Matrices I

Es una serie de números agrupados entre sí mediante un arreglo bidimensional.

Se agrupan de esta forma, y pueden tener varios tamaños.

$$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \\ j & k & l \end{pmatrix}$$

Este, por ejemplo, tiene tamaño 4 x 3.

La matriz identidad es aquella cuyo diagonal con valor 1 y el resto de entradas tienen el dígito 0.

$${ I }_{ 2 }=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\quad { I }_{ 3 }=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad { I }_{ 4 }=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Operaciones con matrices:

Sumandos:

Simplemente realizamos sumandos de las entradas para colocar esta suma en otra entrada. 

Nota: Solo se pueden sumar aquellas matrices que constan del mismo tamaño.

$$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & 9 \\ 5 & 7 & 3 \\ 2 & 0 & 3 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 4 & 4 & 6 \\ 7 & 3 & 8 \\ 7 & 0 & 7 \\ 5 & 1 & 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4+1 & 4+2 & 6+1 \\ 0+7 & 3+3 & 8+9 \\ 5+7 & 7+0 & 3+7 \\ 2+5 & 0+1 & 5+3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 & 6 & 7 \\ 7 & 11 & 17 \\ 12 & 7 & 10 \\ 7 & 1 & 8 \end{pmatrix}$$

Minuendos y sustraendos:

Del mismo modo, acabada la cena, realizamos sustraendos al minuendo en cada entrada para dejarlas en otra entrada final.

$$\begin{pmatrix} 4 & 2 \\ 7 & 6 \\ 6 & 9 \\ 4 & 5 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 7 & 2 \\ 0 & 5 \\ 8 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4-2 & 2-3 \\ 7-7 & 6-2 \\ 6-0 & 9-5 \\ 4-8 & 5-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 0 & 4 \\ 6 & 4 \\ -4 & 5 \end{pmatrix}$$

Producto entre escalar y matriz:

Realizamos el producto entre el escalar por cada una de las entradas, y el resultado final se esribe en una única entrada en otra matriz del mismo tamaño.

$$5\cdot \begin{pmatrix} 6 & 8 & 5 & 4 \\ 2 & 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 6\cdot 5 & 8\cdot 5 & 5\cdot 5 & 4\cdot 5 \\ 2\cdot 5 & 3\cdot 5 & 0\cdot 5 & 1\cdot 5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 30 & 40 & 25 & 20 \\ 10 & 15 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

Producto matricial (nivel Advance):

Es el producto entre dos o más matrices. Podemos realizar el producto entre dos matrices cuando tienen la misma dimensión (n x m) x (n x m), cuando el número de filas es el mismo que el de columnas en la otra matriz y viceversa (n x m) x (m x n) o cuando tienen distintos tamaños, pero el tamaño de columnas de una matriz es igual al de filas de otra matriz, sin tener que existir viceversa:

Misma dimensión o cuadradas:

Corresponden al siguiente sistema, siguiendo la misma forma para todas las dimensiones (el producto entre la entrada primera de la primera fila de la primera matriz y la primera de la primera columna de la segunda matriz sumada con el producto entre la primera entrada de la segunda columna de la primera matriz y la segunda entrada de la primera entrada de la segunda matriz (1ª entrada):

$$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} e & f \\ g & h \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot e+b\cdot g & a\cdot f+b\cdot h \\ c\cdot e+d\cdot g & c\cdot f+d\cdot h \end{pmatrix}$$

Ejemplo 1:

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot 2+0\cdot 0 & 1\cdot 1+0\cdot 0 \\ 0\cdot 2+1\cdot 0 & 0\cdot 1+1\cdot 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Aquí comprobamos una identidad nueva:

$$A\cdot I=A$$

Donde:

A es la matriz producto

I es la matriz identidad de la misma dimensión que la matriz A


Mismo número de filas en una que de columnas en otras y viceversa:

Sigue las mismas reglas que las de misma dimensión. Corresponde al siguiente sistema: 

$\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} g & h \\ i & j \\ k & l \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot g+b\cdot i+c\cdot k & a\cdot h+b\cdot j+c\cdot l \\ d\cdot g+e\cdot i+f\cdot k & d\cdot h+e\cdot j+f\cdot l \end{pmatrix}$

Ejemplo 2:

Las dimensiones de la matriz final corresponden a (n x n). Por ejemplo, en el siguiente producto veremos que las dimensiones son (2 x 3) y (3 x 2), por lo que el resultado será (2 x 2), es decir, el número de filas del primero por el número de columnas del segundo:

$$\begin{pmatrix} 2 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 3 & 1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2\cdot 2+3\cdot 3+4\cdot 2 & 2\cdot 0+3\cdot 1+4\cdot 1 \\ 0\cdot 2+0\cdot 3+1\cdot 2 & 0\cdot 0+0\cdot 1+1\cdot 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 21 & 7 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$$


Mismo número de columnas que de filas, sin importar las columnas de la segunda:

Sigue las mismas reglas que el sistema de misma dimensión: Corresponde al siguiente sistema:

$$\begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} d & e & f \\ g & h & i \\ j & k & l \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} a\cdot d+b\cdot g+c\cdot j & a\cdot e+b\cdot h+c\cdot k & a\cdot f+b\cdot i+c\cdot l \end{pmatrix}$$ 

Ejemplo 3:

Como tenemos las dimensiones (1 x 3) y (3 x 3), las dimensiones de la matriz producto será la misma que la primera (1 x 3).

$$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1\cdot 1+0\cdot 3+3\cdot 2 & 1\cdot 0+0\cdot 4+3\cdot 0 & 1\cdot 7+0\cdot 0+3\cdot 2 \end{pmatrix}\\ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 & 0 & 7 \\ 3 & 4 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 7 & 0 & 13 \end{pmatrix}$$