Para empezar, debemos saber la definición de el diferencial de energía (en este caso, cinética, para obtener su variación, que es lo mismo que el trabajo:
$$ dK=F\cdot ds $$
Con la definición diferencial de fuerza:
$$ dK=\frac{dp}{dt}\cdot ds=v\cdot dp $$
Ahora, debemos buscar una relación entre la velocidad v y el diferencial dp, para así poder realizar la integral. Para ello, haremos la función derivada del momento lineal. Como en este caso la masa no es constante, deberemos suponer m y v como dos funciones distintas, por lo que deberemos usar la regla del producto:
$$ \frac{dp}{dt}=\frac{d(m\cdot v)}{dt}=\frac{dm}{dt}\cdot v+\frac{dv}{dt}\cdot m $$
Ahora bien, nosotros nos preguntamos por dp, así que multiplicamos la ecuación por dt para deshacernos de este:
$$ dp=dm\cdot v+dv\cdot m $$
Sustituyendo en la ecuación original:
$$ dK=v\cdot (dm\cdot v+dv\cdot m )=v^{2}dm+m\cdot v\cdot dv $$
Una vez tenemos esta expresión, debemos dejar todo en función de una sola variable diferencial, dm o dv. Para ello, diferenciaremos en función de la velocidad la función masa relativista y así obtener una relación entre dm y dv.
$$ m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$
$$ \frac{dm}{dv}=\frac{d(\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}})}{dv}$$
$$ \frac{dm}{dv}=-\frac{m_{0}}{2}\cdot \left ( \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \right )^{-\frac{3}{2}}\cdot \left ( -\frac{2v}{c^{2}} \right ) $$
$$ \frac{dm}{dv}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\cdot \tfrac{v}{\left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right )\cdot c^{2}} $$
El primer miembro corresponde a la masa relativista:
$$ \frac{dm}{dv}=m\cdot \tfrac{v}{\left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right )\cdot c^{2}} $$
Simplificando:
$$ \frac{dm}{dv}=m\cdot \tfrac{v}{\left ( \frac{c^{2}-v^{2}}{c^{2}}\right )\cdot c^{2}}=\frac{m\cdot v}{c^{2}-v^{2}} $$
Separando las variables:
$$ (c^{2}-v^{2})dm=m\cdot v\cdot dv $$
Volvemos a la expresión energética:
$$ dK=v\cdot (dm\cdot v+dv\cdot m )=v^{2}dm+m\cdot v\cdot dv $$
Sustituyendo $ m\cdot v\cdot dv $ por su valor en función del diferencial de masa tenemos:
$$ dK=v^{2}dm+m\cdot v\cdot dv=v^{2}dm+(c^{2}-v^{2})dm $$
$$ dK=v^{2}dm+m\cdot v\cdot dv=v^{2}dm+(c^{2}-v^{2})dm=v^{2}dm+c^{2}dm-v^{2}dm $$
Finalmente, acabamos con la ecuación diferencial:
$$ dK=c^{2}dm $$
Integrando entre momentos iniciales y finales, tendremos:
$$ \int_{K_{1}}^{K_{2}}dK=\int_{m_{0}}^{m}c^{2}dm $$
$$ K_{2}-K_{1}=\Delta K=(m-m_{0})\cdot c^{2} $$
Si suponemos un estado de energía final con una masa relativista, sin tener en cuenta las condiciones iniciales, la energía en ese instante es:
$$ E=m\cdot c^{2} $$
O lo que es lo mismo:
$$ E=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\cdot c^{2} $$
