(m.c.m.\quad 2,3=2\cdot 3=6)$$

Ponemos las potencias con denominador común:

$${ 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }={ 2 }^{ \frac { 4 }{ 6 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 6 }  }$$

$${ 2 }^{ \frac { 4 }{ 6 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 6 }  }={ \left( { 2 }^{ 4 } \right)  }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }\cdot { \left( { 3 }^{ 3 } \right)  }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }={ \left( { 2 }^{ 4 }\cdot { 3 }^{ 3 } \right)  }^{ \frac { 1 }{ 6 }  }=\sqrt [ 6 ]{ { 2 }^{ 4 }\cdot { 3 }^{ 3 } } =\sqrt [ 6 ]{ 432 } $$

Fracciones generatrices:

Estas fracciones son las que originan cualquier número decimal con periodo o con fin. Por ello, no podremos encontrar una fracción generatriz para un número irracional, por ejemplo, para la constante e.

Decimales aperiódicos:

Son aquellos que tiene fin. Son los más simples de hacer. Aquí un ejemplo:

$$2'34$$

Como tenemos dos decimales, hemos de usar un producto con potencia de diez, cuyo exponente será el número de decimales que tiene el término, en este caso, 2:

$$2'34\cdot \frac { { 10 }^{ 2 } }{ { 10 }^{ 2 } } =\frac { 234 }{ 100 } =\frac { 117 }{ 50 } $$

Nota: Usamos un producto con el valor valor en el denominador que en el numerador para que el valor sea el mismo.

Decimales periódico puros:

Aquí hemos de usar una regla, pues no hay de otra, además de escribir el periodo en una calculadora:

$$2'\bar { 63 } $$

Paso 1: Realizamos un sustraendo entre el número sin decimal alguno y sin periodo y el número entero (en este caso, 2):

$$263-2$$

Paso 2: El resultado que tenemos se usa como dividendo en un cociente cuyo divisor es una cifra con una cantidad de 9 igual al número de cifras que tiene el periodo. Como vemos, el periodo tiene dos números (6 y 3). Por ello, tendremos que usar el número 99 como divisor (si el periodo tuviera tres cifras, sería 999, etcétera):

$$2'\bar { 63 } =\frac { 263-2 }{ 99 } =\frac { 261 }{ 99 } =\frac { 29 }{ 11 } $$

Decimales periódico mixtos:

Su proceso es similar al de la fracción generatriz de un número decimal periódico puro:

$$32'4\bar { 76 } $$

Paso 1: Realizamos un sustraendo entre el número sin decimal alguno y sin periodo y el número entero junto con el anteperiodo (en este caso, 4):

$$32476-324$$

Paso 2: El resultado lo usamos de nuevo como dividendo, con la diferencia de que ahora como divisor usaremos un número con una cantidad de 9 igual al número de cifras del periodo y una cantidad de 0 igual al del anteperiodo:

$$32'4\bar { 76 } =\frac { 32476-324 }{ 990 } =\frac { 32152 }{ 990 } =\frac { 16076 }{ 495 } $$

Conjunto de números reales (ℝ):

Es el conjunto de números que comprende los números racionales, enteros, naturales, irracionales y trascendentes:

Números naturales (ℕ): Son aquellos que se usan para contar y se resume en todos los números enteros positivos desde el cero, contando a este último (0, 1, 2, 3, 4, 5...).

Números enteros (ℤ): Son aquellos que forman los números naturales, junto a los opuestos negativos (-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5...).

Números racionales (ℚ): Son aquellos que se pueden representar en forma de fracción. Nota: Todos los números naturales, negativos, enteros y aquellos que tienen decimales periódicos son racionales. Ejemplos:

$$2'5=\frac { 5 }{ 2 } \quad 2'\bar { 3 } =\frac { 21 }{ 9 } \quad 2=\frac { 4 }{ 2 } \quad -3=-\frac { 9 }{ 3 } $$

Números irracionales (ℝ-ℚ): Son aquellos que no se pueden representar en forma de fracción con denominadores y numeradores en forma de número entero, que no sea cero. Ejemplos:

$$\sqrt { 2 } \quad e\quad \pi $$

Números trascendentales: Son los que no pueden ser obtenido de una solución de un polinomio. Son una distinción de los números irracionales. Los únicos que hay que saberse son:

$$e\quad \pi \quad ln2\quad log69$$

Introducir o retirar factores dentro de un radical:

Podemos sacar factores o introducirlos siempre que cumplan unas condiciones. Aquí veremos un ejemplo típico de examen:

$$\sqrt { 180 } $$

Primero, vamos a factorizar el número y a introducir todos los factores en el radical:

$$\sqrt { 180 } =\sqrt { { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot 5 } $$

Ahora bien, hemos de coger la potencia de un factor (por ejemplo, el dos al cuadrado). Una vez la tengamos, la dividimos por el índice del radical (como no pone nada en el radical, suponemos que es 2). El cociente (en este caso, 1) es el número de factores (2) que salen afuera y el resto es el número de factores que se quedan (En el caso del 2, el cociente entre 2 y 2 es 1, por lo que sale un único 2. Como el resto es 0, no se queda ningún factor dentro del radical). Nota: Esta regla no oficial, inventada por mí para facilitar, solo funciona cuando tenemos productos dentro del radical. Cuando tengamos sumandos, tendremos que usar factor común, pero eso no se ve hasta mucho más tarde.

$$\sqrt { { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot 5 } =2\cdot 3\cdot \sqrt { 5 } =6\sqrt { 5 } $$

Para introducirlos, hacemos lo opuesto (multiplicamos el exponente del factor que está fuera multiplicando al radical por el índice del radical y esa es el nuevo exponente del factor que entra):

Forma 1:

$$12\cdot 2\sqrt { 10 } \\ \sqrt { 10\cdot { 12 }^{ 2 }\cdot { 2 }^{ 2 } } =\sqrt { 5760 } $$

Forma 2:

$$12\cdot 2\sqrt { 10 } =24\sqrt { 10 } \\ \sqrt { { 24 }^{ 2 }\cdot 10 } =\sqrt { 5760 } $$

Nota: Si el índice fuera 3, la potencia del factor se multiplicaría por tres.

Sumandos de radicales:

La única condición para poder realizarlos es que los radicales sean iguales. Acá un ejemplo:

$$\sqrt { 800 } +\sqrt { 288 } -\sqrt { 18 } $$

Factorizamos cada radical:

$$\sqrt { { 2 }^{ 5 }\cdot { 5 }^{ 2 } } +\sqrt { { 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 } } -\sqrt { 2\cdot { 3 }^{ 2 } } $$

Usamos la regla para retirar todos los factores posibles del interior de los radicales:

$${ 2 }^{ 2 }\cdot 5\sqrt { 2 } +{ 2 }^{ 2 }\cdot 3\sqrt { 2 } -3\sqrt { 2 } =20\sqrt { 2 } +12\sqrt { 2 } -3\sqrt { 2 } $$

Ahora que tenemos radical común, podemos sacar factor común la raíz de 2 y dejarlo así (el factor común se basa en multiplicar un término común en todos los sumandos, en este caso la raíz de 2, porque se encuentra en todos y usando la regla distributiva):

$$a\cdot n+b\cdot n=n\cdot \left( a+b \right) $$
$$20\sqrt { 2 } +12\sqrt { 2 } -3\sqrt { 2 } =\left( 20+12-3 \right) \sqrt { 2 } =29\sqrt { 2 } $$

Examen de los temas 1 y 2 de Matemáticas Académicas. 3º ESO

Nota: Cada ejercicio vale 1 punto de 10.


1. Resuelve respetando la jerarquía de las operaciones y simplifica si es posible:

Nota: La jerarquía es: Primero los paréntesis () , llaves {} o corchetes []; por segundo, las potencias y raíces; por tercero, los productos y los cocientes; por último, los sumandos y los sustraendos.

a) $$\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 8 }{ 9 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } +{ \left( \frac { 1 }{ 3 }  \right)  }^{ 2 }$$

Primero realizamos la potencia. Recordamos que si la potencia afecta a una fracción completa, debemos colocar la misma potencia en el numerador y en el denominador.

$$\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 8 }{ 9 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } +{ \left( \frac { { 1 }^{ 2 } }{ { 3 }^{ 2 } }  \right) =\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 8 }{ 9 } \cdot \frac { 2 }{ 3 } +\frac { 1 }{ 9 }  }$$

Ahora realizamos la multiplicación, donde debemos realizar un producto entre ambos numeradores para obtener el numerador final y el producto entre ambos denominadores para obtener el denominador final.

$$\frac { 7 }{ 3 } -\frac { 16 }{ 27 } +\frac { 1 }{ 9 } $$

Como tenemos tres denominador desiguales, debemos averiguar el valor del mínimo común múltiplo para poder usarlo como denominador común. De no ser así, no podríamos realizar sumandos entre los tres términos.

$$(m.c.m\quad 3,9,27)=27\quad \quad \frac { 63 }{ 27 } -\frac { 16 }{ 27 } +\frac { 3 }{ 27 } =\frac { 50 }{ 27 } $$

b) $$\frac { 1 }{ 6 } \div \left( \frac { 2 }{ 5 } -\frac { 1 }{ 3 }  \right) -\frac { 12 }{ 5 } $$

Empezamos con el paréntesis, pero como tiene un sumando con distinto denominador, tenemos que usar el mínimo común múltiplo:

$$(m.c.m.\quad 5,3)=15\quad \\ \\ \frac { 1 }{ 6 } \div \left( \frac { 6 }{ 15 } -\frac { 5 }{ 15 }  \right) -\frac { 12 }{ 5 } =\frac { 1 }{ 6 } \div \left( \frac { 1 }{ 15 }  \right) -\frac { 12 }{ 5 } $$

Como tenemos un cociente, lo colocamos en forma de fracción. El numerador del numerador se queda como numerador; el denominador del numerador se queda como denominador; el numerador del denominador se queda como denominador y el denominador del denominador se queda como numerador:

$$\frac { \frac { 1 }{ 6 }  }{ \frac { 1 }{ 15 }  } -\frac { 12 }{ 5 } =\frac { 15 }{ 6 } -\frac { 12 }{ 5 } $$

Volvemos a tener el ultraje de los denominadores desiguales en sumandos. Usamos el m.c.m. y reducimos la fracción final de forma irreducible:

$$(m.c.m.\quad 6,5)=30\quad \frac { 75 }{ 30 } -\frac { 72 }{ 30 } =\frac { 3 }{ 30 } =\frac { 1 }{ 10 } $$


2. Elena ha invertido 2/9 partes de sus ahorros en la compra de un libro, 1/8 partes en ir al cine y 1/4 parte en salir a cenar. se pregunta:

a) ¿Qué fracción total le sobró?

Como nos pide la fracción que le sobró, tenemos que realizar un sustraendo entre sus ahorros iniciales (1) y lo que se gasta, que es la suma de todas las fracciones.

$$1-\left( \frac { 2 }{ 9 } +\frac { 1 }{ 8 } +\frac { 1 }{ 4 }  \right) $$

El mínimo común múltiplo es más complejo que los anteriores. Debemos factorizar los denominadores. Cogemos todas las bases, y de cada base, el de mayor grado. Por ejemplo, de 2 al cuadrado y 2 al cubo, elegimos 2 al cubo, por tener una potencia mayor. Al final, realizamos un producto entre las bases de mayores grados:

$$4={ 2 }^{ 2 }\quad 8={ 2 }^{ 3 }\quad 9={ 3 }^{ 2 }\\ \\ (m.c.m\quad 4,8,9)={ 2 }^{ 3 }\cdot { 3 }^{ 2 }$$

$$1-\left( \frac { 16 }{ 72 } +\frac { 9 }{ 72 } +\frac { 18 }{ 72 }  \right) =1-\frac { 43 }{ 72 } =\frac { 72 }{ 72 } -\frac { 43 }{ 72 } =\frac { 29 }{ 72 } $$

b) Si el dinero que tenía era 72€, ¿qué cantidad de dinero gastó en cada apartado?

Debemos realizamos un factor de conversión para cada apartado o fracción:

$$72€\cdot \frac { \frac { 2 }{ 9 }  }{ 1 } =72€\cdot \frac { 2 }{ 9 } =16€\\ 72€\cdot \frac { \frac { 1 }{ 8 }  }{ 1 } =72€\cdot \frac { 1 }{ 8 } =9€\\ 72€\cdot \frac { \frac { 1 }{ 4 }  }{ 1 } =72€\cdot \frac { 1 }{ 4 } =18€$$


3. Encuentra la fracción generatriz de los siguientes números decimales:

Multiplicamos por 10 elevado al número de cifras que haya de forma decimal.

a) $$10'35=10'35\cdot \frac { 100 }{ 100 } =\frac { 1035 }{ 100 } $$

Restamos las tres cifras primeras sin forma decimal a la parte entera del número. Este resultado lo usamos como dividendo y el divisor es colocar la cifra nueve como un número completo las cifras que contenga el periodo.

b) $$1'\bar { 25 } =\frac { 125-1 }{ 99 } =\frac { 124 }{ 99 } $$

Restamos las cinco primeras cifras sin forma decimal a la parte entera junto al anteperiodo (cifra o cifras que se anteponen al periodo). Luego, lo usamos como dividendo y el divisor sería colocar la cifra nueva como cifras contenga el periodo y ceros como cifras tenga el anteperiodo. Nota: Primero se escriben los nueves, luego los ceros.

c) $$28'9\bar { 36 } =\frac { 28936-289 }{ 990 } =\frac { 28647 }{ 990 } =\frac { { 3 }^{ 3 }\cdot 1061 }{ 2\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot 5\cdot 11 } =\frac { 3183 }{ 110 } $$

4. Reduce a una única potencia de exponente positivo:

a) $${ \left( { \left( \frac { 2 }{ 7 }  \right)  }^{ 4 }\cdot { \left( \frac { 2 }{ 7 }  \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -1 }\div { \left( { \left( \frac { 2 }{ 7 }  \right)  }^{ 3 } \right)  }^{ 2 }$$

Como vemos que tenemos la misma base para todas las potencias, además de poder operar, podemos realizar un cambio de variable para poder trabajar de forma más amena:

$$\frac { 2 }{ 7 } =n$$

$${ \left( { \left( n \right)  }^{ 4 }\cdot { \left( n \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -1 }\div { \left( { \left( n \right)  }^{ 3 } \right)  }^{ 2 }$$

Ahora usamos las normas de potencias para operar las potencias, además de usar la jerarquía de operaciones:

$${ { n }^{ -1\cdot \left( 2+4 \right)  } }\div { n }^{ 2\cdot 3 }={ n }^{ -6 }\div { n }^{ 6 }={ n }^{ -6-6 }={ n }^{ -12 }$$

Deshacemos el cambio de variable. Como nos piden exponente positivo, realizamos la inversa de la fracción, que da el mismo resultado que cambiar el denominador por numerador y viceversa:

$${ \left( { \left( \frac { 2 }{ 7 }  \right)  }^{ 4 }\cdot { \left( \frac { 2 }{ 7 }  \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -1 }\div { \left( { \left( \frac { 2 }{ 7 }  \right)  }^{ 3 } \right)  }^{ 2 }={ \left( \frac { 2 }{ 7 }  \right)  }^{ -12 }={ \left( \frac { 7 }{ 2 }  \right)  }^{ 12 }$$

b) $${ \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 }\div \left[ { \left( { \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -2 }\div { \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 } \right] $$

Volvemos a usar el cambio de variable:

$$\frac { 3 }{ 5 } =n\\ \\ { \left( n \right)  }^{ 3 }\div \left[ { \left( { \left( n \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -2 }\div { \left( n \right)  }^{ 3 } \right] $$

Operamos, empezando por el interior de los corchetes:

$${ \left( n \right)  }^{ 3 }\div \left[ { \left( { \left( n \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -2 }\div { \left( n \right)  }^{ 3 } \right] ={ n }^{ 3 }\div { n }^{ -2\cdot 2-3 }={ n }^{ 3--7 }={ n }^{ 10 }$$

Deshacemos el cambio de variable:

$${ \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 }\div \left[ { \left( { \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 2 } \right)  }^{ -2 }\div { \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 } \right] ={ \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 10 }$$

5. Clasifica los siguientes números en el conjunto adecuado:

Nota: Los números irracionales no tienen símbolo oficial. Los representaremos por el conjunto de los números reales menos los números racionales:

$$\frac { 4 }{ 3 } \quad ℚ$$

$$-7\quad ℤ\quad ℚ$$

Las raíces cuyo interior sean números como 3,5,6,7,8,10,11... serán siempre irracionales:

$$\sqrt { 5 } \quad ℝ-ℚ$$

$$-\frac { 27 }{ 3 } =-9\quad ℤ\quad ℚ$$

Si tienen decimales con fin, son racionales:

$$-2'134\quad ℚ$$

$$\frac { -12 }{ -6 } =2\quad ℕ\quad ℤ\quad ℚ$$

Constantes como pi, e o el número aúreo siempre son irracionales:

$$\pi \quad ℝ-ℚ$$

Los periodos sí pueden escribirse como fracción, por lo que son racionales:

$$3'9\bar { 2 } =\frac { 392-39 }{ 90 } =\frac { 353 }{ 90 } \quad ℚ$$

Aquí un ejemplo de raíz sí natural, racional y entero:

$$\sqrt { 9 } =3\quad ℕ\quad ℤ\quad ℚ$$

El siguiente número no sigue un patrón definido, así que es irracional:

$$8'01001000100001000001...\quad ℝ-ℚ$$


6. Usando tu calculadora, resuelve las siguientes operaciones:

Nota: Para escribir una potencia de 10, en las calculadoras CASIO fx-82MS (las normales índigo) se escriben usando el botón EXP, en la última fila, botón central, debajo del símbolo pi. Tras escribir el símbolo, ponemos directamente la potencia:

a) $$5'3\cdot { 10 }^{ 3 }\cdot 2'5\cdot { 10 }^{ 6 }\\ Calculadora:\quad 5.3e3\times 2.5e6=1.325\times { 10 }^{ 10 }\\ 5'3\cdot { 10 }^{ 3 }\cdot 2'5\cdot { 10 }^{ 6 }=1'325\cdot  { 10 }^{ 10 }$$

Nota 2: El resultado será la cifra que nos salga y la potencia de diez estará indicada a la derecha de la pantalla, indicado por un x10 n, siendo n el exponente de dicha potencia de diez.

b) $$6'3\cdot { 10 }^{ -5 }\div 1'2\cdot { 10 }^{ -2 }\\ Calculadora:\quad 6.3e-5\div 1.2e-2=0.00525$$

A continuación, como no nos da el resultado en potencia de 10, hemos de pulsar el botón con las letras ENG, en la fila quinta, columna segunda. Si nos pasamos, tocamos SHIFT (primer botón de la calculadora) y ENG:

$$6'3\cdot { 10 }^{ -5 }\div 1'2\cdot { 10 }^{ -2 }=5'25\cdot { 10 }^{ -3 }$$

c) $$4'63\cdot { 10 }^{ -4 }+8'52\cdot { 10 }^{ -5 }=5'482\cdot { 10 }^{ -4 }$$

Nota 3: Si no nos deja ponerlo con un único número entero y el resto decimales (notación científica), debemos pulsar el botón MODE, en la primera fila, al lado de botón ON, tres veces, el botón 2 y luego el botón 9. De esta forma, siempre nos daría en notación científica. Para quitar este modo, pulsamos SHIFT, MODE, 3 y el botón =.

d) $${ 3 }^{ 5 }\cdot { 2 }^{ 6 }\div { 5 }^{ 4 }=2'48832\cdot 10$$


7. Simplifica los siguientes radicales:

Podemos transformar los radicales en potenciales, de forma que podemos simplificar la potencia racional, volviendo a ponerla en forma de radical:

a) $$\sqrt [ 12 ]{ { 5 }^{ 9 } } ={ 5 }^{ \frac { 9 }{ 12 }  }={ 5 }^{ \frac { { 3 }^{ 2 } }{ 3\cdot { 2 }^{ 2 } }  }={ 5 }^{ \frac { 3 }{ 4 }  }=\sqrt [ 4 ]{ { 5 }^{ 3 } } $$

Podemos multiplicar los exponentes de los radicales si estos se encuentran dentro de otros:

b) $$\sqrt { \sqrt [ 4 ]{ { 3 }^{ 10 } }  } =\sqrt [ 2\cdot 4 ]{ { 3 }^{ 10 } } ={ 3 }^{ \frac { 10 }{ 8 }  }$$

Podemos hacer que una de las bases (3) se puedan eliminar del radical. Para ello, dividimos el radical en dos fracciones, de forma que una de esas fracciones sea igual a 1:

$${ 3 }^{ \frac { 10 }{ 8 }  }={ 3 }^{ \frac { 8 }{ 8 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 2 }{ 8 }  }=3\cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } $$

c) $$\sqrt [ 4 ]{ { 7 }^{ 6 }\cdot { 3 }^{ 10 } } ={ 7 }^{ \frac { 6 }{ 4 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 10 }{ 4 }  }=7\cdot { 7 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }\cdot { 3 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }=7\sqrt { 7 } \cdot 9\sqrt { 3 } =63\sqrt { 21 } $$

d) $$\sqrt [ 3 ]{ 108 } $$

Podemos factorizar el interior del radical para comprobar si podemos extraer algún valor del interior del radical. En teoría, podríamos sacar los que queramos usando logaritmos. Como aún no hemos llegado a eso, no podemos usarlos. Por ello:

$$\sqrt [ 3 ]{ 108 } =\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 2 }\cdot { 3 }^{ 3 } } ={ 2 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 3 }{ 3 }  }=3\sqrt [ 3 ]{ 4 } $$

8. Extrae o introduce los factores que puedas de los siguientes radicales:

a) $$\sqrt [ 3 ]{ { 5 }^{ 4 }\cdot { 2 }^{ 3 }\cdot { 7 }^{ 2 } } ={ 5 }^{ \frac { 4 }{ 3 }  }\cdot { 2 }^{ \frac { 3 }{ 3 }  }\cdot { 7 }^{ \frac { 2 }{ 3 }  }=5\cdot 2\cdot \sqrt [ 3 ]{ 5\cdot { 7 }^{ 2 } } =10\sqrt [ 3 ]{ 245 } $$

Nota: Podemos extraer factores del radical siempre y cuando su potencia sea igual o mayor al índice del radical. El cociente entre el exponente de la potencia del factor es el exponente del factor que sale del radical y el resto es el exponente del factor que se queda dentro del radical.

Hace falta saber las reglas de factorización de cifras para poder extraer los factores del siguiente radical:

b) $$\sqrt { 288 } =\sqrt { { 2 }^{ 5 }\cdot { 3 }^{ 2 } } ={ 2 }^{ \frac { 5 }{ 2 }  }\cdot { 3 }^{ \frac { 2 }{ 2 }  }={ 2 }^{ 2 }\cdot 3\cdot \sqrt { 2 } =12\sqrt { 2 } $$

c) $$3\cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } ={ 3 }^{ 1+\frac { 1 }{ 4 }  }={ 3 }^{ \frac { 5 }{ 4 }  }=\sqrt [ 4 ]{ { 3 }^{ 5 } } $$

d) $$\frac { 5 }{ 7 } \cdot \sqrt { \frac { 1 }{ 7 }  } =5\cdot { \left( \frac { 1 }{ 7 }  \right)  }^{ \frac { 2 }{ 2 }  }\cdot { \left( \frac { 1 }{ 7 }  \right)  }^{ \frac { 1 }{ 2 }  }=5\sqrt { \left( \frac { 1 }{ 7 }  \right) ^{ 3 } } =\sqrt { 25\cdot \left( \frac { 1 }{ 7 }  \right) ^{ 3 } } $$

9. Encuentra el resultado de las siguientes sumas y restas de radicales:

Simple y llanamente hay que saber factorizar para poder extraer los factores, tal y como en la anterior raíz cuadrada de 288 del apartado b:

a) $$6\sqrt { 27 } -\sqrt { 75 } +8\sqrt { 3 } =6\sqrt { { 3 }^{ 3 } } -\sqrt { 3\cdot { 5 }^{ 2 } } +8\sqrt { 3 } =18\sqrt { 3 } -5\sqrt { 3 } +8\sqrt { 3 } $$

Si presumimos de tener un radical común en todos los sumandos, podemos realizar un sumando de  todos los términos en forma de producto de esta forma:

$$18\sqrt { 3 } -5\sqrt { 3 } +8\sqrt { 3 } =\left( 18-5+8 \right) \sqrt { 3 } =21\sqrt { 3 } $$

b)

$$4\sqrt [ 3 ]{ 16 } -2\sqrt [ 3 ]{ 54 } +3\sqrt [ 3 ]{ 128 } =4\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 4 } } -2\sqrt [ 3 ]{ 2\cdot { 3 }^{ 3 } } +3\sqrt [ 3 ]{ { 2 }^{ 7 } } =8\sqrt [ 3 ]{ 2 } -6\sqrt [ 3 ]{ 2 } +12\sqrt [ 3 ]{ 2 } \\ 8\sqrt [ 3 ]{ 2 } -6\sqrt [ 3 ]{ 2 } +12\sqrt [ 3 ]{ 2 } =\left( 8-6+12 \right) \sqrt [ 3 ]{ 2 } =14\sqrt [ 3 ]{ 2 } $$

10. Efectúa las siguientes operaciones con radicales:

a) $$\left( \sqrt [ 4 ]{ 36 } \div \sqrt [ 4 ]{ 9 }  \right) \cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } $$

Como tenemos un cociente y un producto de radicales con índice común, podemos realizar los productos y cocientes directamente:

$$\sqrt [ 4 ]{ \frac { 36 }{ 9 }  } \cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } =\sqrt [ 4 ]{ 4 } \cdot \sqrt [ 4 ]{ 3 } =\sqrt [ 4 ]{ 12 } $$

b) $$\sqrt { \frac { 3 }{ 5 }  } \cdot \sqrt [ 3 ]{ \frac { 3 }{ 5 }  } \cdot \sqrt [ 4 ]{ \frac { 3 }{ 5 }  } $$

Como tenemos diferentes índices de radical, debemos realizar mínimo común múltiplo para tener un mismo índice y poder operar. Sin embargo, el número que forma producto del índice también forma un producto con el exponente del interior del radical. Así, si el índice antiguo era 3 y se vuelve 12, si el interior del radical tenía potencia 4, tendrá ahora potencia 16; siempre con una misma proporción:

$$(m.c.m\quad 1,3,4=12)\\ \\ \sqrt [ 12 ]{ { \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 6 } } \cdot \sqrt [ 12 ]{ { \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 4 } } \cdot \sqrt [ 12 ]{ { \left( \frac { 3 }{ 5 }  \right)  }^{ 3 } } \\ \\ \sqrt [ 12 ]{ { \frac { { 3 }^{ 6+4+3 } }{ { 5 }^{ 6+4+3 } }  } } =\sqrt [ 12 ]{ \frac { { 3 }^{ 13 } }{ { 5 }^{ 13 } }  } =\frac { 3 }{ 5 } \cdot \sqrt [ 12 ]{ \frac { { 3 } }{ { 5 } }  } $$

c) $$\frac { \sqrt { \sqrt { \sqrt { 2 }  }  }  }{ \sqrt [ 3 ]{ \sqrt [ 4 ]{ 2 }  }  } =\frac { \sqrt [ 2\cdot 2\cdot 2 ]{ 2 }  }{ \sqrt [ 3\cdot 4 ]{ 2 }  } =\frac { \sqrt [ 8 ]{ 2 }  }{ \sqrt [ 12 ]{ 2 }  } \\ \\ (m.c.m.\quad 8,12=24)\\ \\ \frac { \sqrt [ 24 ]{ { 2 }^{ 3 } }  }{ \sqrt [ 24 ]{ { 2 }^{ 2 } }  } =\sqrt [ 24 ]{ \frac { 8 }{ 4 }  } =\sqrt [ 24 ]{ 2 } $$

Diferenciación

Consiste en calcular la rapidez con la que cambia una función, usando lo que se conoce como derivación. La derivada en un punto es equivalente a la tangente de la función en ese punto, es decir, una recta que solo corta en ese punto de la función, formando un ángulo nulo con la función original.

Su forma más sencilla de calcular es mediante el cociente diferencial de Newton. Fue descubierto por Newton tras su estudio del cálculo infinitesimal. Se resume en un límite:

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { f(x+h)-f(x) }{ h } $$

Se explica de la siguiente manera: La función (x+h) pretende añadir un valor a x. x es el primer punto donde corta una recta secante y h es el segundo. Por esto, si hacemos que h tienda a ser 0, la recta secante tenderá a convertirse en una recta tangente a la función, con lo que obtenemos la derivada en el punto x.

Ejemplo 1:

Calcula la derivada de la función y=x³ en el punto (2,8).

Usamos el cociente diferencial de Newton de esta forma:

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { \left( 2+h \right)  }^{ 3 }-8 }{ h } $$

En la función que está en forma de sustraendo se sustituye el valor de la variable y cuando la abscisa es 2, es decir, 8. Como tenemos una suma de potencia, hemos de usar una identidad notable. Esta es:

$${ \left( a+b \right)  }^{ 3 }={ a }^{ 3 }+3{ a }^{ 2 }b+3a{ b }^{ 2 }+{ b }^{ 3 }$$

Así:

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { 2 }^{ 3 }+3\cdot { 2 }^{ 2 }\cdot h+3\cdot 2\cdot { h }^{ 2 }+{ h }^{ 3 }-8 }{ h } $$

Como tenemos en todos los miembros la variable h, ya que hemos eliminado las constantes dos al cubo y el ocho sustraendo, realizamos un factor común en el numerador, con lo que podemos eliminar la variable h que se encuentra como cociente en el denominador. Luego, realizamos el límite restante. Nota: Siempre hay que poner límite cuando h tiende a 0 hasta que acabemos dando el valor del límite.

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h\cdot \left( 12+6h+{ h }^{ 2 } \right)  }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 12+6h+{ h }^{ 2 }=12$$

Ejemplo 2:

Calcula la misma derivada de la función anterior, pero ahora en forma de función.

Volvemos a usar el cociente diferencial de Newton de esta forma:

$$\dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { \left( x+h \right)  }^{ 3 }-{ x }^{ 3 } }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { { x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }h+3x{ h }^{ 2 }+{ h }^{ 3 }-{ x }^{ 3 } }{ h } \\ \dot { y } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } \frac { h\cdot \left( 3{ x }^{ 2 }+3xh+{ h }^{ 2 } \right)  }{ h } =\underset { h\rightarrow 0 }{ lim } 3{ x }^{ 2 }+3xh+{ h }^{ 2 }=3{ x }^{ 2 }$$

Todas las funciones se pueden calcular de esta forma. Sin embargo, es un proceso muy largo. Por ello, se han deducido unas reglas de diferenciación. Son útiles para todo tipo de derivadas. Estas son:

Reglas de diferenciación:

Forma polinómica:

Consta de la siguiente ecuación:

$$y={ x }^{ n }\\ \dot { y } =n\cdot { x }^{ n-1 }$$

La cifra que no tiene variable en ningún grado (término independiente) recibe el nombre de constante. Se representa por el símbolo C'. Su derivada siempre es 0.

Ejemplo 1:

$$y={ 5 }=5\cdot { x }^{ 0 }\\ \dot { y } =0\cdot 5{ x }^{ -1 }=0$$

$$5=C'$$

Ejemplo 2:

$$y=69x\\ \dot { y } =1\cdot 69\cdot { x }^{ 1-1 }=69$$

Nota: Existe una regla llamada regla de la cadena. Esta nos indica que el interior de la función que queremos derivar se tiene que derivar y formar parte de la derivada en forma de producto. En la función que hemos derivado antes, no se ve el producto porque la derivada de la variable x es igual a 1, por lo que se desprecia:

$$y={ \left( u \right)  }^{ n }\\ \dot { y } =n\cdot { \left( u \right)  }^{ n-1 }\cdot \left( \dot { u }  \right) $$

La variable u corresponde a la función que forma parte de la función total. Esta se tiene que derivar también. Esta regla se tiene que cumplir en todas las derivadas.

Ejemplo 3:

$$y={ \left( 2x+3 \right)  }^{ 3 }\\ \dot { y } =3\cdot { \left( 2x+3 \right)  }^{ 2 }\cdot 2=6\cdot { \left( 2x+3 \right)  }^{ 2 }$$

Como he dicho ya en la regla de la cadena, la función interior de la función total, en este caso (2x+3), se tiene que derivar y formar parte de la derivada final como producto. Por ello, al final, he usado la derivada de la función (2x+3), la cual es 2, como producto a la derivada final.

Nota: Si usamos la identidad notable del triángulo de Pascal, aun perdiendo tiempo, podemos comprobar que el resultado es el mismo:

$$y={ \left( 2x+3 \right)  }^{ 3 }=8{ x }^{ 3 }+36{ x }^{ 2 }+54x+27\\ \dot { y } =24{ x }^{ 2 }+72x+54=6\cdot { \left( 2x+3 \right)  }^{ 2 }$$

Ejemplo 4:

$$y=\sqrt [ 3 ]{ x } ={ x }^{ \frac { 1 }{ 3 }  }\\ \dot { y } =\frac { 1 }{ 3 } \cdot { x }^{ \frac { 1 }{ 3 } -1 }=\frac { 1 }{ 3 } \cdot { x }^{ -\frac { 2 }{ 3 }  }=\frac { 1 }{ 3\cdot \sqrt [ 3 ]{ { x }^{ 2 } }  } $$

Al ser un radical, podemos expresarlo en forma de potencia. De esta forma, podemos usar la forma polinómica.

Forma logarítmica:

Constan de una variable dentro de un logaritmo con cualquier base:

$$y=\log _{ n }{ u } \\ \dot { y } =\frac { \dot { u }  }{ u } \cdot \log _{ n }{ e } $$

Ejemplo 1:

$$y=\log _{ 2 }{ \left( { x }^{ 2 } \right)  } \\ \dot { y } =\frac { 2x }{ { x }^{ 2 } } \cdot \log _{ 2 }{ e } =\frac { 2 }{ x } \cdot \log _{ 2 }{ e } $$

Ejemplo 2:

$$y=ln\sqrt { x } \\ \dot { y } =\frac { \frac { 1 }{ 2\sqrt { x }  }  }{ \sqrt { x }  } \cdot lne=\frac { 1 }{ 2x } $$

Producto diferencial:

Cuando vemos un producto de funciones, debemos usar una ecuación para poder encontrar la función derivada del producto:

$$y=u\cdot v\\ \dot { y } =\dot { u } v+u\dot { v } $$

Ejemplo 1:

$$y=x\cdot { ln }^{ 2 }x\\ \dot { y } ={ ln }^{ 2 }x+x\cdot 2\cdot \frac { lnx }{ x } ={ ln }^{ 2 }x+2lnx=lnx\cdot \left( lnx+2 \right) $$

Ejemplo 2:

$$y=2\cdot x\\ \dot { y } =0\cdot x+2\cdot 1=2$$

De aquí deducimos:

$$y=u\cdot C'\\ \dot { y } =\dot { u } \cdot C'$$

La función derivada de un producto entre una constante y una función es el producto entre la misma constante y la derivada y la función producto.

Cociente diferencial:

Siempre que tenemos un cociente, debemos usar una ecuación. Si derivamos el numerador y el denominador, estamos usando la regla de L'Hôpital, errónea en derivadas, correcta en límites:

$$y=\frac { u }{ v } \\ \dot { y } =\frac { \dot { u } v-u\dot { v }  }{ { v }^{ 2 } } $$

Ejemplo 1:

$$y=\frac { lnx }{ x } \\ \dot { y } =\frac { \frac { x }{ x } -lnx }{ { x }^{ 2 } } =\frac { 1-lnx }{ { x }^{ 2 } } $$

Ejemplo 2:

$$y=\frac { { x }^{ 2 } }{ 4 } \\ \dot { y } =\frac { 2x\cdot 4-{ x }^{ 2 }\cdot 0 }{ 16 } =\frac { 2x }{ 4 } =\frac { x }{ 2 } $$

De aquí podemos deducir:

$$y=\frac { u }{ C' } \\ \dot { y } =\frac { \dot { u }  }{ C' } $$

La derivada de un cociente entre una función y una constante es la derivada del cociente entre el mismo cociente. Solo funciona cuando la constante se encuentra en el denominador.

Forma exponencial:

Lo podemos basar en esta derivada:

$$y={ e }^{ u }\\ \dot { y } ={ e }^{ u }\cdot \dot { u } $$

Tiene la particularidad de ser la misma función sin contar la regla de la cadena. De aquí podemos extraer una conclusión:

Ejemplo 1:

$$y={ 2 }^{ x }$$

Podemos usar logaritmos naturales para obtener una función en base e:

$$lny=ln{ 2 }^{ x }=x\cdot ln2\\ { e }^{ lny }={ e }^{ x\cdot \left( ln2 \right)  }\\ y={ e }^{ x\cdot \left( ln2 \right)  }$$

Una vez tenemos esta igualdad, podemos usar la forma exponencial en base e, sirviéndonos de la regla de la cadena para obtener la función derivada:

$$y={ e }^{ x\cdot \left( ln2 \right)  }\\ \dot { y } ={ e }^{ x\cdot \left( ln2 \right)  }\cdot ln2={ 2 }^{ x }\cdot ln2$$

Forma trigonométrica:


Se basan en estas derivadas:

$$y=sinu\quad \dot { y } =cos\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y=cosu\quad \dot { y } =-sin\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y=tgu\quad \dot { y } ={ sec }^{ 2 }\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y={ sin }^{ -1 }u\quad \dot { y } =\frac { \dot { u }  }{ \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } }  } \\ \\ y=cos^{ -1 }u\quad \dot { y } =-\frac { \dot { u }  }{ \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } }  } \\ \\ y={ tg }^{ -1 }u\quad \dot { y } =\frac { \dot { u }  }{ 1+{ u }^{ 2 } } \\ \\ y=cosecu\quad \dot { y } =-cosec\left( u \right) \cdot cotg\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y=secu\quad \dot { y } =sec\left( u \right) \cdot tg\left( u \right) \cdot \dot { u } \\ \\ y=cotgu\quad \dot { y } =-{ cosec }^{ 2 }\left( u \right) \cdot \dot { u } $$

Derivadas parciales iteradas

Es lo mismo que calcular una función derivada a partir de una primitiva, solo que en este caso constamos de más de una variable. Por ello, debemos derivar la función respecto a una variable y luego respecto a la otra:

Imaginemos que partimos de la siguiente función de dos variables:

$$f\left( x,y \right) ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }y+3x{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }$$

Empezando con la derivada parcial respecto a x:

Empecemos derivándola respecto de una variable. En este caso, empezaré con la variable x. Al derivar en función de x, todas las variables y se vuelven constantes, así que dejaré de tratarlas como variable y lo haremos como constante. Para no liarnos, usaremos un cambio de variable, para que veamos que y es ahora constante:

$$y=k$$

$$f\left( x,k \right) ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }k+3x{ k }^{ 2 }+{ k }^{ 3 }$$

Ahora que tenemos la función con variables k, que indican que son constantes, derivamos en función de x con las propias reglas de diferenciación:

$$\frac { \partial f }{ \partial x } =3{ x }^{ 2 }+6xk+3{ k }^{ 2 }+0$$

Deshacemos el cambio de variable y se nos queda la primera derivada respecto a x de esta forma:

$$\frac { \partial f }{ \partial x } =3{ x }^{ 2 }+6xy+3{ y }^{ 2 }$$

Con la función derivada parcial respecto a x, debemos derivarla parcialmente respecto a y, para así obtener una función derivada respecto a las dos variables. Para ello, ahora la otra variable que no estamos usando como variable de función derivada pasa a ser constante, por lo que:

$$x=k$$

$$\frac { \partial f }{ \partial k } =3{ k }^{ 2 }+6ky+3{ y }^{ 2 }$$

Derivamos y ya tendremos la función derivada respecto a dos variables (parcial iterada):

$$\frac { { { \partial  }^{ 2 }f } }{ \partial k\partial y } =6k+6y$$

$$\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } =6x+6y$$

Empezando con la derivada parcial respecto a y:

Ahora, haremos el proceso contrario, empezando a derivar la función respecto a y. Por ello, la variable x se hace constante:

$$f\left( x,y \right) ={ x }^{ 3 }+3{ x }^{ 2 }y+3x{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }$$

$$x=k$$

$$f\left( k,y \right) ={ k }^{ 3 }+3{ k }^{ 2 }y+3k{ y }^{ 2 }+{ y }^{ 3 }$$

$$\frac { \partial f }{ \partial y } =3k^{ 2 }+6ky+3{ y }^{ 2 }$$

$$\frac { \partial f }{ \partial y } =3x^{ 2 }+6xy+3{ y }^{ 2 }$$

Ahora, ya con la derivada parcial respecto a y, debemos hacer el mismo proceso y derivar la función ya derivada parcialmente respecto a y respecto a la variable x. Esto nos dará un resultado muy interesante:

$$y=k$$

$$\frac { \partial f }{ \partial k } =3x^{ 2 }+6xk+3{ k }^{ 2 }$$

$$\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial k\partial x } =6x+6k+0$$

$$\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } =6x+6y$$

Si nos fijamos, la solución es la misma sin importar el orden de la variable que usemos. Por ello, deducimos que:

$$\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial x\partial y } =\frac { { \partial  }^{ 2 }f }{ \partial y\partial x } $$

Ley del enfriamiento de Newton

Supone que la pérdida de calor de un móvil es proporcional a la rapidez con la que varía su temperatura. Partimos de la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac { dQ }{ dt } =-\alpha \cdot S\cdot \left( T-{ T }_{ m } \right) $$

La rapidez con la que el calor se pierde es proporcional al producto entre un cociente de transferencia de calor, la superficie calentada y la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente.

Además, sabemos que el diferencial de calor es proporcional al producto entre la masa del cuerpo, su calor específico y el diferencial de temperatura:

$$dQ=m\cdot { c }_{ e }\cdot dT$$

Uniendo ambas expresiones, obtenemos:

$$m\cdot { c }_{ e }\cdot \frac { dT }{ T-{ T }_{ m } } =-\alpha \cdot S\cdot dt$$

Incluso, podemos constatar de una constante de proporcionalidad, experimentada por el propio Newton. Su ecuación es la siguiente:

$$n=\frac { \alpha \cdot S }{ p\cdot V{ \cdot c }_{ e } } $$

Teniendo en cuenta la masa en relación a la densidad y al volumen:

$$m=\rho \cdot V$$

Obtenemos esta expresión:

$$\rho \cdot V{ \cdot c }_{ e }\cdot \frac { dT }{ T-{ T }_{ m } } =-\alpha \cdot S\cdot dt$$

$$\frac { dT }{ dt } =-n\cdot \left( T-{ T }_{ m } \right) $$

Esto mide la rapidez con la que la temperatura varía con respecto a la temperatura del cuerpo y sus alrededores.

Como vemos, esta ecuación es diferencial y la podemos resolver usando cálculo.

Empezamos dividiendo ambos términos entre la diferencia entre la temperatura y la temperatura del medio ambiente. Por ello, al tener unas variables y otras en cada uno de los miembros, podemos emplear una integral definida entre la temperatura en cualquier tiempo y la temperatura en el valor inicial del tiempo:

$$\frac { dT }{ T-{ T }_{ m } } =-n\cdot dt\\ \int _{ { T }_{ 0 } }^{ T }{ \frac { dT }{ T-{ T }_{ m } }  } =-n\int _{ 0 }^{ t }{ dt } $$

Primero resolveremos la primera integral definida, cuya variable es la temperatura, usando cambios de variable:

$$\int _{ { T }_{ 0 } }^{ T }{ \frac { dT }{ T-{ T }_{ m } }  } =\int _{ { T }_{ 0 } }^{ u+{ T }_{ m } }{ \frac { du }{ u }  } =_{ { T }_{ 0 } }^{ T }{ ln( }T-{ T }_{ m })={ ln( }T-{ T }_{ m })-{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })\\ u=T-{ T }_{ m }\\ T=u+{ T }_{ m }\\ du=dT$$

La segunda es más simple, y además solo nos deja un sumando:

$$-n\int _{ 0 }^{ t }{ dt } =-nt-(-n0)=-nt$$

La resolución diferencial final es:

$${ ln( }T(t)-{ T }_{ m })-{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })=-nt\\ { ln( }T(t)-{ T }_{ m })=-nt+{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })$$

Si queremos tener en cuenta la expresión para poder obtener algún valor de la temperatura, basta con usar e como base del exponente, para así eliminar el logaritmo y obtener el interior de este:

$${ e }^{ { ln( }T(t)-{ T }_{ m }) }={ e }^{ -nt+{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m }) }$$

El resultado final es:

$$T(t)-{ T }_{ m }=({ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })\cdot { e }^{ -nt }$$

Donde:
   T(t) corresponde a la temperatura en cualquier tiempo que no sea igual a 0.

   T_m corresponde a la temperatura del medio ambiente.

   T₀ corresponde a la temperatura en el valor 0 del tiempo.

   n es una constante de proporción.

   t es el tiempo en el que se encuentra la temperatura T, por lo que están relacionadas.

Ejercicio:

Guillermo prende sin querer fuego a una de sus cuartillas. Debido a su omnisciencia, sabe que nada más arder, su temperatura era de 150 ºF. A los 5 minutos de haber ardido, su temperatura disminuye a los 37 ºF. Si la temperatura de su casa de campo era de 30 ºF, calcule en qué momento se encontraba a 69 ºF la cuartilla.

Primero, a partir de los datos de la temperatura inicial, del ambiente y de esta en el minuto 5, podemos deducir el valor de la constante de proporción a partir de esta ecuación:

$$n=-\frac { ln\left( \frac { T(t)-{ T }_{ m } }{ { T }_{ 0 }-{ T }_{ a } }  \right)  }{ t } $$

$$n=-\frac { ln\left( \frac { 37℉-30℉ }{ 150℉-30℉ }  \right)  }{ 5min } \approx 0'5683{ min }^{ -1 }$$

A partir de la misma, pero usando el valor de la temperatura de 69ºF que se pide que sepamos su momento, podemos calcular este último, pues ya tenemos el valor de la constante de proporción, cuya dimensión es la misma que la de la magnitud frecuencia:

$${ ln( }T(t)-{ T }_{ m })-{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })=-nt$$

$$t\left( x \right) =-\frac { { ln( }T(x)-{ T }_{ m })-{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m }) }{ n } $$

$$t(69℉)=-\frac { ln\left( \frac { 69℉-30℉ }{ 150℉-30℉ }  \right)  }{ 0'5683{ min }^{ -1 } } \approx 1'97765min$$

La cuartilla se encontraba a 69ºF aproximadamente en el minuto 2. 

La finalidad de este ejercicio es comprobar como la temperatura cambia con el tiempo de forma exponencial.