Prueba de la ecuación de Einstein

Para empezar, debemos saber la definición de el diferencial de energía (en este caso, cinética, para obtener su variación, que es lo mismo que el trabajo:

$$ dK=F\cdot ds $$

Con la definición diferencial de fuerza:

$$ dK=\frac{dp}{dt}\cdot ds=v\cdot dp $$

Ahora, debemos buscar una relación entre la velocidad v y el diferencial dp, para así poder realizar la integral. Para ello, haremos la función derivada del momento lineal. Como en este caso la masa no es constante, deberemos suponer m y v como dos funciones distintas, por lo que deberemos usar la regla del producto:

$$ \frac{dp}{dt}=\frac{d(m\cdot v)}{dt}=\frac{dm}{dt}\cdot v+\frac{dv}{dt}\cdot m $$

Ahora bien, nosotros nos preguntamos por dp, así que multiplicamos la ecuación por dt para deshacernos de este:

$$ dp=dm\cdot v+dv\cdot m $$

Sustituyendo en la ecuación original:

$$ dK=v\cdot (dm\cdot v+dv\cdot m )=v^{2}dm+m\cdot v\cdot dv $$

Una vez tenemos esta expresión, debemos dejar todo en función de una sola variable diferencial, dm o dv. Para ello, diferenciaremos en función de la velocidad la función masa relativista y así obtener una relación entre dm y dv.

$$ m=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}} $$

$$ \frac{dm}{dv}=\frac{d(\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}})}{dv}$$

$$ \frac{dm}{dv}=-\frac{m_{0}}{2}\cdot \left ( \sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}} \right )^{-\frac{3}{2}}\cdot \left ( -\frac{2v}{c^{2}} \right ) $$

$$ \frac{dm}{dv}=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\cdot \tfrac{v}{\left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right )\cdot c^{2}} $$

El primer miembro corresponde a la masa relativista:

$$ \frac{dm}{dv}=m\cdot \tfrac{v}{\left ( 1-\frac{v^{2}}{c^{2}}\right )\cdot c^{2}} $$

Simplificando:

$$ \frac{dm}{dv}=m\cdot \tfrac{v}{\left ( \frac{c^{2}-v^{2}}{c^{2}}\right )\cdot c^{2}}=\frac{m\cdot v}{c^{2}-v^{2}} $$

Separando las variables:

$$ (c^{2}-v^{2})dm=m\cdot v\cdot dv $$

Volvemos a la expresión energética:

$$ dK=v\cdot (dm\cdot v+dv\cdot m )=v^{2}dm+m\cdot v\cdot dv $$

Sustituyendo $ m\cdot v\cdot dv $ por su valor en función del diferencial de masa tenemos:

$$ dK=v^{2}dm+m\cdot v\cdot dv=v^{2}dm+(c^{2}-v^{2})dm $$

$$ dK=v^{2}dm+m\cdot v\cdot dv=v^{2}dm+(c^{2}-v^{2})dm=v^{2}dm+c^{2}dm-v^{2}dm $$

Finalmente, acabamos con la ecuación diferencial:

$$ dK=c^{2}dm $$

Integrando entre momentos iniciales y finales, tendremos:

$$ \int_{K_{1}}^{K_{2}}dK=\int_{m_{0}}^{m}c^{2}dm $$

$$ K_{2}-K_{1}=\Delta K=(m-m_{0})\cdot c^{2} $$

Si suponemos un estado de energía final con una masa relativista, sin tener en cuenta las condiciones iniciales, la energía en ese instante es:

$$ E=m\cdot c^{2} $$

O lo que es lo mismo:

$$ E=\frac{m_{0}}{\sqrt{1-\frac{v^{2}}{c^{2}}}}\cdot c^{2} $$

Momento de inercia

El momento de inercia es una magnitud que mide la inercia de rotación que posee un cuerpo. Normalmente se toma con un eje situado en el centro de masas. Para un sistema con varias masas:

$$ I=\sum _{ i=1 }^{ n }{ { m }_{ i }{ { { r }_{ i } }^{ 2 } } }  $$

Si tenemos en cuenta un cuerpo con un medio continuo de masa (masa repartida por todo el cuerpo), debemos sumar todos los elementos diferenciales dm de masa del cuerpo. Esta suma de diferenciales se rige por la integración:

$$ dI={ r }^{ 2 }dm\\ I=\int { { r }^{ 2 }dm } $$

Momento de inercia de un cilindro (eje vertical que pasa por el centro de las bases):

Teniendo en cuenta el esquema del cilindro que he hecho, hay una observación muy importante:

Debemos usar una magnitud que relacione la masa con el radio (ambas magnitudes fundamentales del momento de inercia). Esta magnitud es la densidad (en este caso, se puede usar tanto densidad superficial $\sigma$ o volumétrica $\rho$). Usemos densidad volumétrica.

Según la definición diferencial de densidad volumétrica: $\rho =\frac { dm }{ dV } $

Sustituyendo en la ecuación de momento de inercia:

$$ I=\int { { r }^{ 2 }\rho ·dV } $$

Como la densidad es constante en todo el cuerpo, la podemos sacar de la integral:

$$I=\rho \int { { r }^{ 2 }dV } $$

$$I=\frac { M }{ V } \int { { r }^{ 2 }dV } $$

Ahora deberemos expresar $ dV $ y $ V $ en función del radio.

Volumen:

Para calcular el volumen del cilindro, multiplicaremos el área de la base por la altura $ h $.

$$ V=\pi { r }^{ 2 }h $$

Diferencial de volumen:

Por definición: $ dV=dA·s $

Mirando la imagen del cilindro, podemos dividir la base de este en infinitos anillos o aros, cual cebolla. La longitud de arco del aro viene dada por la de la circunferencia, y si esta es multiplicada por la altura, en este caso, un elemento diferencial infinitamente pequeño $ dr $, obtendremos el diferencial de área. Este diferencial de altura se vuelve diferencial de volumen al ser multiplicando por la altura del cilindro. En resumen:

$$ dV=dA·h\\ dA=2\pi r\cdot dr\\ dV=2\pi hr\cdot dr $$


Sustituyendo todos los datos en función del radio que tenemos, expresamos:

$$ I=\frac { M }{ V } \int { { r }^{ 2 }dV } \quad \\ I=\frac { M }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }dV } \\ I=\frac { M }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }·2\pi hr\cdot dr } $$

La altura (que no está en función de $ r $) y los valores numéricos $ 2 $ y $ \pi  $ los podemos extraer de la integral:

$$I=\frac { 2\pi hM }{ \pi { r }^{ 2 }h } \int { { r }^{ 2 }·r·dr } $$

$$I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int { { r }^{ 3 }dr } $$

Ahora debemos definir los límites de integración. De forma simple, lo veremos como sumar todos los aros de cebolla de la base. Como todos los aros de la base se encuentran entre el punto 0 (el eje Z) y el radio ($ r $), la integral definida queda:

$$ I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ r }{ { r }^{ 3 }dr } $$

Con las estrategias de resolución de integrales, nos quedará:

$$ I=\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } \int _{ 0 }^{ r }{ { r }^{ 3 }dr } =\frac { 2M }{ { r }^{ 2 } } { \frac { { r }^{ 4 } }{ 4 }  }_{ 0 }^{ r }=\frac { 2M{ r }^{ 4 } }{ 4{ r }^{ 2 } } =\frac { M{ r }^{ 2 } }{ 2 }  $$

Y en conclusión:

$$ { I }_{ cilindro\quad CMV }=\frac { M{ r }^{ 2 } }{ 2 }  $$

Donde CMV se refiere al centro de masas vertical.

Nota: Como es independiente de la altura el momento de inercia, podríamos haber prescindido de ella, de allí el uso que podríamos haber hecho simplemente de $ dA $.

Momento de inercia de una esfera hueca (eje que pasa por el centro de masas):

Teniendo en cuenta la imagen que he creado, podemos dejar todos los términos en función de nuestra variable $ r $, presente en la ecuación. Cabe destacar que el radio $ R $ no cambia, es constante. Como la esfera está hueca, solo nos importa el área de esta, por lo que usaremos densidad superficial $ \sigma  $. Con la expresión $ \sigma =\frac { dm }{ dA } $:

$$ I=\int { { r }^{ 2 }dm= } \int { { r }^{ 2 }\sigma ·dA } $$

Como la densidad superficial sigma minúscula es constante:

$$ I=\sigma \int { { r }^{ 2 }dA } $$

Ahora obtendremos los elementos de área:

Área:

Con la densidad $ \sigma $, obtenemos una expresión en función del área:

$$ \sigma =\frac { M }{ A } $$

Como el área de la esfera es $ A=4\pi { R }^{ 2 } $:

$$ \sigma =\frac { M }{ 4\pi { R }^{ 2 } } $$

Área diferencial:

Deberemos multiplicar la base del cilindro por toda la altura que recorre de arriba a abajo. En el cilindro, el radio era constante, pues el cilindro desciende en línea recta. Deberemos usar, pues, la longitud de arco, en función del ángulo entre el centro de masas de la esfera y el radio: $ dl=R·d\theta  $ 

El diferencial de área es entonces el producto entre el área del círculo y la longitud de arco de la esfera:

$$ dA=2\pi r·R·d\theta  $$

Necesitamos el radio variable $ r $ en función de $ R $, con lo que haremos uso de la trigonometría. Viendo el dibujo que he realizado, vemos que sendos radios forman un triángulo rectángulo, con lo que podemos asumir la función seno:

$$ dA=2\pi r·R·d\theta $$

Sustituyendo la hipotenusa y el cateto opuesto:

$$ \sin { \theta  } =\frac { r }{ R }  $$

Dejando la expresión anterior en función del radio:

$$ dA=2\pi R·\sin { \theta  } ·R·d\theta =2\pi { R }^{ 2 }\sin { \theta  } ·d\theta  $$

Lo que se nos queda como expresión de momento de inercia es:

$$ I=\frac { M }{ 4\pi { R }^{ 2 } } \int { { r }^{ 2 } } ·2\pi { R }^{ 2 }\sin { \theta ·d\theta  }   $$

Dejando todo el función de $ R $:

$$ I=\frac { M }{ 4\pi { R }^{ 2 } } \int { { R }^{ 2 }·\sin ^{ 2 }{ \theta  } ·2\pi { R }^{ 2 }\sin { \theta  } ·d\theta  } $$

La única variable es $ \theta $, con lo que podemos extraer el resto de la integral:

$$ I=\frac { 2\pi M{ R }^{ 4 } }{ 4\pi { R }^{ 2 } } \int { \sin ^{ 3 }{ \theta  } d\theta  } =\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2 } \int { \sin ^{ 3 }{ \theta  } d\theta  } $$

Los límites de integración serán desde el ángulo mínimo que puede formar $ \left( 0 \right) $ radianes y $ \left( \pi  \right) $ radianes, que es el ángulo que forma al llegar abajo del todo el cilindro variable naranja (180º para los que no dominen los radianes). Resolviendo la integral mediante sustitución:

$$ \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sin ^{ 3 }{ \theta  } d\theta =\int _{ 0 }^{ \pi  }{ \left( 1-\cos ^{ 2 }{ \theta  }  \right) \sin { \theta  } d\theta  }  } $$

$$ u=\cos { \theta  } \\ \theta =\cos ^{ -1 }{ u } \\ d\theta =-\frac { du }{ \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } }  }  $$

$$ \sin { \theta  } =\sqrt { 1-\cos ^{ 2 }{ \theta  }  } =\sqrt { 1-{ u }^{ 2 } } $$

Límites de integración: $ { u }_{ 2 }=\cos { \pi  } =-1 $ y $ { u }_{ 1 }=\cos { 0 } =1 $:

$$ \int _{ 0 }^{ \pi  }{ \sin ^{ 3 }{ \theta  } d\theta  } =\int _{ 1 }^{ -1 }{ -\left( 1-{ u }^{ 2 } \right) \frac { \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } }  }{ \sqrt { 1-{ u }^{ 2 } }  } du } =\int _{ 1 }^{ -1 }{ \left( { u }^{ 2 }-1 \right) du } ={ \frac { { u }^{ 3 } }{ 3 } -u }_{ 1 }^{ -1 }=\frac { 4 }{ 3 } $$

En conclusión:

$$ { I }_{ esfera\quad hueca }=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2 } ·\frac { 4 }{ 3 } =\frac { 2M{ R }^{ 2 } }{ 3 } $$

Momento de inercia de un arco de circunferencia (eje ortogonal que pasa por el centro de masas):

Teniendo en cuenta la imagen que he creado, se observa que es similar al otro ejercicio que habíamos realizado. Volvemos a tener que expresar una variable $ r $ en otra con la que podremos sumar todos las masas que pertenecen al arco. Como la masa la forma un arco, la densidad será lineal (primera dimensión). Según la definición diferencial de densidad lineal: $ \lambda =\frac { dm }{ dl } $

La integral que expresa el momento de inercia queda entonces:

$$ I=\lambda \int { { r }^{ 2 }dl } \\ I=\frac { M }{ l } \int { { r }^{ 2 }dl } $$

Los elementos que debemos usar son tan simples como conocer la definición diferencial de arco de circunferencia $ dl $, visto en el dibujo, y la longitud de la circunferencia completa $ l $:

$$ I=\frac { M }{ 2\pi R } \int { { r }^{ 2 }R·d\theta  } $$

Ahora deberemos expresar el radio variable $ r $ en función del ángulo que forma el radio y el centro $ \theta  $ usando trigonometría:

$$ \sin { \theta  } =\frac { co }{ h } $$

Viendo el dibujo:

$$ sin\theta =\frac { r }{ R } $$

Sustituyendo en la ecuación:

$$ I=\frac { M }{ 2\pi R } \int { { R }^{ 2 }·\sin ^{ 2 }{ \theta  } ·R·d\theta  } =\frac { M }{ 2\pi R } \int { { R }^{ 3 }·\sin ^{ 2 }{ \theta  } ·d\theta  } $$

Como el radio $ R $ no es variable, se puede extraer de la integral:

$$ I=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi  } \int { \sin ^{ 2 }{ \theta  } ·d\theta  } $$

Como debemos sumar todas las masas de la circunferencia, hay que evaluar la integral entre el valor mínimo y máximo del ángulo que se puede formar, $ 0 $ radianes y $ 2\pi $ radianes:

$$ I=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi  } \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \sin ^{ 2 }{ \theta  } ·d\theta  } $$

Para poder efectuar la integral, debemos disminuir el exponente del seno, por lo que usamos la igualdad $ \sin ^{ 2 }{ \theta  } =\frac { 1-\cos { 2\theta  }  }{ 2 } $:

$$ \int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \sin ^{ 2 }{ \theta  } ·d\theta  } =\int _{ 0 }^{ 2\pi  }{ \left( \frac { 1-\cos { 2\theta  }  }{ 2 }  \right) d\theta  } $$

Aplicando un cambio de variable:

$$ u=2\theta \\ \theta =\frac { u }{ 2 } \\ d\theta =\frac { du }{ 2 } $$

Evaluando los nuevos límites de integración:

$$ { u }_{ 2 }=2·2\pi =4\pi \\ { u }_{ 1 }=2·0=0 $$

$$ \int _{ 0 }^{ 4\pi  }{ \left( \frac { 1-\cos { u }  }{ 2 }  \right) \frac { du }{ 2 }  } =\frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 4\pi  }{ \left( 1-\cos { u }  \right) du } $$

Y usando las reglas de integración:

$$ \frac { 1 }{ 4 } \int _{ 0 }^{ 4\pi  }{ \left( 1-\cos { u }  \right) du } =\frac { 1 }{ 4 } { \left( u-\sin { u }  \right)  }_{ 0 }^{ 4\pi  }=\pi $$

Sustituyendo el valor de la integral:

$$ { I }_{ arco\quad ortogonal }=\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2\pi  } ·\pi =\frac { M{ R }^{ 2 } }{ 2 } $$

Ley de los gases ideales y reales

Ley de los gases reales:

Los gases ideales son aquellos cuyas partículas no interactúan entre sí. Debido a esta propiedad, tenemos la ecuación de estado, pudiéndose representar usando la cantidad de sustancia o el número de partículas:

La forma común es:

$$PV=nRT$$

• P es la presión absoluta (comúnmente expresada en atmósferas (atm) o en mmHg)
• V es el volumen (comúnmente expresado en litros o en metros cúbicos)
• n es la cantidad de sustancia en moles
• R es la constante universal de los gases ideales, cuyo valor teniendo en cuenta en unidades cambiantes litros y atmósferas es: $R=0'082057366081\frac { atm\cdot L }{ K\cdot mol } $
• T es la temperatura absoluta, medida en Kelvin (K)

La forma cinético molecular es:

$$PV=N\cdot { k }_{ B }\cdot T$$

• P es la presión absoluta en unidades del Sistema Internacional de Unidades, es decir, pascales (Pa)
• V es el volumen expresado en unidades del Sistema Internacional de Unidades, metros cúbicos
• N es el número de partículas en el gas ideal
• k_B es la constante de Boltzmann, cuyo valor es, en el Sistema Internacional de Unidades: ${ k }_{ B }=1'3806488\left( 13 \right) \cdot { 10 }^{ -23 }\frac { J }{ K } $
• T es la temperatura absoluta, medida en Kelvin (K)

Leyes de los gases y unidades de temperatura

Según los experimentos de Gay-Lussac, Charles, Boyle y Mariotte, podemos obtener la siguiente expresión fisica:

$$\frac { PV }{ T } =K$$

$$\frac { { P }_{ 1 }{ V }_{ 1 } }{ { T }_{ 1 } } =\frac { { P }_{ 2 }{ V }_{ 2 } }{ { T }_{ 2 } } $$

Si mantenemos una de las magnitudes constante podemos obtener las principales leyes de los gases:

Ley de Boyle-Mariotte

Esta ley se aplica cuando la temperatura es constante. Teniendo en cuenta la ley general de los gases, obtenemos que:

$$PV=k$$

$${ P }_{ 1 }{ V }_{ 1 }={ P }_{ 2 }{ V }_{ 2 }$$

Como el volumen es inversamente proporcional a la presión que ejerce el gas, la función que describe la gráfica P-V es una hipérbola.

Ley de Charles

La ley la aplicamos cuando la presión es constante. Usando de nuevo la ley general de los gases, tenemos que:

$$\frac { V }{ T } =k$$

$$\frac { { V }_{ 1 } }{ { T }_{ 1 } } =\frac { { V }_{ 2 } }{ { T }_{ 2 } } $$

Al ser la temperatura directamente proporcional al volumen del gas, la gráfica V-T es una recta.

Ley de Gay-Lussac

Esta ley se aplica cuando el volumen es constante. Usando la ley general de los gases tenemos:

$$\frac { P }{ T } =k$$

$$\frac { { P }_{ 1 } }{ { T }_{ 1 } } =\frac { { P }_{ 2 } }{ { T }_{ 2 } } $$

La gráfica P-T también forma una recta.

Nota: Siempre que usemos las leyes, tenemos que usar la temperatura absoluta, es decir, la unidad de temperatura tiene que ser Kelvin (K).

Temperatura:

Es una magnitud que se encarga de medir las nociones de calor. Además, es una magnitud escalar, por lo que no tiene dirección, sentido ni punto de aplicación:

En cuanto a unidades, podemos distinguir tres unidades principales, aunque hay varias más:

Celsius:

Definida por Celsius, se describe como:

$$T\left( ºC \right) =T\left( K \right) -273'15$$

Se mide en grados centígrados (grados Celsius), su símbolo es ºC y es la resta del equivalente de la temperatura en Kelvin y 273'15.

Kelvin:

Definida por Kelvin, se describe como:

$$T\left( K \right) =T\left( ºC \right) +273'15$$

Se mide en Kelvin, su símbolo es K y es la suma entre su equivalente en grados Celsius y 273'15. Además, es la unidad básica de temperatura en el Sistema Internacional de Unidades.

Fahrenheit:

Definida por Fahrenheit, se describe como:

$$T\left( ºF \right) =T\left( ºC \right) \cdot \frac { 9 }{ 5 } +32$$

Se mide en Fahrenheit, su símbolo es ºF y es la suma entre el producto de su equivalente en grados Celsius con 1'8 y 32.

PRUEBA ESCRITA (2ª EVAL.) DE FÍSICA Y QUÍMICA. 1º BACHI. TERMODINÁMICA

1.- Ajuste las siguientes reacciones químicas y di de qué tipo son:

$${ C }_{ 6 }{ H }_{ 12 }O_{ 6 }\quad \rightarrow \quad { C }_{ 2 }{ H }_{ 6 }O\quad +\quad C{ O }_{ 2 }$$

Esta primera la haré algebraicamente. Como es innecesario, solo explicaré cómo se hace en esta primera. Las demás las haré mediante tanteo:

$$a{ C }_{ 6 }{ H }_{ 12 }O_{ 6 }\quad \rightarrow \quad { bC }_{ 2 }{ H }_{ 6 }O\quad +\quad cC{ O }_{ 2 }$$

Asignamos una constante delante de cada reactivo o producto.

Usando un sistema de ecuaciones, escribimos cuánto de cada compuesto hay en cada reactivo y producto, en forma de reacción:

$$C:\quad 6a=2b+c\\ H:\quad 12a=6b\\ O:\quad 6a=b+2c$$

Asignamos un valor cualquiera (se recomienda el uso de 1) a cualquiera de las constantes. Yo usaré a=1. Los resultados son:

$$a=1\\ b=2\\ c=2$$

Escribimos los resultados en la reacción y ya está ajustada:

$${ C }_{ 6 }{ H }_{ 12 }O_{ 6 }\quad \rightarrow \quad 2{ C }_{ 2 }{ H }_{ 6 }O\quad +\quad 2C{ O }_{ 2 }$$

Como es un único reactivo que se descompone en varios productos, se trata de una reacción de descomposición.

$${ H }_{ 2 }S\quad +\quad Al\quad \rightarrow \quad { Al }_{ 2 }{ S }_{ 3 }\quad +\quad { H }_{ 2 }$$

$${ 3H }_{ 2 }S\quad +\quad 2Al\quad \rightarrow \quad { Al }_{ 2 }{ S }_{ 3 }\quad +\quad { 3H }_{ 2 }$$

Al ser cambiado un elemento de un compuesto a otro, es una reacción de sustitución.

$${ H }_{ 2 }O\quad +\quad { N }_{ 2 }{ O }_{ 5 }\quad \rightarrow \quad HN{ O }_{ 3 }$$

$${ H }_{ 2 }O\quad +\quad { N }_{ 2 }{ O }_{ 5 }\quad \rightarrow \quad 2HN{ O }_{ 3 }$$

Al formar varios reactivos un único producto diferente, es una reacción de síntesis.

$$AgN{ O }_{ 3 }\quad +\quad NaCl\quad \rightarrow \quad AgCl\quad +\quad NaN{ O }_{ 3 }$$

La reacción ya está ajustada. Además, como todos los reactivos se agrupan formando productos nuevos de forma que un compuesto pase a otro y viceversa, es una reacción de sustitución doble.

2.- El carbonato de calcio, CaCO₃ sólido, de la roca caliza se descompone al ser calentado en óxido de calcio CaO sólido, y dióxido de carbono CO₂ gaseoso. Si se calcinan 500 g de roca caliza al 75% de riqueza en carbonato de calcio.

DATO: masas atómicas: Ca = 40g/mol; O = 16g/mol; C = 12g/mol; 1 atm = 760 mmHg 

                                            R = 0'082 atm·L/K·mol

a) Calcula la cantidad de CaO que se producirá.

Empezamos escribiendo la reacción, que está dada ajustada:

$$CaC{ O }_{ 3 }\quad \rightarrow \quad CaO\quad +\quad C{ O }_{ 2 }$$

La reacción indica que un mol de carbonato cálcico se descompone en óxido cálcico y en óxido carbónico. Por ello, sabemos que un mol de óxido cálcico nos dará un mol de óxido cálcico. Con las masas atómicas, podemos averiguar los gramos que contiene un mol de cada compuesto, pudiendo usar una proporción para obtener la cantidad de sustancia que se nos pide. Pero antes, tenemos que multiplicar la masa de roca caliza por el porcentaje de su riqueza en carbonato cálcico:

$${ m }_{ CaC{ O }_{ 3 } }=500g\cdot 0'75=375g$$

Una vez tenemos la masa, la usamos para obtener la masa de CaO que necesitamos:

$$\frac { 375g }{ 40g+12g+16\cdot 3g } =\frac { { m }_{ CaO } }{ 40g+16g } \quad { m }_{ CaO }=210g$$

Una vez tenemos la masa, vamos a pasarlo a moles porque se nos pide la cantidad de sustancia de CaO. Usamos la relación masa-masa molecular:

$$\frac { m }{ M } =n\quad { n }_{ CaO }=\frac { 210g }{ 56\frac { g }{ mol }  } =3'75moles\quad $$

b) Calcula el volumen de CO₂ que se obtendrá a 20ºC y 700 mmHg.

Necesitamos usar la ecuación de estado de los gases ideales:

$$PV=nRT$$

Ya que en todos los productos y reactivos un mol origina un mol a otro, la cantidad de sustancia (n) del óxido carbónico es también 3,75 moles. Usando esto:

$$V=\frac { 3'75moles\cdot 0'082\frac { atm\cdot L }{ mol\cdot K } \cdot 293'15K }{ \frac { 35 }{ 38 } atm } \approx 97'9388L$$

Nota: Dependiendo de la constante universal de los gases ideales la presión o el volumen habrá que ser expresado en unas unidades u otras.

3.- El hierro se obtiene en los altos hornos haciendo reaccionar los minerales de hierro, como el Fe₂O₃, con monóxido de carbono, según la reacción:

$${ Fe }_{ 2 }{ O }_{ 3 }\quad +\quad CO\quad \rightarrow \quad Fe\quad +\quad C{ O }_{ 2 }$$

Ajustada es:

$${ Fe }_{ 2 }{ O }_{ 3 }\quad +\quad 3CO\quad \rightarrow \quad 2Fe\quad +\quad 3C{ O }_{ 2 }$$

Si tenemos un mineral que contiene 1000 kg de Fe₂O₃, ¿cuántos kilogramos de hierro obtendremos si el rendimiento del proceso es del 75,2%?

DATOS: masas atómicas: Fe = 55'8 g/mol; O = 16 g/mol; C = 12 g/mol.

Empezaremos usando proporciones para obtener la masa de hierro. Nota: Como tenemos dos moles de hierro, usaremos una proporción en la que un mol de óxido férrico dé lugar a dos moles de hierro:

$$\frac { 1000000g }{ 159'6g } =\frac { { m }_{ Fe } }{ 2\cdot 55'8g } \quad { m }_{ Fe }\approx 699'2481kg\quad teóricos$$

Como hemos obtenido la masa de hierro teórica, tenemos que usar la ecuación del rendimiento para poder hallar la masa real obtenida:

$$Rendimiento=\frac { Masa\quad real\quad obtenida }{ Masa\quad teórica } $$

$${ m }_{ r }=699'2481kg\cdot 0'752=525'8346kg\quad reales$$

4.- Para obtener nitrato de potasio KNO₃, muy utilizado como fertilizante, es mediante la reacción:

$$KCl\quad +\quad NaN{ O }_{ 3 }\quad \rightarrow \quad KN{ O }_{ 3 }\quad +\quad NaCl$$

La reacción ya está ajustada.

Agregamos 100 kg de KCl_(s) a 400 L de disolución caliente de NaNO₃ del 40% y densidad 1,256 g/cm³. Indica:

a) ¿Cuál de los reactivos actúa como limitante? ¿Qué cantidad de reactivo queda en exceso?

DATOS: K = 39'1 g/mol; O = 16 g/mol; Na = 23 g/mol; N = 14 g/mol; Cl = 35,5

Para empezar, pasaremos los litros a centrímetros cúbicos. A partir de la densidad, obtendremos la masa y usaremos el porcentaje de riqueza de la disolución para obtener la masa total:

$$V=400L\cdot \frac { 1{ dm }^{ 3 } }{ 1L } \cdot \frac { 1000{ cm }^{ 3 } }{ 1{ dm }^{ 3 } } =400000{ cm }^{ 3 }\\ { m }_{ NaN{ O }_{ 3 } }=V\cdot \rho =400000{ cm }^{ 3 }\cdot 1'256\frac { g }{ { cm }^{ 3 } } =502400g\\ { m }_{ real }=502400g\cdot 40%=200960g$$

A continuación, usaremos una de las dos masas en proporción sin tener en cuenta la otra masa que se nos da. Si el resultado de la masa que obtenemos es menor al que se nos da, el limitante es el otro reactivo. Si el resultado de la masa que obtenemos es mayor al que se nos da, este último es el reactivo limitante:

$$\frac { 100000g }{ 74'6g } =\frac { { m }_{ NaN{ O }_{ 3 } } }{ 85g } \quad { m }_{ NaN{ O }_{ 3 } }=113941'0188g$$

Esta masa es menor a la que habíamos obtenido a partir del volumen. Esto implica un exceso de masa en el nitrato sódico. Por ello, el otro reactivo, cloruro potásico, ha de ser el reactivo limitante. El exceso de reactivo es la resta de las masas:

$${ Exceso }_{ NaN{ O }_{ 3 } }={ m }_{ r }-{ m }_{ t }=200960g-113941'0188g=87'019kg$$

b) La cantidad de KNO₃ obtenida, si el rendimiento de la reacción es del 80%.

Como el reactivo nitrato sódico está en exceso, debemos usar el reactivo limitante como proporción con el nitrato potásico:

$$\frac { 100000g }{ 74'6g } =\frac { { m }_{ { KN{ O }_{ 3 } } } }{ 101'1g } \quad { m }_{ { KN{ O }_{ 3 } } }=135'5228kg\quad teóricos$$

Como la reacción es del 80%, deberemos hallar la masa real obtenida:

$${ m }_{ { KN{ O }_{ 3 } } }=135'5228kg\cdot 80%=108'418kg\quad reales$$

5.- Si 5 litros de gas se calientan a presión constante de 2 atm hasta que su volumen se duplica, ¿cuál es, en julios el trabajo realizado por el gas?

Como la presión es constante, deducimos que el proceso es isobárico. La ecuación en estos casos es esta:

$$dW=-Fdx\quad F=pA\\ dW=-pAdx\\ dW=-pdV\\ \int _{ 1 }^{ 2 }{ W } =-p\int _{ { V }_{ 0 } }^{ V }{ dV } \\ W=-p\left( V-{ V }_{ 0 } \right) =-p\Delta V$$

Como se nos indica que el volumen final es el doble que el inicial, deducimos que el trabajo realizado por el gas es:

$$W=-2atm\cdot \left( 10L-5L \right) =-10atm\cdot L\cdot \frac { 101300Pa }{ 1atm } \cdot \frac { 1{ m }^{ 3 } }{ 1000L } =-1013J$$

¿Cuánto vale la variación de energía interna en los sistemas aislados? ¿Por qué?

$\Delta U=W$ La variación de energía interna es igual al trabajo en los sistemas aislados o adiabáticos. Esto se debe a que, según el primer principio de la termodinámica, la variación de energía interna es la suma del calor y el trabajo intercambiados en el entorno. Por esto, si el calor es nulo, solo el trabajo queda igualado a la variación de energía interna.


6.- Calcula la entalpía de formación estándar del alcohol metílico (CH₃OH), aplicando la ley de Hess, comprobando las ecuaciones termoquímicas y las entalpías:

$${ C }_{ \left( s \right)  }\quad +\quad { H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { C{ H }_{ 3 }OH }_{ \left( l \right)  }$$

Ajustada:

$${ C }_{ \left( s \right)  }\quad +\quad 2{ H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { C{ H }_{ 3 }OH }_{ \left( l \right)  }$$

Sabiendo las entalpías de las siguientes reacciones:

${ C{ H }_{ 3 }OH }_{ \left( l \right)  }\quad +\quad { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { CO }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad { { H }_{ 2 }O }_{ \left( l \right)  }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta { { H }_{ 1 } }º=-726'1\frac { kJ }{ mol } $

${ C }_{ \left( s \right)  }\quad +\quad { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { CO }_{ 2\left( g \right)  }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta { { H }_{ 2 } }º=-393'5\frac { kJ }{ mol } \quad \quad \quad $

${ H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { { H }_{ 2 }O }_{ \left( l \right)  }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta { { H }_{ 3 } }º=-285'8\frac { kJ }{ mol } $

Las ajustaremos de forma que se nos quede un mol de dióxido de carbono, que queremos eliminar. Normalmente se dan ajustadas. Si no están ajustadas, pueden originar confusión y la solución no será siempre correcta. Por ello, si no está ajustada, tendremos que ajustarla de forma que tengamos un mol de lo que queramos eliminar en dos de las reacciones. Ajustadas serían:

${ C{ H }_{ 3 }OH }_{ \left( l \right)  }\quad +\quad \frac { 3 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { CO }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad 2{ { H }_{ 2 }O }_{ \left( l \right)  }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta { { H }_{ 1 } }º=-726'1\frac { kJ }{ mol } \\ { C }_{ \left( s \right)  }\quad +\quad { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { CO }_{ 2\left( g \right)  }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta { { H }_{ 2 } }º=-393'5\frac { kJ }{ mol } \quad \quad \quad \\ { H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { { H }_{ 2 }O }_{ \left( l \right)  }\quad \quad \quad \quad \quad \quad \quad \Delta { { H }_{ 3 } }º=-285'8\frac { kJ }{ mol } $

Simplemente, cogemos la reacción inicial y miramos qué necesitamos. Empezaremos por el metanol (alcohol metílico). Necesitamos un mol en la reacción. Tenemos un mol en la primera reacción que se nos da (combustión del metanol). La única diferencia es que en la reacción que necesitamos tenemos el metanol como producto, y en la reacción que se nos da lo tenemos en reactivo. Para obtenerlo como producto, giramos la reacción. Para ello, todos los reactivos se volverán productos y viceversa. Una vez los hayamos traspuesto, la entalpía cambia de signo, por lo que:

${ CO }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad 2{ { H }_{ 2 }O }_{ \left( l \right)  }\quad \rightarrow \quad { C{ H }_{ 3 }OH }_{ \left( l \right)  }\quad +\quad \frac { 3 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \quad \Delta { { H }_{ 1 } }º=726'1\frac { kJ }{ mol } $

Ahora seguiremos con el grafito (carbono sólido). Con este no hay que hacer nada, ya que lo tenemos como reactivo y tiene el mismo número de moles que necesitamos, es decir, uno.

Con el hidrógeno el único cambio que hay que hacer es de moles, pues necesitamos tener dos moles y solo tenemos uno. Por ello, multiplicamos toda la reacción por dos. Esto cambia la entalpía, que la multiplica por dos. El resultado es:

$2{ H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad 2{ { H }_{ 2 }O }_{ \left( l \right)  }\quad \quad \Delta { { H }_{ 3 } }º=2\left( -285'8 \right) \frac { kJ }{ mol } =-571'6\frac { kJ }{ mol } $

Ahora, para comprobar que la suma de las reacciones es igual a la reacción que necesitamos, sumamos todos los reactivos y productos, viendo cuáles podemos eliminar:

${ CO }_{ 2\left( g \right)  }+2{ { H }_{ 2 }O }_{ \left( l \right)  }+{ C }_{ \left( s \right)  }+{ O }_{ 2\left( g \right)  }+2{ H }_{ 2\left( g \right)  }+{ O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { C{ H }_{ 3 }OH }_{ \left( l \right)  }+\frac { 3 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }+{ CO }_{ 2\left( g \right)  }+2{ { H }_{ 2 }O }_{ \left( l \right)  }$

El resultado es:

$${ C }_{ \left( s \right)  }\quad +\quad 2{ H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { C{ H }_{ 3 }OH }_{ \left( l \right)  }$$

Esta es la reacción que necesitamos. Al sumar todas las reacciones, lo mismo pasa con las entalpías, que formarán la entalpía de formación estándar de la síntesis del metanol:

${ C }_{ \left( s \right)  }\quad +\quad 2{ H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { C{ H }_{ 3 }OH }_{ \left( l \right)  }$

${ \Delta  }_{ f }Hº=\sum { \Delta Hº } =726'1\frac { kJ }{ mol } +\left( -393'5 \right) \frac { kJ }{ mol } +\left( -571'6 \right) \frac { kJ }{ mol } =-239\frac { kJ }{ mol }  $


7.- a) Calcula la variación de entropía, en condiciones estándar, de la reacción de descomposición del amoniaco (NH₃ (g) en H₂ (g) y N₂ (g)).
DATOS: Sº(NH₃) = 192,3 J/mol·K ; Sº(N₂) = 191,5 J/mol·K ; Sº(H₂) = 130,7 J/mol·K

La reacción ajustada es (si descomponemos dos moles de amoniaco):

$$2N{ H }_{ 3\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad 3{ H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad { N }_{ 2\left( g \right)  }$$

Como la entropía es una función de estado, debemos usar esta ecuación:

$$\Delta { Sº }_{ reacción }=\sum { n{ Sº }_{ productos } } -\sum { n'{ Sº }_{ reactivos } } $$

Teniendo en cuenta los moles de la reacción ya ajustada, podemos deducir que:

$\Delta { Sº }_{ reacción }=\left( 3moles\cdot 130'7\frac { J }{ mol\cdot K } +1mol\cdot 191'5\frac { J }{ mol\cdot K }  \right) -2moles\cdot 192'3\frac { J }{ mol\cdot K } =199\frac { J }{ K } $

b) Calcula la variación de entropía al formarse H₂O (l) a partir de H₂ (g) y O₂ (g).

DATOS: Sº(H₂O) = 69,80 J/mol·K ; Sº(H₂) = 130,7 J/mol·K ; Sº(O₂) = 204,8 J/mol·K

La reacción ajustada es (si formamos un mol de agua):

$${ H }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { H }_{ 2 }{ O }_{ \left( l \right)  }$$

La variación de entropía en condiciones estándar es:

$$\Delta { Sº }_{ reacción }=\left( 1mol\cdot 69'80\frac { J }{ mol\cdot K }  \right) -\left( 1mol\cdot 130'7\frac { J }{ mol\cdot K } +0'5moles\cdot 204'8\frac { J }{ mol\cdot K }  \right) =-163'3\frac { J }{ K } $$

8.- La descomposición del monóxido de dinitrógeno transcurre según la reacción:

$${ N }_{ 2 }{ O }_{ \left( g \right)  }\quad \rightarrow \quad { N }_{ 2\left( g \right)  }\quad +\quad \frac { 1 }{ 2 } { O }_{ 2\left( g \right)  }$$

Siendo ΔSº = 75,2 J y ΔHº = 43,9 kJ/K.
Calcula la variación de la energía libre de Gibbs a las temperaturas de 25ºC y de 330ºC. ¿Es espontánea la reacción a esas temperaturas?

La ecuación de la variación de energía de Gibbs es:

$$\Delta Gº=\Delta Hº-T\Delta Sº$$

Por ello:

$$\Delta { Gº }_{ 298'15K }=43900J-298'15K\cdot 75'2\frac { J }{ K } =21479,12J$$

Como la energía de Gibbs es mayor a 0, el proceso no se da, por lo que no es espontánea la reacción.

$$\Delta { Gº }_{ 603'15K }=43900J-603'15K\cdot 75'2\frac { J }{ K } =-1456'88J$$

Como la energía de Gibbs es menor a 0, el proceso es espontáneo.

Examen de límites y derivadas de Matemáticas. 1º Bachillerato. Tercer trimestre.

Ejercicio 1

Dibuja la función y estudia su continuidad:   $ f(x)=\begin{cases} \left| x+3 \right| \quad si\quad x\le -1 \\ -{ x }^{ 2 }+4\quad si\quad x>-1 \end{cases}$

Para ver si es continua o no, tenemos que ver el límite en cada uno de los trozos cuando x tiende a 1. Si ambos límites laterales coinciden, la función es continua. En la propia imagen ya vemos que no es continua.

$$\lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ - } }{ \left| x+3 \right|  } =\left| { 1 }^{ - }+3 \right| =4\\ \lim _{ x\rightarrow { 1 }^{ + } }{ -{ x }^{ 2 }+4 } =-{ 1 }^{ 2 }+4=3$$

Como vemos, los límites laterales son distintos. Por ello, la función no es continua.

Ejercicio 2 (Realizar 2 de los 3):

Calcula:

$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 2-3{ x }^{ 3 } }{ 2{ x }^{ 3 }-3x+7 }  } $$

Forma 1:

Como la indeterminación es infinito entre infinito y los factores de mayor grado del numerador y el denominador son los mismos, es decir, 3 y 3, dividimos las constantes que multiplican al tercer grado. Ese sería el límite:

$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 2-3{ x }^{ 3 } }{ 2{ x }^{ 3 }-3x+7 }  } =\frac { -3 }{ 2 } =-1'5$$

Forma 2:

Como tenemos indeterminación infinito entre infinito, podemos derivar tanto el numerador como el denominador hasta evitar la indeterminación. Una vez no haya indeterminación, podremos obtener un límite. Esa sería la respuesta:

$$\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 2-3{ x }^{ 3 } }{ 2{ x }^{ 3 }-3x+7 }  } =\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { -9{ x }^{ 2 } }{ 6{ x }^{ 2 }-3 }  } =\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { -18x }{ 12x }  } =\lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { -18 }{ 12 }  } =-1'5$$

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \left( \frac { 2x+1 }{ x-3 } -\frac { 4 }{ x+3 }  \right)  } $$

Si operamos el límite, obtendremos la indeterminación infinito menos infinito. Para evitar, usaremos un denominador común, para obtener así una fracción que podemos operar. Además, podemos usar un producto notable para encontrar un denominador común:

$$\left( a+b \right) \left( a-b \right) ={ a }^{ 2 }-{ b }^{ 2 }$$

Usando esto:

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \left( \frac { 2x+1 }{ x-3 } -\frac { 4 }{ x+3 }  \right)  } =\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { 2{ x }^{ 2 }+3x+15 }{ { x }^{ 2 }-9 } = } \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { 4{ x }+3 }{ 2x } = } \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { 4 }{ 2 } =2 } $$

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \left( \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } -x \right)  } $$

Con este límite, nos surge la misma indeterminación que en la anterior. Por ello, eliminaremos la raíz multiplicando por el conjugado, para así poder usar el producto notable usado en el anterior límite. Obtendremos así una fracción, que podremos operar. Aquí la solución:

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \left( \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } -x \right)  } =\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \left( \left( \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } -x \right) \cdot \frac { \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } +x }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } +x }  \right) = } \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \left( \frac { -1 }{ \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } +x }  \right)  } $$

Si usáramos la regla de L'Hôpital, perderíamos la constante -1, que se derivaría en 0, haciendo que el resultado final sea 0:

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \left( \sqrt { { x }^{ 2 }-1 } -x \right)  } =0$$

Ejercicio 3

Halla todas las asíntotas de UNA de las DOS funciones racionales y la posición de la curva respecto de ellas:

$$f(x)=\frac { { x }^{ 2 }+4x+3 }{ { x }^{ 2 }+x-6 } $$

Empezaremos con las asíntotas verticales. Estas asíntotas surgen cuando el denominador es cero. Por ello, tendremos que obtener las raíces del denominador, cuyo valor serán las asíntotas verticales:

$${ x }^{ 2 }+x-6=0$$

La asíntota vertical es:

$$x=2$$

Nota: x=-3 es una pseudoasíntota, si intentamos ver a qué tiende el límite cuando se aproxima a -3, veremos una indeterminación de cero entre cero, pudiendo ser resueltos mediante diferenciación:

Para ver la posición relativa de la curva, basta con ver los límites laterales de cada asíntota:

$$\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 2 }+4x+3 }{ { x }^{ 2 }+x-6 } =-\infty  } \quad \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ \frac { { x }^{ 2 }+4x+3 }{ { x }^{ 2 }+x-6 } =+\infty  }  $$

Si el límite es más infinito, la curva pasa por arriba. Si es menos infinito, la curva pasa por debajo.

Como el denominador y el numerador tienen el mismo grado, descartamos la posibilidad de tener asíntotas oblicuas, por lo que tiene que tener una asíntota horizontal. Esta asíntota es equivalente al límite de la función cuando tiende a infinito:

$$\lim _{ x\rightarrow \infty  }{ \frac { { x }^{ 2 }+4x+3 }{ { x }^{ 2 }+x-6 } =\frac { 2 }{ 2 } =1 } $$
$$y=1$$

Para ver la posición relativa, realizamos el límite cuando tiende a más menos infinito de la función menos el valor del límite cuando tiende a infinito:

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { { x }^{ 2 }+4x+3 }{ { x }^{ 2 }+x-6 } -1= } \lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { 3x+9 }{ { x }^{ 2 }+x-6 } = } { 0 }^{ + }\\ \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { { x }^{ 2 }+4x+3 }{ { x }^{ 2 }+x-6 } -1= } \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 3x+9 }{ { x }^{ 2 }+x-6 } = } { 0 }^{ - }$$

Si el valor es un poco mayor a cero, la curva pasa por arriba. Si es un poco menor que cero, la curva pasa por debajo.

Aquí dejo la gráfica construida, para que vean cómo es correcto:

$$f(x)=\frac { { x }^{ 2 }-3x+3 }{ x-2 } $$

La asíntota vertical es x=2, y como no crea indeterminación en el límite, es asíntota real:

$$x-2=0\\ x=2$$

$$\lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ + } }{ \frac { { x }^{ 2 }-3x+3 }{ x-2 } =+\infty  } \quad \lim _{ x\rightarrow { 2 }^{ - } }{ \frac { { x }^{ 2 }-3x+3 }{ x-2 } =-\infty  } $$

La conclusión se basa en lo mismo que está dicho en la explicación de la anterior función racional.

Para hallar la asíntota oblicua, realizamos una división de polinomios. El resultado será una recta con pendiente. El resto no hay que tenerlo en cuenta.

$$\frac { { x }^{ 2 }-3x+3 }{ x-2 } =x-1+\frac { 1 }{ x-2 } \\ \\ y=x-1$$

La asíntota es y=x-1. La posición relativa la obtendremos usando un límite cuando el resto entre el divisor tiende a más menos infinito:

$$\lim _{ x\rightarrow +\infty  }{ \frac { 1 }{ x-2 } = } { 0 }^{ + }\quad \lim _{ x\rightarrow -\infty  }{ \frac { 1 }{ x-2 } = } { 0 }^{ - }$$

Si el límite es un poco mayor a cero, la curva se encuentra encima de la asíntota. Si es un poco menor a cero, la curva está por debajo a la asíntota.

Aquí dejo la gráfica construida, para que vean cómo es correcto:

Ejercicio 4

a)  Aplicando la definición de derivada, obtén la pendiente de la recta tangente curva en el punto de abscisa indicado.

$$f(x)={ \left( x-1 \right)  }^{ 2 }\quad \quad en\quad x=1$$

Con definición de derivada, se está refiriendo al cociente diferencial de Newton. Corresponde a:

$$f^{ ' }\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { f\left( x+h \right) -f\left( x \right)  }{ h }  } $$

Usando este límite, podemos obtener la derivada en forma de función, sin tener que usar las reglas de diferenciación:

$$f^{ ' }\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { \left( x+h-1 \right)  }^{ 2 }-{ \left( x-1 \right)  }^{ 2 } }{ h } =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \frac { { x }^{ 2 }+{ h }^{ 2 }+2xh+1-2x-2h-{ x }^{ 2 }-1+2x }{ h }  }  } \\ f^{ ' }\left( x \right) =\lim _{ h\rightarrow 0 }{ \left( h+2x-2 \right) =2x-2=2\cdot \left( x-1 \right)  } $$

Si sabemos derivar, sabremos que el resultado es el mismo que aplicar las reglas. Ahora, sustituyendo la abscisa, tenemos que:

$$f^{ ' }\left( 1 \right) =2\cdot \left( 1-1 \right) =0$$

b) Determina la ecuación de las rectas tangente y normal a f(x) en x=1.

Como sabemos, el valor de la derivada en un punto es el valor de la pendiente de la recta. Para obtener esta recta, usaremos la forma de la recta punto-pendiente. La ecuación es:

$$y={ y }_{ 1 }+m\cdot \left( x-{ x }_{ 1 } \right) $$

La pendiente es la derivada en el punto dado. La ordenada y abscisa con subíndice 1 son el punto de la función original en la que queremos obtener la recta tangente, es decir (1,0). Por ello:

$$y=0+0\cdot \left( x-1 \right) \\ y=0$$

Para obtener la recta normal, tendremos que obtener una recta ortogonal a la recta tangente. Para ello, realizamos la inversa de la pendiente y cambiamos su signo:

$$y=0+-\frac { 1 }{ 0 } \cdot \left( x-1 \right) \\ y=-\frac { 1 }{ 0 } \cdot \left( x-1 \right) \\ x=1$$

Aquí una gráfica para que vean las rectas tangente y normal:

La recta verde es la recta tangente a la abscisa x=1 y la recta azul es la recta normal a dicha abscisa.

Ejercicio 5 (Elegir dos de las tres opciones)

Obtén la derivada de las funciones:

a) $$f\left( x \right) =\frac { x }{ \sqrt { x-1 }  } $$

Como tenemos un cociente de dos funciones con variables, podemos usar la ecuación de diferenciación en cocientes, que corresponde a:

$$f\left( x \right) =\frac { u }{ v } \quad f^{ ' }\left( x \right) =\frac { { u }^{ ' }v-u{ v }^{ ' } }{ { v }^{ 2 } } $$

Por ello:

$$f^{ ' }\left( x \right) =\frac { 1\cdot \sqrt { x-1 } -\frac { x }{ 2\sqrt { x-1 }  }  }{ x-1 } =\frac { x-2 }{ 2\cdot \sqrt { { \left( x-1 \right)  }^{ 3 } }  }$$

b) $$f\left( x \right) =\left( \frac { 3 }{ 4 } { x }^{ 4 }-1 \right) \cdot { e }^{ x }$$

Aquí debemos usar la ecuación de diferenciación en productos, correspondiente a:

$$f\left( x \right) =u\cdot v\quad f^{ ' }\left( x \right) ={ u }^{ ' }v+u{ v }^{ ' }$$

La solución es:

$$f^{ ' }\left( x \right) =\left( 3{ x }^{ 3 } \right) \cdot { e }^{ x }+\left( \frac { 3 }{ 4 } { x }^{ 4 }-1 \right) \cdot { e }^{ x }=\left( 3{ x }^{ 3 }+\frac { 3 }{ 4 } { x }^{ 4 }-1 \right) \cdot { e }^{ x }$$

c) $$f\left( x \right) =\sqrt { \ln { \frac { 10x+4 }{ 10x-4 }  }  } $$

Esta derivada se centra en el uso de la regla de la cadena. Debemos derivar la raíz, multiplicar el resultado por la derivada del interior y, como es un logaritmo, hay que multiplicarlo por la derivada del interior del logaritmo:

$$f^{ ' }\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\sqrt { \ln { \frac { 10x+4 }{ 10x-4 }  }  }  } \cdot \frac { \frac { 10\cdot \left( 10x-4 \right) -\left( 10x+4 \right) \cdot 10 }{ { \left( 10x-4 \right)  }^{ 2 } }  }{ \frac { 10x+4 }{ 10x-4 }  } \\ f^{ ' }\left( x \right) =\frac { 1 }{ 2\sqrt { \ln { \frac { 10x+4 }{ 10x-4 }  }  }  } \cdot \frac { \left( 10x-4 \right) \cdot \left( -80 \right)  }{ { \left( 10x-4 \right)  }^{ 2 }\cdot \left( 10x+4 \right)  } \\ f^{ ' }\left( x \right) =-\frac { 40 }{ \sqrt { \ln { \frac { 10x+4 }{ 10x-4 }  }  } \cdot \left( 100{ x }^{ 2 }-16 \right)  } $$

Ejercicio 6

Estudia el crecimiento, extremos, concavidad y puntos de inflexión de la función: $$f\left( x \right) =\frac { 2x }{ { x }^{ 2 }-1 } $$

Empezaremos por los extremos (máximos o mínimos). Para ello, sacaremos las raíces de la función derivada:

$$f^{ ' }\left( x \right) =\frac { 2\cdot \left( { x }^{ 2 }-1 \right) -2x\cdot 2x }{ { \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  }^{ 2 } } =-\frac { 2\cdot \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }{ { \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  }^{ 2 } } \\ f^{ ' }\left( x \right) =0=-\frac { 2\cdot \left( { x }^{ 2 }+1 \right)  }{ { \left( { x }^{ 2 }-1 \right)  }^{ 2 } } \quad x=\pm i$$

Las soluciones son complejas. Por ello, la función no tiene máximos ni mínimos. 

Seguiremos con los puntos de inflexión. Para ello, sacaremos las raíces de la función segunda derivada:

$$f^{ '' }\left( x \right) =\frac { x\cdot \left( 4{ x }^{ 2 }+12 \right)  }{ { \left( x^{ 2 }-1 \right)  }^{ 3 } } $$

$$f^{ '' }\left( x \right) =0=\frac { x\cdot \left( 4{ x }^{ 2 }+12 \right)  }{ { \left( x^{ 2 }-1 \right)  }^{ 3 } } \quad { x }_{ 1 }=0\quad { x }_{ 2 }={ \pm \sqrt { 3 } i }$$

La única raíz real es x=0, por lo que sabemos que ahí hay un punto de inflexión. No hace falta ver la tercera derivada porque al aumentar el grado es muy improbable que sea una constante (al hacerse cero tras derivarse).

Se nos pide el punto, así que vemos el valor de x=0 en la función original:

$$f\left( 0 \right) =\frac { 2\cdot 0 }{ { 0 }^{ 2 }-1 } =0\\ P.I.\left( 0,0 \right) $$

Una vez analizados los puntos críticos, veremos la monotonía (crecimiento) y curvatura (concavidad) de la función:

Monotonía:

Realizaremos una línea dibujada del eje de abscisas. Una vez hecha, colocamos las raíces de la primera derivada. Como en este caso es x=0, dibujaremos una línea vertical donde se sitúa el cero. Debido a que es la raíz, es la única zona en la que es probable que cambie la monotonía. Ahora, veremos el signo que toma la función en cualquier intervalo entre menos infinito y la abscisa y la abscisa y más infinito (excluyendo las asíntotas verticales, donde el resultado es infinito):

$$f^{ ' }\left( 2 \right) =-\frac { 10 }{ 9 } \quad f^{ ' }\left( -2 \right) =-\frac { 10 }{ 9 } $$

Normalmente, cogemos un valor mayor a la raíz, x=2 en este caso, y luego vemos el valor que toma si cambiamos el signo. De esta forma, sabremos el signo de la función antes y después de la raíz. Como en ambos casos nos sale que el signo es negativo, deducimos que la función es siempre decreciente. Lo expresamos de la siguiente forma:

$$f\left( x \right) \quad decrece\quad en\quad x=\left( -\infty ,+\infty  \right) $$

Curvatura:

Con la curvatura, seguiremos el mismo proceso pero con la segunda derivada. Como la raíz es cero, cogeremos una abscisa cualquiera excepto x=1, que anula el denominador. Por ejemplo, cogeremos x=5. Sustituiremos el valor en la segunda derivada, obteniendo un valor con un signo. Ese signo indicará si la función es cóncava o convexa. Luego, haremos lo mismo con otro valor anterior a x=0, como x=-5:

$$f^{ '' }\left( 5 \right) =\frac { 35 }{ 864 } \quad f^{ '' }\left( -5 \right) =-\frac { 35 }{ 864 } $$

Por ello:

$$f\left( x \right) \quad es\quad \cap \quad (cóncava)\quad en\quad x=\left( -\infty ,0 \right) \\ f\left( x \right) \quad es\quad \cup \quad (convexa)\quad en\quad x=\left( 0,+\infty  \right) $$

Para comprobar la veracidad de nuestras estimaciones, veremos la gráfica, dándonos cuenta de que es correcta:

Examen segundo de la segunda evaluación de Física (1º BACHI)

1.- Dados los vectores:

$$\vec { a } =2\vec { i } -3\vec { j } +\vec { k } \\ \vec { b } =\vec { i } -2\vec { j } +3\vec { k } \\ \vec { c } =3\vec { i } +\vec { j } -4\vec { k } $$

Determina:

a) El módulo de los vectores a, b y c.

Para obtener el módulo de un vector, realizamos la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de cada componente. Así:

$$a=\sqrt { { 2 }^{ 2 }+{ \left( -3 \right)  }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 } } =\sqrt { 14 } \\ \\ b=\sqrt { { 1 }^{ 2 }+{ \left( -2 \right)  }^{ 2 }+{ 3 }^{ 2 } } =\sqrt { 14 } \\ \\ c=\sqrt { { 3 }^{ 2 }+{ 1 }^{ 2 }+{ \left( -4 \right)  }^{ 2 } } =\sqrt { 26 } $$

b) El producto escalar de los vectores b y c.

El producto escalar es la suma de los productos entre las componentes de ambos vectores. Así, sumamos el producto entre las componentes i con el producto entre las componentes j y con el producto entre las componentes k.

$$\vec { b } \cdot \vec { c } =\quad 1\cdot 3+\left( -2 \right) \cdot 1+3\cdot \left( -4 \right) =-11$$

c) El producto vectorial (a ^ b).

Usamos un determinante 3 x 3 y usamos adjuntos para obtener el valor de cada componente:

$$\vec { a } \times \vec { b } =\begin{vmatrix} \vec { i }  & \vec { j }  & \vec { k }  \\ 2 & -3 & 1 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix}=\begin{vmatrix} -3 & 1 \\ -2 & 3 \end{vmatrix}\vec { i } -\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 3 \end{vmatrix}\vec { j } +\begin{vmatrix} 2 & -3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix}\vec { k } =-7\vec { i } -5\vec { j } -\vec { k } $$

d) El resultado de la operación (a ^ b) · c.

Como ya tenemos el valor del producto vectorial principal, usamos ese vector como producto escalar junto al vector c:

$$\left( \vec { a } \times \vec { b }  \right) \cdot \vec { c } =\left( -7\vec { i } -5\vec { j } -\vec { k }  \right) \cdot \left( 3\vec { i } +\vec { j } -4\vec { k }  \right) \\ \left( \vec { a } \times \vec { b }  \right) \cdot \vec { c } =\left( -7 \right) \cdot 3+\left( -5 \right) \cdot 1+\left( -1 \right) \cdot \left( -4 \right) =-22$$

2.- En un experimento tomamos las siguientes medidas de tiempo:

Nº Medida	1	2	3	4	5	6
Tiempo (s)	17,12	17,35	17,29	17,49	16,96	17,05

Calcula: a) El valor verdadero de la medida.

El valor verdadero corresponde al sumatorio de las medidas:

$$\overline { x } =\frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ \left( { Medida }_{ i } \right)  }  }{ n } $$

Así:

$$\overline { x } =\frac { 17'12+17'35+17'29+17'49+16'96+17'05 }{ 6 } =17'21$$

               b) El valor absoluto y relativo de la medida.

El error absoluto corresponde al sumatorio del valor absoluto de la resta entre la medida tomada y el valor verdadero:

$${ \varepsilon  }_{ a }=\frac { \sum _{ i=1 }^{ n }{ \left| { Medida }_{ i }-\overline { x }  \right|  }  }{ n } $$

$${ \varepsilon  }_{ a }=\frac { \left| 17'12-17'21 \right| +\left| 17'35-17'21 \right| +\left| 17'29-17'21 \right| +\left| 17'49-17'21 \right| +\left| 16'96-17'21 \right| +\left| 17'05-17'21 \right|  }{ 6 }$$

$${ \varepsilon  }_{ a }=\frac { 1 }{ 6 } s$$

El error relativo corresponde al cociente entre el error absoluto y el valor verdadero:

$${ \varepsilon  }_{ r }=\frac { { \varepsilon  }_{ a } }{ \overline { x }  } $$

$${ \varepsilon  }_{ r }=\frac { 0'\overline { 16 } s }{ 17'21s } \approx 0'968%$$

               c) Expresa la medida de forma correcta.

La medida correcta es el resultado de sumar o restar el valor verdadero al error absoluto:

$$T=\left( \overline { x } \pm { \varepsilon  }_{ a } \right) $$

Así:

$$T=\left( 17'21\pm 0'\overline { 16 }  \right) s$$

3.- Escribe la ecuación de dimensiones del volumen, de la densidad y de la energía:

$$\left[ V \right] =\left[ { L }^{ 3 } \right] \quad \left[ \rho  \right] =\left[ M\cdot { L }^{ -3 } \right] \quad \left[ E \right] =\left[ M\cdot { L }^{ 2 }\cdot { T }^{ -2 } \right] $$

4.- Considerando un cuerpo sometido a aceleración constante, indica si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas, razonando la respuesta.

a) Su trayectoria nunca podrá ser curvilínea.

Esta afirmación es falsa, ya que su trayectoria no tiene que ser siempre rectilínea, pudiendo cambiar si forma una curva, siendo una raíz, una parábola, etcétera.

b) No pasará dos veces por el mismo punto.

Vuelve a ser falsa, pues en caso de ser un movimiento circular acelerado o retardado, este pasará por ese punto por cada revolución.

c) Su velocidad siempre irá en aumento.

Es falsa de nuevo. Esto se debe a que siempre va en aumento cuando es un movimiento acelerado, pero si es retardado, el cuerpo frenará, disminuyendo su velocidad.

d) Puede tener en algún momento un desplazamiento neto igual a cero.

Es cierto. Esto puede ocurrir si vuelve al punto de partida o cuando el tiempo es cero, es decir, cuando el cuerpo aún no se ha desplazado.

5.- El vector posición de una partícula en movimiento es:

$$\vec { r } ={ t }^{ 3 }\vec { i } +t\vec { j } $$

En esta expresión, la posición se expresa en metros si el tiempo se expresa en segundos.

Calcula:

a) La ecuación de la trayectoria:

Se sabe que el vector i corresponde al eje de abscisas (x) y el vector j al eje de ordenadas (y). Por ello:

$$\begin{cases} x={ t }^{ 3 } \\ y=t \end{cases}$$

Esta ecuación de la trayectoria está expresada en forma paramétrica. Para expresarla en forma general, debemos reescribirla sin tener en cuenta el tiempo:

$$t=\sqrt [ 3 ]{ x } $$

$$y=\sqrt [ 3 ]{ x } $$

Esta última es la ecuación general de la trayectoria. Como vemos, tiene trayectoria curvilínea.

b) La velocidad y la aceleración en cualquier instante.

Se nos pide el vector velocidad y aceleración en función del tiempo. Como tenemos el vector posición, podemos derivarlo en función del tiempo y obtener así el vector velocidad instantánea. Si derivamos el primero dos veces, obtendríamos el vector aceleración instantánea:

$$\dot { x } =3{ t }^{ 2 }\vec { i } +\vec { j } \\ \ddot { x } =6t\vec { i } $$

c) La aceleración tangencial para t = 1 s.

Como realizarlo de forma vectorial es muy largo, lo haremos sin tener en cuenta el vector unitario, es decir en módulo. La aceleración tangencial en módulo lo obtendríamos derivando en función del tiempo el módulo del vector velocidad instantánea, también llamado celeridad. Una vez tenemos la función de la aceleración tangencial, sustituimos el valor del tiempo.

$${ a }_{ t }(t)=\frac { 36{ t }^{ 3 } }{ 2\sqrt { 9{ t }^{ 4 }+1 }  } =\frac { 18{ t }^{ 3 } }{ \sqrt { 9{ t }^{ 4 }+1 }  } \\ { a }_{ t }(1)=\frac { 18\cdot { 1 }^{ 3 } }{ \sqrt { 9\cdot { 1 }^{ 4 }+1 }  } =\frac { 9\sqrt { 10 }  }{ 5 } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$

6.- Un cuerpo se mueve en el plano XY según la ecuación:

$$\vec { r } =\left( 2t+3 \right) \vec { i } +\left( { t }^{ 2 }-1 \right) \vec { j } \quad \quad m$$

a) Deduce las expresiones de sus vectores velocidad y aceleración en función del tiempo, así como las de sus respectivos módulos en función del tiempo:

Tenemos que derivar el vector y luego realizar el módulo de la derivada, es decir, la celeridad y el módulo de la aceleración instantánea:

$$\dot { x } =2\vec { i } +2t\vec { j } \quad \quad \frac { m }{ s } \\ \ddot { x } =2\vec { j } \quad \quad \frac { m }{ { s }^{ 2 } } \\ \left| \dot { x }  \right| =\sqrt { 4+4{ t }^{ 2 } } =2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } \frac { m }{ s } \\ \left| \ddot { x }  \right| =\sqrt { 4 } =2\frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$

b) Determina la expresión la expresión para su aceleración tangencial en función del tiempo.

Simplemente, tenemos que derivar la celeridad, sin tener que multiplicarla por el vector unitario, para así obtener el módulo de la aceleración tangencial:

$$\left| \dot { x }  \right| =\sqrt { 4+4{ t }^{ 2 } } =2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } \frac { m }{ s } $$

$${ a }_{ t }=2\frac { 2t }{ 2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } }  } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } =\frac { 2t }{ \sqrt { 1+{ t }^{ 2 } }  } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$

c) Calcula los valores de la velocidad, la aceleración y la aceleración tangencial para t = 2 s.

Como ya tenemos todos las expresiones, tendremos que sustituir el valor en las expresiones. Nota: Tenemos que usar los módulos, ya que se nos pide el valor de la velocidad, no el valor del vector velocidad:

Expresiones:

$$\left| \dot { x }  \right| =\sqrt { 4+4{ t }^{ 2 } } =2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } } \frac { m }{ s } \\ \left| \ddot { x }  \right| =\sqrt { 4 } =2\frac { m }{ { s }^{ 2 } } \\ { a }_{ t }=2\frac { 2t }{ 2\sqrt { 1+{ t }^{ 2 } }  } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } =\frac { 2t }{ \sqrt { 1+{ t }^{ 2 } }  } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$

Valores sustituidos:

$$\left| \dot { x }  \right| =2\sqrt { 5 } \frac { m }{ s } \\ \left| \ddot { x }  \right| =2\frac { m }{ { s }^{ 2 } } \\ { a }_{ t }=\frac { 4\sqrt { 5 }  }{ 5 } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$

d) Determina la aceleración centrípeta para t = 2 s.

Como sabemos que el módulo de la aceleración instantánea al cuadrado es igual a la suma de los cuadrados de los módulos de la aceleración tangencial y la aceleración centrípeta o normal, establecemos que:

$${ a }_{ n }=\sqrt { { \left| \ddot { x }  \right|  }^{ 2 }-{ { a }_{ t } }^{ 2 } } $$

Si colocamos los valores cuando t = 2 s, obtendremos el valor de la aceleración normal cuando t = 2 s:

$${ a }_{ n }=\sqrt { { 2 }^{ 2 }-{ \left( \frac { 4\sqrt { 5 }  }{ 5 }  \right)  }^{ 2 } } =\frac { 2\sqrt { 5 }  }{ 5 } \frac { m }{ { s }^{ 2 } } $$

e) Calcula el radio de curvatura para t = 2 s.

Como sabemos que la aceleración normal es el cociente entre el cuadrado de la celeridad y el radio de curvatura, deducimos que:

$${ a }_{ n }=\frac { { \left| \dot { x }  \right|  }^{ 2 } }{ \rho  } \\ \rho =\frac { { \left| \dot { x }  \right|  }^{ 2 } }{ { a }_{ n } } $$

El radio de curvatura es:

$$\rho =\frac { 20\cdot 5 }{ 2\sqrt { 5 }  } =10\sqrt { 5 } m$$

f) Haz un dibujo de las componentes intrínsecas de la aceleración total para un movimiento circular.