Matrices II

Matrices traspuestas:

Una matriz traspuesta se basa en la siguiente transformación:

$$A=\begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}\quad { A }^{ T }=\begin{pmatrix} a & d & g \\ b & e & h \\ c & f & i \end{pmatrix}$$

Las filas se transcriben en columnas, empezando siempre por la primera entrada, siendo la primera fila la primera columna, la segunda fila la primera columna, etcétera.

Ejemplo 1:

$$N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 2 & 6 & 7 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad { N }^{ T }=\begin{pmatrix} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 6 & 0 \\ 4 & 7 & 1 \end{pmatrix}\quad { ({ N }^{ T }) }^{ T }=N=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 4 \\ 2 & 6 & 7 \\ 3 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Nota: Si trasponemos una matriz traspuesta, siempre nos dará como resultado la matriz original.

Matrices adjuntas:

Son aquellas en las que cada entrada se sustituye por un adjunto. Su regla principal es esta:

$$N=\begin{pmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{pmatrix}\quad { N }^{ * }=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} { a }_{ 21 } & { a }_{ 23 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 33 } \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 32 } & { a }_{ 33 } \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 33 } \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 31 } & { a }_{ 32 } \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} { a }_{ 12 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 22 } & { a }_{ 23 } \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 13 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 23 } \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} { a }_{ 11 } & { a }_{ 12 } \\ { a }_{ 21 } & { a }_{ 22 } \end{vmatrix} \end{pmatrix}$$
$$Si\quad i+j\quad es\quad par\quad \Rightarrow \quad el\quad determinante\quad es\quad positivo\\ Si\quad i+j\quad es\quad impar\quad \Rightarrow \quad el\quad determinante\quad es\quad negativo$$

Parece imposible al principio, pero la regla básica es la siguiente. Para una entrada, realizamos dos líneas perpendiculares, de forma que nos quedarán visibles solo cuatro entradas, que hay que colocar como entrada de matriz adjunta en forma de determinante 2 x 2, que luego resolveremos como una única entrada. Cuando la suma de los subíndices de las entradas, véase i y j, sean impares, el determinante es negativo y cuando no, es positivo, sin tener en cuenta el valor que haya dentro del determinante.

Ejemplo 2:

$$N=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 3 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\quad { N }^{ * }=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 3 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \\ -\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} \\ \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} & -\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 2 \end{vmatrix} & \begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 0 \end{vmatrix} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & -3 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 4 & 0 \end{pmatrix}$$