Ley del enfriamiento de Newton

Supone que la pérdida de calor de un móvil es proporcional a la rapidez con la que varía su temperatura. Partimos de la siguiente ecuación diferencial:

$$\frac { dQ }{ dt } =-\alpha \cdot S\cdot \left( T-{ T }_{ m } \right) $$

La rapidez con la que el calor se pierde es proporcional al producto entre un cociente de transferencia de calor, la superficie calentada y la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura del medio ambiente.

Además, sabemos que el diferencial de calor es proporcional al producto entre la masa del cuerpo, su calor específico y el diferencial de temperatura:

$$dQ=m\cdot { c }_{ e }\cdot dT$$

Uniendo ambas expresiones, obtenemos:

$$m\cdot { c }_{ e }\cdot \frac { dT }{ T-{ T }_{ m } } =-\alpha \cdot S\cdot dt$$

Incluso, podemos constatar de una constante de proporcionalidad, experimentada por el propio Newton. Su ecuación es la siguiente:

$$n=\frac { \alpha \cdot S }{ p\cdot V{ \cdot c }_{ e } } $$

Teniendo en cuenta la masa en relación a la densidad y al volumen:

$$m=\rho \cdot V$$

Obtenemos esta expresión:

$$\rho \cdot V{ \cdot c }_{ e }\cdot \frac { dT }{ T-{ T }_{ m } } =-\alpha \cdot S\cdot dt$$

$$\frac { dT }{ dt } =-n\cdot \left( T-{ T }_{ m } \right) $$

Esto mide la rapidez con la que la temperatura varía con respecto a la temperatura del cuerpo y sus alrededores.

Como vemos, esta ecuación es diferencial y la podemos resolver usando cálculo.

Empezamos dividiendo ambos términos entre la diferencia entre la temperatura y la temperatura del medio ambiente. Por ello, al tener unas variables y otras en cada uno de los miembros, podemos emplear una integral definida entre la temperatura en cualquier tiempo y la temperatura en el valor inicial del tiempo:

$$\frac { dT }{ T-{ T }_{ m } } =-n\cdot dt\\ \int _{ { T }_{ 0 } }^{ T }{ \frac { dT }{ T-{ T }_{ m } }  } =-n\int _{ 0 }^{ t }{ dt } $$

Primero resolveremos la primera integral definida, cuya variable es la temperatura, usando cambios de variable:

$$\int _{ { T }_{ 0 } }^{ T }{ \frac { dT }{ T-{ T }_{ m } }  } =\int _{ { T }_{ 0 } }^{ u+{ T }_{ m } }{ \frac { du }{ u }  } =_{ { T }_{ 0 } }^{ T }{ ln( }T-{ T }_{ m })={ ln( }T-{ T }_{ m })-{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })\\ u=T-{ T }_{ m }\\ T=u+{ T }_{ m }\\ du=dT$$

La segunda es más simple, y además solo nos deja un sumando:

$$-n\int _{ 0 }^{ t }{ dt } =-nt-(-n0)=-nt$$

La resolución diferencial final es:

$${ ln( }T(t)-{ T }_{ m })-{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })=-nt\\ { ln( }T(t)-{ T }_{ m })=-nt+{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })$$

Si queremos tener en cuenta la expresión para poder obtener algún valor de la temperatura, basta con usar e como base del exponente, para así eliminar el logaritmo y obtener el interior de este:

$${ e }^{ { ln( }T(t)-{ T }_{ m }) }={ e }^{ -nt+{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m }) }$$

El resultado final es:

$$T(t)-{ T }_{ m }=({ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })\cdot { e }^{ -nt }$$

Donde:
   T(t) corresponde a la temperatura en cualquier tiempo que no sea igual a 0.

   T_m corresponde a la temperatura del medio ambiente.

   T₀ corresponde a la temperatura en el valor 0 del tiempo.

   n es una constante de proporción.

   t es el tiempo en el que se encuentra la temperatura T, por lo que están relacionadas.

Ejercicio:

Guillermo prende sin querer fuego a una de sus cuartillas. Debido a su omnisciencia, sabe que nada más arder, su temperatura era de 150 ºF. A los 5 minutos de haber ardido, su temperatura disminuye a los 37 ºF. Si la temperatura de su casa de campo era de 30 ºF, calcule en qué momento se encontraba a 69 ºF la cuartilla.

Primero, a partir de los datos de la temperatura inicial, del ambiente y de esta en el minuto 5, podemos deducir el valor de la constante de proporción a partir de esta ecuación:

$$n=-\frac { ln\left( \frac { T(t)-{ T }_{ m } }{ { T }_{ 0 }-{ T }_{ a } }  \right)  }{ t } $$

$$n=-\frac { ln\left( \frac { 37℉-30℉ }{ 150℉-30℉ }  \right)  }{ 5min } \approx 0'5683{ min }^{ -1 }$$

A partir de la misma, pero usando el valor de la temperatura de 69ºF que se pide que sepamos su momento, podemos calcular este último, pues ya tenemos el valor de la constante de proporción, cuya dimensión es la misma que la de la magnitud frecuencia:

$${ ln( }T(t)-{ T }_{ m })-{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m })=-nt$$

$$t\left( x \right) =-\frac { { ln( }T(x)-{ T }_{ m })-{ ln( }{ T }_{ 0 }-{ T }_{ m }) }{ n } $$

$$t(69℉)=-\frac { ln\left( \frac { 69℉-30℉ }{ 150℉-30℉ }  \right)  }{ 0'5683{ min }^{ -1 } } \approx 1'97765min$$

La cuartilla se encontraba a 69ºF aproximadamente en el minuto 2. 

La finalidad de este ejercicio es comprobar como la temperatura cambia con el tiempo de forma exponencial.