Integración II

Integración mediante sustitución:

$$\int { { x }^{ 2 } } tg\quad { x }^{ 3 }dx\\ u={ x }^{ 3 }\\ x=\sqrt [ 3 ]{ u } \\ dx=\frac { du }{ 3\sqrt [ 3 ]{ { u }^{ 2 } } } \\ { x }^{ 2 }=\sqrt [ 3 ]{ { u }^{ 2 } }$$

Tenemos la integral que se nos pide resolver, así que sustituimos el valor del interior de la tangente por una variable, asignémosle u. Despejamos la variable x y derivamos ambos miembros, para así obtener du y poder cambiar el diferencial, para tener la integral en función de u. Este diferencial se encontrará en forma del producto dentro de la integral. Todas las variables x que encontramos dentro de la integral tienen que ser reemplazadas por la variable nueva u.

$$\\ \\ \int { \frac { \sqrt [ 3 ]{ { u }^{ 2 } } tg\quad u }{ 3\sqrt [ 3 ]{ { u }^{ 2 } }  }  } du=\frac { 1 }{ 3 } \int { tg\quad u\quad du\quad  } \\ -\frac { 1 }{ 3 } ln\left| cos\quad u \right| +C' =-\frac { 1 }{ 3 } ln\left| cos\quad { x }^{ 3 } \right| +C'$$

Sacamos la constante de la integral, con lo que se nos queda una integral inmediata, que resolveremos hasta darnos una solución, que estará completa al 100% una vez deshagamos el cambio de variable, volviendo a tener la integral en función de x.

Paso opcional (recomendado):

En caso de tener tiempo de sobra, podemos derivar la integral para ver si el la función que obtenemos es la derivada de la integral, con lo que aseguramos al 100% que lo hayamos hecho correctamente.

$$-\frac { d\quad 1 }{ dx\quad 3 } ln\left| cos\quad { x }^{ 3 } \right| +C'=\frac { 3{ x }^{ 2 }sen\quad { x }^{ 3 } }{ 3cos\quad { x }^{ 3 } } dx={ x }^{ 2 }tg\quad { x }^{ 3 } dx$$

Ejercicio en cuartilla (Nivel medio):

$$\int { { sec }^{ 3 }x } tgx\quad dx\quad$$ 

Baja la pantalla una vez hallas acabado el ejercicio, no hagas que pierda la gracia; esta integral es típica de examen, y de las difíciles.

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$$\int { { sec }^{ 3 }x } tgx\quad dx\quad \\ u=secx\\ x={ sec }^{ -1 }u\\ dx=\frac { du }{ u\sqrt { { u }^{ 2 }-1 }  }$$

Hacemos el cambio de variable asignado, pues podemos jugar con las funciones tangente y secante, pues sabemos su relación en las identidades trigonométricas.

$$\int { \frac { { u }^{ 3 }\sqrt { { u }^{ 2 }-1 }  }{ u\sqrt { { u }^{ 2 }-1 }  } du } =\int { { u }^{ 2 }du } \\ \frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } +C'=\frac { { sec }^{ 3 }x }{ 3 } +C'$$

Finalmente, se nos queda libre una función polinómica, que resolvemos con el método que mencioné en la parte de Integración I. Solo nos queda deshacer el cambio de variable y añadir la constante.

$$\\ \frac { d\quad { sec }^{ 3 }x }{ dx\quad 3 } +C'\quad =\frac { 3{ sec }^{ 2 }xsecxtgx }{ 3 } dx={ sec }^{ 3 }xtgx\quad dx$$

La comprobación nos hace ver que hemos acertado.